1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Если два луча образуют одну прямую, то они ограничивают две полуплоско- сти. Поэтому для развернутых углов сказанное в тео- реме непосредственно следует из того, что прямая делит плоскость на две полуплоскости. Н. 4, ФИГУРЫ С ВНУТРЕННИМИ ТОЧКАМИ 21! РИФ 49 Пусть теперь а, Ь вЂ” два луча с общим началом О, не образующие одной примой, т. е. образующие не- развернутый угол аЬ. Пусть аб — содержащие их прямые. Прямая и ограничивает две полуплоскости: одна из ннх содержит луч Ь вЂ” обозначим ее Р„другую — ОФ Аналогично, прямая Б ограничивает полу- плоскости Ра, Ом где Рь ~ а.
Один плоский угол ограниченный лучами а, Ь, является пересечением полуплоскостей ЄЄдругой, Ф', является объединением полуплоскостей Яа Оа (рис. 49). О Точка, принадлежащая лучу а, принадлежит прямой а и, стало быть, является граничной для полуплоскостей Р„ О,. р — а Поэтому она граничная и для углов У, '4у'. Аналогичное верно для точек луча Ь. Следовательно, лучи а. Ь служат обшей границей углов У, )Р.
Остальные точки угла У лежат внутри обеих полуплоскостей Р, Рь, а остальные точки угла В' — внутри хотя бы одной из полуплоскостей О„ О„ Следовательно, эти точки внутренние н для самих углов У, )у'. П Таким образом, мы приходим к результату: Теорема 6. Два луча с общим началом ограничивают два плоских угла: один является пересечением, а другой — объединением полуплоскостей, ограниченных прямь4ми, содержащил4и эти лучи.
(Формально это верно н для развернутого угла: в этом случае одна полуплоскость пересекается сама с собой, другая — объединяется сама с собой.) П Определение. Плоский угол — объединение двух полуплоскостей — называется сверхтупым. Замечание. Можно определить плоские неразвернутые углы несколько иначе. По отношению к двум лучам а и Ь, составляющим неразвернутый угол, все лучи, исходящие из вершины, кроме самих лучей а и Ь, делятся на два класса; класс Р1 тех лучей, которые проходят внутри угла аЬ, т.
е. пересекает его поперечины, и класс Рт всех остальных лучей. Плоские углы образуются лучами этих классов с 212 ЧАСТЬ К ЭЛЕМЕИТАРИАЯ ГЕОМЕТРИЯ присоединением самих лучей а, Ь. (Это дает способ определять, какому из углов принадлежит данная точка.) Определение. Плоский угол, вершина которого служит центром окружности, называется центральным углом этой окружности (рис.
50). Перессчение его с кругом называется сектором этого круга, и тогда угол называется углом этого сектора. Если угол развернутый, то сектор — полукруг. Рьс. 50 Рис. 51 йдиогоугольиики и площадки. Многоугольником называют фигуру, образованную отрезками А,Ам АААМ, А„А1 с условиями: (а) эти отрезки не имеют общих точек, помимо концов, здесь они обозначены в круговом порядке (в частности, точки А1, ..., А„все различны), (б) никакие два смежных отрезка не образуют одного отрезка. При этом условии отрезки называются стооонами многоугольника; их концы — его вершины.
Поскольку вершин — п, то многоугольник называется п-угольнином, Многоугольником с внутренностью — короче, плоским многоугольником — называется площадка, границей которой служит многоугольник (ее стороны и вершины — это его стороны и вершины). Вообще, площадка, граница которой состоит из конечного числа отрезков, называется многоугольной. Но она может не быть плоским многоугольником, когда ограничена несколькими многоугольниками (рис.
5!). Их вершины называются вершинами площадки. Выполняется важная Теорема 7. Всякий многоугольник ограничивает плоский многоугольник (и при этом только один!). Доказательство этой теоремы мы наметим в конце параграфа. Н.е ФИГУРЫ С ВНУТРЕННИМИ ТОЧКАМИ 213 Всякий достаточно малый круг с центром в вершине плоского многоугольника делится сторонами, сходящимися в этой вершине, на два сектора, из которых только один содержится в этом многоугольнике (рис. 52). Угол этого сектора и называется углом многоугольника при данной вершине, У многоугольной площадки несколько углов могут иметь общую вершину (рис. 51).
Впрочем, под углом плоского многоугольника (как и многоугольной площадки) понимают обычно не столько фигуру, сколько соответствующую величину. Рис. 53 Рис 52 Замечание. Термин «многоугольник» употребляют в разных смыслах, называя им (1) многоугольник как он определен выше; (2) вообще замкнутую ломаную, не исключая пересечений; (3) многоугольник с внутренностью; (4) многоугольную площадку, тогда многоугольник в нашем смысле называют простым многоугольником. Многогранные углы.
Многогранники. Многогранным углом называется фигура, образованная конечным числом плоских углов с общей вершиной и попарно общими сторонами, которые все можно обойти от одного к другому — смежному по стороне,— причем эти углы не имеют других общих точек, кроме как принадлежащих общим сторонам (рис. 53).
