1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Мы будем употреблять термин «фигура» хотя бы потому, что он короче, и будем говорить о множестве точек, когда явно имеется в виду какое-либо условие, налагаемое на точки. (Вспомним определения окружности, эллипса, гиперболы и т. д.) Замечание. Прежде, до появления теории множеств, около 100 лет назад, термин «множество точек» не употребяялся. Фигура мыслилась как нечто целое, не состоящее из точек, но как <место точек»вЂ” «место», на котором или в котором лежат точки. Теперь говорят, что «фигура состоит из точек».
Но состоят ли отрезок или окружность из точек подобно тому, как куча песка состоит из песчинок? Такое представление спорно — оно и не нужно для геометрии. Нужно только, что фигура определяется своими 1 К ПРЯМАЯ. ПОНЯТИЕ ФИГУРЫ тзчкзТП1, как об этом уже говорилось в связи с заданием фп1ур уравнениями. Остальное — дело склонностей, кочу интуитивно ближе одно или другое прсд-. тззл;.Пис о фигурах. Н ч.оторос время назад в учебниках геометрии был: введено понятие множества — фигура определялась кзк мно'кество точек и даже говорилось, что те- ПЕР МТКаэаЛПСЬ От СтаРОГО ПРЕДСтаВЛЕНИЯ ФИГУРЫ КаК места точек, но для это~о не было точных логических основ лнй, а только интуитивное представление, дксиоматикз фигуры.
Геометрия, можно ска-зт:, — - это иг, ез о фита рак. Поэтому для ее основании нужно т .р делить, что называется в геометрии фи1урой. Г!ростсйшис фигуры — точки и отрезки— мы ввели в аксиоматике как основные объекты. Но выше мы определили прямые, лучи, и могли определить окружности, эллипсы и др. Однако в эти определения входит понятие фигуры или множества точек. Если определять, как это делалось, фигуру как вообще множество точек, то следует спросить: что такое множествоу Ответ, который обычно дают, состоит в том, что множество — это вообще совокупность и состоит из точек.
Однако мы уже заметили, что предположение, скажем, об отрезке как состоящем из точек спорно и не нужно для геометрии. В понятии фигуры важно лишь то, что фигура определяется своими точками. Итак, для того чтобы иметь полные аксиометрическпе основания геометрии, нужно включить в них аксиомы, определяющие понятие фигуры. (Читатель, которому излагаемая далее аксноматика фигуры покажется трудной для понимания, может ее пропустить, оставаясь с обычным интуитивным представлением о фигурах. К аксиоматике фигуры мы еще вернемся в последней части курса вместе с более глубоким изложением оснований геометрии). В аксиоматике фигуры принимаются основные объекты: точки и фигуры — и основное отн ош е н и е: точка принадлежит фигуре,.или, что то же: фигура содержит точку.
Принадлежность точки Л фигуре Р обозначается, как обычно, А ~ Р, Точки здесь, конечно, те же, что в принятых выше аксиомах. Формулируем аксиомы фигуры; их всего три. 166 ЧАСТЬ 3 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРНЯ 1. Основная аксиома фигуры. Фигура определяется принадлежащими ей точками, т. е. если фигуры р, р' таковы, что каждая точка, принадлежащая Р, принадлежит также г', и обратно: каждая точка, принадлежащая р', принадлежит также р, то г и р — это одна и та же фигура.
Эта аксиома не только соответствует представлению о фигурах, но выражает то, как мы судим о совпадении или различии фигур, определенных разными способами. Мы проверяем, является ли любая точка одной фигуры также точкой другой, н обратно. Например, допустим, фигура р задана геометрическим условием и мы нашли ее уравнение в координатах х, у, Мы говорим, что уравнение задает фигуру Р, если координаты каждой ее точки удовлетворякп уравнению, и, обратно, каждая пара х, у, удовлетворяющая уравнению, служит координатами некоторой точки фигуры г". Совершенно так же проверяется совпадение фигур, заданных разными геометрическими условиями (точно так же отображение одной фигуры на другую определяется по точкам).
2. Аксиома точки. Точка есть фигура Она принадлежит сама себе и никакие другие точки ей не принадлежат. (Это соответствует определению в «Началах» Евклида: «Точка — то, что не имеет частей».) 3. Аксиома задания фигуры. Для всякого условия, налагаемого на гочки, сущссгвуег фигура, которая содержит все точки, удовлетворяющие этому условию, и не содержит никаких других При этом условие, о котором идет речь, должно быть выражено в понятиях, фигурирующих в принятой аксиоматике (иначе оно не имеет смысла в геометрии, поскольку оиа полностью строится иа принятых аксиомах).
Кроме того, разумеется, условие, налагаемое на точки, должно быть вполне определенным, т, е. длв каждой точки должно быть однозначно определено (в принципе проверяемо), выполняется это условие для нее или нет. При нашей аксиоматике то условие, например, что точка принадлежит данному отрезку АВ, являетсв определенным — проверяемым. Также проверяемо, например, н то условие, что точка )г( находится иа данном расстоянии от данной точки Я, т. е.
