1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Допустим, она пересекает сторону АВ в некоторой точке С (рис, 14). Сторона А — это поперечина угла аЬ. Поэтому отрезок ОС проходит внутри этого угла. Отрезок с на прямой с имеет тот же конец О и и. Оскостиые лксиомы и их пеРВые следстВия 175 расположен с той же стороны от а. Поэтому он налегает на ОС и, стало быть, проходит внутри угла аЬ.
Допустим теперь, что прямая с пересекает сторону ОВ в некоторой точке С' (рис. !5). Проведя отрезок АС', получим треугольник АС'О. Прямая Б, содержащая отрезок Ь, пересекает сторону АО треугольника в л а Рес. 13 Ряс 14 АС'О и не проходит через вершину. Она поэтому пересекает одну из сторон АС' или ОС'. Но сторону ОС' она не может пересекать, так как пересекает ее продолжение в точке В. Поэтому о пересекает АС', н это значит, что отрезок Ь проходит внутри угла ас в Р (как это заключаем подобно прсдыдушему выводу об с отрезке с). Таким образом, выходит, что либо с проходит внутри угла аЬ, либо Ь вЂ” внутри угла ас, что и требовалось Ряс.
15 доказать. П По аксиоме 111, меры равных углов равны. Вместе с этим выполняется и обратное утверждение. Теорема 6. Если меры углов равны, то и сами углы равны. Это аналогично тому, что по теореме 3, $ 4, отрезки равны, если их длины равны. Так же, подобно следствию теоремы За, $ 4, об отрезках выполняется аналогичная теорема об углах. Теорема 7. Равенство углов рефлексивно, симметрично и транзитивно. Доказательства теорем б и 7 совершенно аналогичны доказательствам соответствующих утверждений нз 5 4 об отрезках.
Нужно лишь пересказать те донааательства применительно к углам. Читатель проделает 176 чксгь ь элгмептхю!Ая Геометгия это в качсствс упражнения. (В доказательстве теоремы 6 нужно воспользоваться теоремой 5.) П Смежные углы. Прямые углы. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другис образуют один отрезок (продолжают друг друга, рис, 16). Эти стороны образуют, стало быть, развернутый угол. Поэтому, в силу аксиомы П(з меры угла, сумиа мер сх1ежных углов равна мере развернутого угла (которая, по тсореме 2, одна и та же для всех развернутых углов и равна 180').
Ряс. 16 Отсюда, в силу теоремы 6, следует, что углы, смежныс равным углам, равны. В частности, вертикальные углы, определяемые как смежные с одним и тем же углом, равны. Угол, равный своему смежному, называется прямым. Из предыдущего ясно, что угол, равный прямому, сам прямой. Теорема 8. Все прямые углы равны. Мера прямого угла составляет половину меры развернутого угла. Докажем это со всеми ссылками. Прямой угол равен своему смежному. Поэтому, в силу аксиомы П1,, их меры равны и, так как сумма этих мер равна мерс развернутого угла, то мера прямого угла равна половине меры развернутого угла.
Следовательно, меры у всех прямых углов равны. В силу теоремы 6, все прямые углы равны. Что и требовалось доказать. П Замечание. В .«Началах» Евклида равенство прямых углов принято без доказательства, как аксиома. Именно, 1У постулат Евклида гласит: «Все прямые углы равны». В $ ! следующей главы мы докажем существование прямых углов. 5 7. Аксиома параллельных К плоскостным аксиомам принадлежит в качестве последней аксиомы планиметрии аксиома параллельных, Мы сформулируем ее не для прямых, как это обычно принято, а для отрезков, поскольку отрезки служат у нас основными объектами.
178 ЧАСТЬ 2 ЭЛЕМЕИТАРИАЯ ГЕОМЕТРИЯ в быту фигуры: полы, стены, окна, стекла, листы бу- маги и т. д., и т. п. Обычно принимают аксиому, говоряшую о парал- лельных прямых. Напомним, что в планиметрии две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек; в этом случае также говорят, что одна прямая параллельна другой.
Для параллельных прямых а, Ь применяется обозначение: а~~Ь илн Ь()а. Аксиома параллельных прямых, Для каждой прямой а и не лежащей на ней точки Л существует не более одной прямой, параллельной данной прямой а и проходящей через точку А, То, что через данную точку А, не лежашую на данной прямой а, проходит по крайней мере одна прямая, параллельная а, легко доказывается (это прямая, перпендикулярная перпендикуляру АВ к пря- мой а, как доказано дальше в ф 2 гл 11).
Аксиома утверждает, что такая прямая только одна, Здесь говорится о прямых во всем их бесконеч- ном протяжении, поэтому аксиома не имеет прямого практического содержания, и для наглядного ее пони- мания требуется представить себе бесконечные прямые. Обходясь без представления о прямых, взятых во всем нх бесконечном протяжении, имеют в виду ко- нечныс, но пеограничснно продолжаемые прямые (от- резки) и говорят: прямые параллельны, если они не пересекаются, как их нн продолжать. (Когда говорят о параллельных линиях в практике, то имеют в виду, что онн приходят на постоянном расстоянии (о чем сказано выше), но едва ли, что они при бесконечном продолжении не пересекутся. В геометрии же поль- зуются признаками параллельности, в которых речь идет, на самом деле, об отрезках н углах.) Аксиома параллельных прямых проше по формулировке, но дальше от практики, чем аксиома параллельных от- резков.