Если обозначить плоскис углы их сторонами, то можно сказать, что многогранный угол — это фигура, образуемая плоскими углами а~а„а»ам ..., а«аь причем эти углы не имеют общих точек, помимо принадлежащих их общим сторонам аь а,, ..., а„(которые попарно различны). Это определение аналогично определению замкнутой ломаной или много- угольника. 214 ЧАСТЬ Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Если смежные по стороне углы лежат в одной плоскости, то их можно объединить, так что соседних углов, лежащих н одной плоскости, не останется. Если никакие два соседних угла не лежат в одной плоскости, то углы называются гранями многогранного угла.
Углы, образующие многогранный угол, могут быть развернутыми и сверхтупыми. (В частности, двугранный угол с точкой, отмеченной на его ребре в качестве вершины, подпадает под данное определение многогранного угла. Но его не принято числить среди многогранных углов.) Определение. Многогранник (как поверхность)— это фигура, образованная конечным числом многоугольиых площадок так, что выполнены два условия: (а) Если точка А является вершиной одной из площадок, то плоские углы всех площадок, которым эта точка принадлежит, образуют вокруг нее многогранный угол; при этом если точка Л лежит на стороне какой-либо площадки, то она считается вершиной развернутого угла в этой площадке.
(б) От каждой площадки к любой другой можно перейти по смежным площадкам, т. е. имеющим общую сторону или отрезок стороны. Смежные площадки, лежащие в одной плоскости, можно заменить на одну плоШаЛ- ку. Это, очевидно, не нарушит условий (1), (2). Площадка, не лежащая в одной плоскости ни с какой смежной, называется вранью многограннчка. Точка, являющаяся вершиной какой-либо грани, называется вершиной многогранника.
Сторона или отрезок стороны площадки, соединяющий две вершины (но не содержащий вершины), называется ребром. У многогранника на рис, 54 грань Р— нс многоугольник, и у многогранного угла в вершине Л один плоский угол больше развернутого. Из условия (а), определяющего многогранник, следует, что для взаимного расположения двух граней имеются только следующие возможности: (!) онн не имеют общих точек, (2) имеют одну общую вершину, (3) имеют одну общую сторону, (4) имеют СС.
4 ФИГУРЫ С ВНУТРЕНШ4МИ ТОЧКАМИ 215 несколько общих вершин и лежат в ОднОЙ плоскости, (51 имеют несколько общих вершин и, может быть, несколько общих отрезков сторон, причем все этн вершины и отрезки содержатся в одной прямой (рис. 55). Вообще, многогранник может иметь сложное строение — гораздо более сложное, чем привыкают Рис 55 представлять себе, имея в качестве примеров только пирамиды, призмы, простейшие выпуклые многогранники. Многогранник называется вьспукльсм, если он располагается по одну сторону от плоскости каждой своей грани (не считая, конечно, самой грани). Грани выпуклого многогранника — выпуклые многоугольники.
Каждые две либо не имеют общих точек, либо имеют общую сторону — ребро,— либо только одну общую вершину. Но на рис. 556, в даны примеры многогранников совсем другого строения. Многогранником с внутренностью или телесным многогранником называют тело, ограниченное многогранником в смысле данного здесь определения. И выполняется Теорема 8. Всякий многогранник ограничивает телесньсй многогранник (и притом только один!). Доказательство наметим в конце параграфа.
Замечание. Многогранником (или полиэдром) называют также вообще любое тело, ограниченное конечным числом многоугольных площадок. (Такое тело уже может не быть телесным многогранником!) Для различения можно говорить «многогранноетело». Такие тела могут, вообще, иметь очень сложное 2!в ЧАСТЬ 2 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕГРИЯ строение — полости и другие особенности; мы их не перечисляем, а иллюстрируем на рнс. 56. Ребром тела называется сторона или отрезок стороны ограничивающей его площадки, по которому она смежна с площадкой, лежащей в другой плоскости. Смежные площадки, лежащие в одной плоскости, образуют одну грань, если только они не разделены таким ребром — одним или несколькими (площадки Р, (~ на рис, 56 разделены ребром).
Ряс. зв Многогранниками называют также вообще многогранные поверхности, составленные пз конечного числа многоугольных площадок, обычно с условием, что у каждой площадки любая данная ее сторона либо общая у нее с одной и только одной площадкой, либо «свободн໠— не принадлежит никакой другой площадке. Кроме того, требуется, чтобы все площадки с любой данной вершиной можно было обойти одну за другой, переходя только через их стороны, содержащие эту вершину.
Такой многогранник представляет собой поверхность с краем, образованным свободными сторонами площадок. При таком понимании термина «многогранник» многогранник в смысле первого данного выше определения называют замкнутым. О различении внутренних и внешних точек. Как уже было замечено в связи с определением плоско~о треугольника, само определение внутренних и внешних точек не заключает в себе способа их различать. Пока нет способа, позволяющего установить различие за конечное число операций, оговоренных в определении фигуры, мы не имеем основания признать пло- Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