отрезок ААЯ имеет данную длину. Условие может, конечно, выра- Ез ПРЯМДЯ ПОНЯТИЕ ФИГУРЫ 167 л зться не прямо через понятия, входящие в аксиомы, а Ргз з такие, которые к ним сводятся, — например, как расстояние от точки до данной прямой и т. и, .'1огут быть также условия, которые не выполя=;.т;я ни для какой точки (например, что при данных точках А, В (АВ~ ) (АМ(+~ВМ().Тогда фигура, опр;делаемая таким условием, нс содержит точек: оиа — пустое множество, Это не исключается, и, соотвстственио, пустое множество тоже считается фигурой — фигурой без точек. Прямая (ЛВ) определена выше тем, что ей принзд.'жзт все те и только те точки Л1, каждая из которых принадлежит вместе с А и В одному отрезку.
Тако* условие допускается аксиомой 3, и, следовательно, прямая есть фигура. Совершенно так же и луч является фигурой. О точках, принадлежащих фигуре, имея в виду их все, мы будем говорить, что они образуют эту фигуру, и что она является множеством этих точек. Тзк как по нашей аксиоматике условие, что точка принадлежит данному отрезку АВ, «проверяемо», то сог;зсно аксиоме 3 задания фигуры точки отрезка АВ оразуют фигуру.
Вместе с тем, согласно доказаньзй выше теореме, отрезок определяется принадлея,зщнмп ему точками так же, как фигура. Поэтому мы можем принять, что отрезок АВ является фигурой. образованной его точками. То есть мы принимаем как определение: Отрезок является фигурой, образозанной его точками. Отношение: точка прннадлежитотрезку и точка принадлежит фигуре в этом случае понимается как одно и то же. Аксиомы фигуры позволяют принять формальное определение: Фигура — это то. что под этим названием удовлетворяет аксиоме фигуры. !'оворя «множество точек» или «геометрическое место точек», мы имеем в виду то же самое: «множество точек с таким-то условием» вЂ” это то же, что «фигура, образованная точками с этим условием».
«Образованная» не означает здесь ничего кроме того, что согласно аксиоме 1 фигура определяется своими точками. Связывать с этим такое представление, что фигура состоит из точек, как вещество из молекул, 'исть " элемснтхгпля геоматгпл ~ва совершенно необязательно. (В аксиоматике геометрии, данной Гнзьбсртом, прямая мыслится как самостоятельный объект, которому принадлежат точки, но который ип в каком смысле нз ннх не состоит.) й 6.
Плоскостные аксиомы и нх первые следствия Пусть а — какой.нибудь отрезок и й — содержащая его прямая. Мы говорим, что точки С, В лежат с однои старанья от прямой а и отрезка а, если отрезок Сй не имеет с а общих точек. Точки А, В лежат с разных сторон от прямой а н отрезка а, сслн отрезок АВ пересекает прямую и (рпс. 5). Рис. 5 1111 (аксиома деления плоскости).
Для каждого отрезка и содержащеи его нрятлой есть не лежащие на ней точки и все они делятся на два класса: точки каждого класса лежат с одной стороны от прялкой, точки из разных классов — с разных сторон, Т. с. если точки А, В лежат с разных сторон от прямой й, то каждая не лежащая на ней точка лежит с одной стороны от прямой либо с точкой А, либо с точкой В. Полуплоскость. Точки одного класса (нз указанных в аксиоме П1,) вместе с точками самой прямой образуют, как принято говорить, нолуялоскость. Другими словами: фигура, образуемая точками прямон и точками одного класса, называется полуплоскостью.
ограниченной данной прямой, Приняв зто определение, аксиому деления плоскости можно выразить так: плоскостные лксиомы и их пеРВые следстВНЕ !Бв П1;. Всякая прямая делит плоскость на две полул;оскости. Обе они содержат зту прямую. Замечание. Полуплоскость, из которой исключена сгранпчивающая прямая> называется открытой; а когда хотят подчеркнутЬ, что в полуплоскость включена ограничивающая прямая, то полуплоскость на: ы ва юг замкнутой. Угол. Уг!ол! Мы называем просто пару (несовпазаюших) отрезков с общим концом; эти отрезки— :тараны угла, их общий конец — его вершина. Однако значение имеют только те свойства угла, которые ие изменяются, если заменить его стороны иа любые отрезки, на них налега!ошие, с общим концом В той кс вершине.
О таких парах отрезков мы говорим, !то они представляют или образуют один и тсг «е угол и также служат его сторонами. То есть можно сказать, что угол рассматривается с точностью -о <удлинения илп укорочения» сторон. Вэтом смысле мы понимаем выражение <данный угол». Он задается двуми сторонами, и если их заменить вру!ими. налетающими на дании«то это будет все тот же <данный угол» и новые стороны будут все так же его сторонами. л Ниже будет доказана Теорема 1. Для взаимного РВС. Б расположения двух отрезков с оощим концо,е есть три и только три возможности; (а) Каждый из отрезков лежит целиком с одной гторонь! от другого, т. е. все его точки, кроме одного конца, лежат с одной стороны (рис, 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