Представление о бесконечной прямой было чуждо грекам; у Евклида роль аксиомы параллельных играл пятый постулат, угверждаюшнй: «Если из концов данного отрезка проведены в одну сторону от него два отрезка, образующие с ним углы, в сумме мень- шие развернутого угла, то сами эти отрезки или их продолжения пересекаются (имеется в виду продпл- чхсномы стеееометени и нх пеРВые следствия !79 жение в ту же сторону от данного отрезка, см. р» 0) ). Это утверждение равносильно следующему: Ври всяком данном отрезке АВ и данных двух иглах и. )), в сумме меньиеих развернутого, существует ~моь .о построить) треугольник со стороной АВ и арале нищими углами А = = х и В=)).
Отрезки, проведенные в одну сторону от отрезка АВ под данными углами,согласно ч' постулату пересек)тся. так что и получится нужный тре)тальник. Поэтому Ч постулат имеет а практический смысл условна, при котором можно построить треугольник с дву- Ркс. 20 мя заннымн угламн. Все трн аксиомы: параллельных отрезков, параллельных прямых, пятый постулат — равносильны. Это мы докажем позже, в ~ 2, гл. 11. Замечание. Сложность чг постулата и то, что он вовсе не так очевиден, как остальные, вызвала попытки вывести его из других предпосылок геометрии — попытки, длившиеся со времен Евклида свыше 2000 лет, пока не было осознано, что такой вывод невозможен. Геометрия, в которой этот постулатотрицается, была построена И.
И. Лобачевским 11792— 1856) и Я. Боян (1802 — 1860) в 20-х годах Х!Х в. Учителю полезно иметь в виду разные формы аксиомы параллельных — хотя бы для возможности выбора. $8. Аксиомы стереометрии и их первые следствия В аксиоматике стереометрии наряду с основными понятиями планиметрии вводятся новые обьекты— плоскости и отношение — точка принадлежит плоскости нли, что то же, плоскость проходит через точку. ') Букаалько формулировка а <Началах» Евклида несколько ° ваа, ко а точкостк раапосклькак.
В других списках «Начал» то ме утаерждекке фигурирует как Х1 аксиома. 1во ЧАСТЬ Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРНЯ Вводится определение: отрезок содержится (лежит) в плоскости, если все его точки принадлежат этой плоскости; так же определяется, что прямая содержится в плоскости. Аксиомы образуют три группы: !) линейные, 2) плоскостные, 3) пространственные. Линейные аксиомы дословно повторяют линейные аксиомы ~ 3„4. Плоскостные аксиомы повторяют плоскостные аксиомы $ 6, 7 с той разницей, что теперь к трем из нпх добавляется указание, что онн относятся к каждой плоскости.
Именно: Аксиома деления плоскости. На каждой плоскости по отношению ко всякому содержащемуся в ней отрезку различаются две стороны. Аксиома откладывания угла. На каждой плоскости по данную сторону от лежащего в ней отрезка от данного его конца можно отложить угол, равный данному. Аксиома параллельных. На каждой плоскости... и далее формулируется аксиома параллельных отрезков или прямых.
формулировки остальных аксиом можно не менять. Пространственные аксиомы; их всего три. Пр.1. Через каждые три точки проходитплоскосгь. Пр.2. Существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Пр.З. Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение представляет собой прямую. (Прямая определяется через отрезки, как это сделано в$ 5). Так как линейные аксиомы тут те же, что в планиметрии, то можно воспользоваться всеми выводами нз нцх, полученными раньше.
В частности, имеет место Теорема 1. Через каждые две точки проходит прямая, и притом только одна. П Теперь докажем следутошую теорему. Теорема 2. Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, го она содержится в этой плоскости. Доказательство, Пусть две точки А, В прямой а лежат в плоскости а. К точкам А, В можно 1»СИОЬ!Ы СТЕРЕОМЕТРИИ И ИК ПЕРВЫЕ СЛЕДСТВИЯ !3! присоединить какую ниб)дь точку С, пе лежащую В а !ка1: зто следует из аксиомы Пр2). Через точки А, В.
С проходит плоскость б !аксиома Пр.!). По аксноп» Пр.З плоскости а и 11 пересекаются по прямой. Эта П1ямая содержит точки Л, В. Но по теореме 1 ч р»; две точки проходит только одна прямая. Это, стало быть, и есть данная прямая а, и она лсм(пт э пл, скости а. Что и требовалось доказать. П 111 теорем 1, 2 очевидно вытекает Следствие. Во всякой плоскости каждые две точки чомно соеоинить отрезно.и, и притом только оопптч > Ви»стс с лнисйнычн и п.юскостнымп акспомамп это приводит к вывод): Теорема 3. Ва каждой плоскости выполняетсяпланил!Ртрия.
ЕЗ установим еще два свойства плоскости как фигуры в пространстве. Теорема 4. Через кождь!е три точки, не лежащие на о !ной прямой, проходит плоскость, и притом толью одна. Л о к а з а т е л ь с т а о, Г!усть;1, В, С вЂ” точки, ие л» ьзщие на одной прямой. Через ннх, по аксиоме Пр.1, проходит плоскость. Эта плоскость а только одна, потому что всякая другая плоскость )), имеющая с и общие точки, пересекает а по прямой !аксиома Пр.З) и, стало быть, не может иметь с а общих точек, не лежащих на одной прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
