1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 36
Текст из файла (страница 36)
4. ФИГУРЫ С ВНУТРЕННИМИ ТОЧКАМИ 2!7 сьнй многоугольник фигурой в элементарной геометрии. Мы укажем такой способ, затем наметим доказательство теоремы 7 о том, что всякий многоугольник Ограничивает плоский многоугольник, и доказательство аналогичной теоремы для многогранников. При ~тоь! мы уже не будем следовать аксиоматнческой строгости, а положимся на очевидность. Следующая теорема дает способ различать между собой внутренние и внешние точки плоского многоугольника.
Теорема 9. Точка является внутренней для данного плоского многоугольника тогда и только тогда, когда любой проведенный из нее луч, не заключающий никакой стороны ограничивающего многоугольника, пересекает его в нечетном числе точек. (При этом считается, что луч, проходя через вершину, пересекает многоугольник тояько в том случае, если сходящиеся в вершине стороны лежат по разные стороны от него.) В частности, плоский многоугольник определен своей границей однозначно. Д о к а з а т е л ь с т в о наглядно очевидно. Луч, исходящий из внутренней точки, должен выйти из многоугольника, пересекая его границу в какой-то точке.
Далее он может опять войти в многоугольник, но тогда он должен из него выйти. Поэтому общее число пересечений вместе с первым будет нечетным. Если же луч исходит из внешней точки, то, войдя в многоугольник, он должен из него и выйти. Поэтому число пересечений будет четным. (Для проверки нет надобности проводить бесконечный луч, достаточно провести отрезок длиной не меньше нолупериметра многоугольника.) П Доказательство теоремы 7. Пусть дан многоугольник Р.
Выберем какой-нибудь луч а, нс параллельный никакой стороне многоугольника; лучи, сонаправленные с а, назовем допустимыми. Все точки плоскости, не принадлежащие самому многоугольнику, разделим на два класса 6 н И. В класс б отнесем такие точки М, что допустимый луч, идущий из М, пересекает многоугольник Р в нечетном числе точек. В класс О отнесем все другие точки, т. е. такие, что исходящий из них допустимый луч пересекает многоугольник Р в четном числе точек. й2В ЧАСТЬ Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Точки класса б в совокупности с точками многоугольника Р и образуют плоский многоугольник, ограниченный многоугольником Р, Это н надо показать.
Прежде всего, нетрудно убедиться в том, что многоугольник Р является границей фигуры, образованной точками класса 6 — в частности, она есть открытое множество. Остается доказать, что эта фигура ограничена и что любые две ее точки соединены в ней ломаной. Доказательство довольно просто, и мы оставляем его читателю. П Обратимся к многогранникам. Теорема 1О. Точка является внутренней для телесного многогранника тогда и только тогда, когда любой проведенный из нее луч, не задевающий ребер и не проходящий через вершины ограничивающего многогранника, пересекает его грани в нечетном числе точек.
В частности, телесный многогранник однозначно определяется своей граниией. Д о к а з а т е л ь с т в о совершенно аналогично доказательству теоремы 9. П Доказательство теоремы 8. Оно проводится по тому же плану, что и доказательство теоремы 7. Правда, возникающие при этом технические трудности более серьезны. Восстановление деталей и подробный вывод мы оставляем читателю в качестве (не очень простого, но интересного и поучительного) упражнения. П Заключительные замечания. Теоремы 9 и !О практически дословно переносятся на случай многоугольных площадок и многогранных тел соответственно.
Можно сформулировать и доказать подобные аналоги и для теорем 7, 8. Но здесь еще нужно точно описать граничные фигуры — т. е. границы площадок и тел. (Кстати, сделать это проще, чем дать определения многоугольника и многогранника.) Все это мы тоже предоставляем дотошному читателю. Отметим еще, что всякая многоугольная площадка и, в частности, всякий плоский многоугольник составляются из треугольников, точно так же, как всякое многогранное тело и, в частности, всякий телесный многогранник составляется из тетраэдров. (Точный смысл этих утверждений наглядно ясен.) н. Б.
Отоввхжения. нАложения; их Общие своястВА яв 5 5. Отображения. Наложения; их общие свойства Отображения. В геометрии рассматривают разнообразные отображения фигур в пространстве и на плоскости, в частности, отображения всего пространства илн плоскости. Отображение фигуры Р в фигуру 6 состоит в том, что каждой точке фигуры Р ставится в соответствие точка — одна единственная — из фигуры 6. О точке М', соответствующей точке М при отображении г', говорят, что она является образом точки М, и пишут М' = г(М).
Если все точки фигуры 6 являются образами точек фигуры Р, то говорят, что фигура Р отображается на 6. Отображение по определению сопоставляет точке единственную точку, но может сопоставлять одну и ту же точку разным точкам. Так происходит, например, при проектировании на плоскость, когда одной точке У в проекции фигуры Р соответствуют все точки этой фигуры, лежащие на проектирующей прямой, проходящей через М. Если при данном отображении такого нет и разные точки отображаются на разные точки, то отображение называется взаимно однозначнымм. Пусть отображение ( фигуры Р на 6 взаимно однозначно. Тогда каждая точка Аг из 6 соответствует одной (единственной) точке М из Р. И обратно: каждой точке У из 6 соответствует одна точка М из Р.
