1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 32
Текст из файла (страница 32)
38, а, б.) П Тригонометрические функции. Теоремы о треугольниках. Теорема 3 равносильна тому, что отношение проекции и наклонной зависит только от угла между ними, т. е. является его функцией. Это — косинус 7 д. Д. Александров. и. Ю. Неаветвев 194 чьсть г, элементАРнля ГеометРия острого угла А (угол между наклонной и проекцией острый), обозначается сов А. Косинус смежного с ним тупого угла определяется как то же отношение с минусом. Косинус прямого угла полагают равным нулю, Отношение перпендикуляра, опущенного нз конца наклонной, к наклонной — то же, что отношение противолежащего катета к гипотенузе, — зависит только от угла„ так как из теоремы Пифагора следует, что ( ) ! ( ) 1 соз Л Мил гспВ 5!ЕС и Ь с Дока за тел ьств о. Для высоты, опущенной из вершины С, по самому определению синуса, имеем: А=аз(п В =Ь з(п Л.
5!П А 5!П В Отсюда — '= . Лна- и Ь логично получаем равенство 5!П А 5!п С вЂ” П и с Обобщенная теорема Пифагора (теорема косинусов). Во всякося треуголь- мике е Пь Рис. 39 сг = аг + Ьг — 2аЬ сов С. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пользуясь теоремой Пифагора и определением косинуса, получаем (рис. 39): Ьг =!Гг — аг аь+ а, =а. /!5+ аг с аь = Ь соа С, Отношение а/с есть синус угла А, обозначается в(п А. Синус смежного с ним угла определяется тем же отношением.
Далее устанавливаются две основные теоремы о треугольниках: теорема синусов и обобщенная теорема Пифагора, которую обычно называют теоремой косинусов. Теорема синусов. Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов: п.х меттическив соотношения в тьвтгольнике 1вб Отсюда выводится утверждение теоремы.
(В первых двух равенствах знаки а„аь не имеют значения!) П Подведем итог. Основные соотношения в треугольнике. 1, Сумма углов равна !80'. 2. Теорема синусов (тройное равенство). 3. ОТП вЂ” обобщенная теорема Пифагора (три равенства). 4. Выражение площади (три равенства). С помощью этих теорем можно получить, в принципе, все теоремы о треугольниках.
Например, теоремы о подобии. 1. Если у двух треугольников углы равны, то стороны пропорциональны. Непосредственно выводится из теоремы синусов. 2. Если стороны пропорциональны, то углы равны. Из ОТГ! следует: если стороны пропорциональны, то косинусы углов равны, а значит, и углы равны. 3.
Если две пары сторон пропорциональны и углы между ними равны, то все стороны пропорциональны и углы рваньи Из ОТП следует, что при условиях атой теоремы третьи стороны тоже пропорциональны, и тогда равенство углов следует из 2. Читатель детально проведет все эти выводы и также проведет выводы других теорем о треугольниках, как указано далее в задачах.
Задачи. 1. Если с' = а' + Ьт, то л'.С = 90, †обратн теорема Пифагора. 2. Если у двух треугольников две стороны одного равны двум сторонам другого, а углы между ними не равны, то третья сторона там больше, где угол больше, и обратно: угол больше, где сторона больше. 3. Во всяком треугольнике сторона меньше суммы н больше разности двух других, например, а ц-Ь ) > с >(а — Ь!. 4. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. (С помощью теоремы синусов.) 5. Теорема синусов следует из ОТП. Именно, с 1/2 (а*Ь'+ Ь~с'+ с~а'! — !а + Ь + с'! ьцп С— 2аЬс 1вв ЧАСТЬ Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ с!а С вЂ” и т.
п. равны друг та к что отношения другу. 6. Во всяком треугольнике соз  — соз С = ь (с + Ь вЂ” а) (с — Ь). а+ Ь+ с Отсюда следует, что против большей стороны лежит больший угол, н обратно. 7. Площадь треугольника выражается формулой Герона (в ней р = + э ): В = э/р (р — а) (р — Ь) (р — с) . ! Выводится из того, что 5 — — аЬ з!п С; и результата з задачи 5. 8. Пусть в г'.хАВС точка О на ЛВ. Тогда если А0 = с!, ВЙ = сг и СВ = сг, то ас,+Ьс, — с,с, Вг Найдите отсюда медиану и биссектрису.
В случае бис- сЬ са сектрисы с, =- ь, сг= ь . Найдите сумму а+Ь' а+ Ь квадратов медиан. 9. Во всяком треугольнике с = а соз В+ Ь соз Л (геометрически очевидно, но можно вывести из ОТП, сложив а' и Ь'). 10. Во всяком треугольнике з!п С = э!пЛ соз В+' + з!пВсозЛ,— следует из 9 и теоремы синусов.
11. Тот факт, что сумма углов треугольника равна 180', можно вывести из ОТП. (Это следует из 10: з!п А соз В+ яп В соз А = з!и (А + В), так что либо с'. С = ~А + ~ В, либо с'. А + с. В = 180' — х'. С. Применяя тот же вывод к е.Л и с.В вместо Е.С, убедимся, что сА + с В+ с С = 180'.) Параллельные прямые. Завершим этот параграф традиционными теоремами о параллельных прямых.
(Впрочем, как ясно из вышеизложенного, в элементарной планиметрии можно обойтись параллельными отрезками.) В заключение мы еще раз обсудим, более подробно, эквивалентные формулировки аксиомы параллельных. 11. Х МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ 197 Теорема 6. Через каждую точку любой из двух прямых, перпендикулярных ОГ)ному отрезку, проходит общий перпендикуляр этих прямых; все эти перпендикуляры равны друг другу. Это непосредственно следует из леммы 1, стоит лишь вместо отрезков с общим перпендикуляром представить себе содержащие их прямыс.
П О прямых в теореме 6 говорят, что оии расположены ни постоянном расстоянии друг от друга (поскольку расстояние отмеряется по перпендикуляру). Прямые, которые не имеют общих точек, называются параллельными. Прямые, расположенные на постоянном расстоянии, очевидно параллсльны. Верно также обратное; это вытекает из следующей «основной теоремы о параллельных». Теорема 7.
Через каждую точку А, не лежащую на данной прямой а, проходит только одна прямая, параллельная а. До к а з а т ел ьст во. Опустим из А на а перпендикуляр АВ н проведем через А перпендикулярную ему прямую Ь. Она параллельна а. Пусть Ь' — какая-либо проходящая через А прямая, отличная от Ь. Она пересекает Ь, и потому один из ее лучей с с началом А лежит с той же стороны от Ь, что и прямая а. Пусть сь — угол, который луч с образует с перпендикуляром АВ. Возьмем на с такую точку С, что АВ = АСсоза. Это равенство означает, что А — зто проекпия отрезка АС; стало быть, точка С лежит на прямой а, т.
е. прямая Ь' ее пересекает, и теорема 7 доказана. О Аксиома параллельных прямых. Обычно принимают не нашу аксиому о параллельных отрезках, а аксиому о параллельных прямых: Через каждую точку, не лежащую на данной прямой а, проходит не более одной прямой, параллельной а. А то, что сеть хотя бы одна параллельная, доказывается (без всякой аксиомы о параллельных прямых пли отрезках). Именно: Через каждую точку А, не лежащую на данной прямой а, проходит прямая, параллельная а.
Это прямая, перпендикулярная перпендикуляру АВ к прямой а. 2ВЕ ЧАСТЬ К ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Выполняется и более общее утверждение, известное из курса средней школы (тоже доказываемое без всяких аксиом о параллельных): Теорема 8. Если прямые а, Ь, проходящие через точки А, В, образуют с отрезком АВ с одной стороны от него углы, равные в сумме 2д — двум прямым углам, то зти прямые параллельны. Дока за тель ство.
Пусть прямые а, Ь, как сказано, образуют с отрезком АВ углы с одной стороны, в сумме равные 22(. Тогда с другой стороны — сумма углов та же самая (так как те углы смежные, В а с,< А ь Ряс. 40 рис. 40). Допустим, вопреки утверждению, что прямые а, Ь пересекаются в какой-то точке С, так что имеем треугольник АВС.
Построим с другой стороны от АВ треугольник АВСО равный 2'хАВС, но расположенный так, что его угол А равен углу В в сзАВС, н тогда его угол В оавен углу Л в сзАВС. Тогда при точках А н В углы обоих треугольников дают в сумме 2д — развернутый угол. Поэтому отрезки АС и ЛС~ образуют один отрезок ССН так же, как отрезки ВС н ВС~ образуют один отрезок ССО Выходит, что точки С и С1 соединены двумя отрезками. Л это невозможно (по аксиоме). Следовательно, прямые а, Ь не пересекаются, что и требовалось доказать.
П То, что сумма односторонних углов А, В в с одной стороны от отрезка А — равна развернутому углу, равносильно тому, что равны углы прн А и В с разных сторон от А — накрест лежащие углы (поскольку углы прн А, как и при В, смежные и в сумме равны развернутому). Поэтому из доказанного следует: Теорема 9. Если никрест лежащие углы равны, то а!1Ь. П н. к метРические сООтнОшения в тРеуГОльнике 1ВВ Если принять аксиому параллельных, то можно доказать также обратное. Теорема 1О. Если прямые а, Ь параллельны, то накрест лежащие углы при отрезке АВ с концами на прямых а, Ь равны. Действительно, так как прямая Ь, проходящая через данную точку В и параллельная данной прямой а, только одна, то она и есть та, для которой накрест лежащий угол при точке В равен углу при А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