А зто значит, что задано отображение фигуры С на Р, обратное отображению Г. Его обозначают ( '. Отображение, имеющее обратное, называют обратимым. Из данных определений непосредственно следует, что если отображение ) обратимо и )-' — обратное ему отображение, то само г — обратное для (-' (потому что если ) сопоставляет точке М точку М, то )-' сопоставляет точке Ф точку М). Пусть заданы два отображения: отображение г фигуры Р на 6 и отображение д фигуры 6 на Н. Если при отображении ~ точка М из Р отобразилась в точку М из 6, а затем при отображении д точка .Лг отобразилась в точку Р из О, то тем самым М отобразилась на Р. Это записывается так: Р = д((М) (сначала Г отображает М в М, а потом а отображает 220 часть к элемвнтлт>зля гволштеия У в Р).
В результате получается отображение фигуры Р на Н. Это отображение Ь называют композицией отображения ) с последующим отображением д и пишут 6 = й) илн 6 = д ). Композицией называют как само отображение 6, так и последовательное применение нескольких отображений. Тривиальным примером отображения является тождественное отображение фигуры самой на себя— такое, когда каждой точке фигуры сопоставляется она сама. Если произвести сначала отображение фигуры Р на 6, а потом обратное отображение (->, то каждая точка фигуры Р отображается обратно в саму себя. То есть получим тождественное отображение.
Обозначая его Ыг, можно записать ( — >( = >бе, и совершенно так же Ц вЂ” ' = Ыа. Прн рассмотрении отображений вместо того, чтобы говорить «точка М отображается в точку Ф», сплошь и рядом говорят «точка М переходит в >ч». Хотя она никуда не переходит. Нельзя двигать точки пространства; тем не менее, наглядно отображения нередко представляют как перемещение и деформацию фигуры, как результат перемещения ее точек. Неподвижной точкой отображения называют такую точку, которую оно «оставляет на месте», т, е. отображает саму в себя: ((А) = А. Пример.
Поворот круга вокруг центра представляет его взаимно однозначное отображение на себя, н центр является неподвижной точкой этого отображения. Обратным отображением будет поворот в обратную сторону на тот же угол. Взаимно однозначное отображение фигуры на себя называют ее преобразованием. Впрочем, преобразованиями называют и отображения на другую фигуру; говорят, например, что окружность «преобразуется» в эллипс прн с>катни. Замечание. Отображение фигуры (множества) на фигуру (на множество) называется сюръективным отображением нли, коротко, сюръекцией.
Взаимно однозначное отображение называется инъективным отображением или, короче,— инъекцией. Взаимно однозначное отображение одного множества на другое называют биективным, короче, — биекцией. Н 3 ОТОБРАЖЕНИЯ НАЛОЖЕНИЯ; ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЯД) Наложения. Наложением фигуры Р мы называем ') ее отображение, при котором каждым двум точкам А, В сопоставляются такие точки Л', В', что отрезки А'В', АВ равны: Л'В' = АВ.
Точки, на которые отображаются точки фигуры с, образуют некоторую фигуру Р'. И мы говорим: фигура г" налагается на р'. Тождественное отображение фигуры Р очевидно является ее наложением самой на себя. Наложение, очевидно, взаимно однозначно: разные точки отображаются на разные, поскольку АВ = А'В'. Поэтому наложение обратимо. Для него сеть обратное отображение. Отображение, обратное наложению,— тоже наложение, (Потому что если прн прямом отображении точкам А, В отвечают А', В', то при обратном — точкам А', В' отвечают точки А, В, а так как А'В' = = АВ, то так же ЛВ = А'В'.) Композиция наложений является наложением.
Действительно, пусть при наложении ) фигуры р на г"' точки А, В отображаются в А', В', а при наложении фигуры Р' на Ем точки А', В' переходят в А", В". Тем самым точки А, В отображаются в А", В". А так как при наложениях А'В' = АВ и А "В" = = А'В', то А"В" = АВ, т. е. получается наложение фигуры Е на г"". Свойства наложений. Наложение по определению сопоставляет парам точек А, В такие пары Л', В', что отрезки АВ и А'В' равны. Оно поэтому сохраняет все теомстрические соотношения.
Перечислим ряд основных свойств наложения. В последующих формулировках о наложении явно не говорится: оно подразумевается. 1. Наложение сохриняет расстояние между тачками, измеренное в каком бы то ни было масштабе. Это сяужит только иным выражением того, что точкам А, В сопоставляются такие точки Л', В', что А'В'= АВ. 2. Если гочки А, В, С отображаются в Л', В', С', то с.АВС = с'.А'В'С' (как следует из определения равенства углов).
') Упптребляются также термнпы «двнженне» н «перементенне». 222 часть а элементхенхя геомвтеня 3. Если точки А, В, М, Ф отображаются в А', В', М', ЛГ' и М принадлежит отрезку АВ, то М'еи А'В', а если У Ф А В, то М' ф А'В'. Доказательство. Это следует из того, что точка С принадлежит отрезку ~АВ~ тогда н только тогда, когда ~АС(+~СВ~=~АВ~. Подробнее: если МЧАВ, то ~ ЛМ 1 + ~ МВ ~ =! А В ~. А тогда по сохранению расстояний ~ А'М'! + ~ М'В' ~ = ~ А'В' ~, и, значит, М' ен АВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
