1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 21
Текст из файла (страница 21)
86 Действительно, если х,, уо, г, удовлетворяют данному уравнению, то ему удовлетворяют также х = = ход у = уод г = го~ при любом б Эти равенства с параметром ! представляют прямую (если не все х,, уо, г, равны нулю), проходящую через начало и точку (хо, уо, го). Значит, вмссте с любой своей точкой (хо,уо,го) конус содержит и всю такую прямую. Он состоит из таких прямых — образующих. Поверхности всех четырех указанных типов имеют по три плоскости симметрии — это координатные плоскости (так как в уравнение входят только хо, у', г', и поэтому при перемене знака любой из координат уравнение не изменяется — например, при перемене знака г, так что поверхность симметрична относительно плоскости г = О). Все эти поверхности имеют центр симметрии: их уравнения не изменяются при перемене знака всех трех координат, так что поверхности симметричны относительно начала координат.
ч 1 ехзнын типы повегхностки втогого пояядкх пят Рассмотрим еще некоторые сечения всех четырех говерхностей. Если в уравнении любой нз них взять г = сопя(, то получим уравнение вида т2 у~ —, + —, = р=-сопзЕ а' ь' Если р ) О, то это уравнение представляет эллипс на плоскости ху. Это означает, что каждая из рассматриваемых поверхностей пересекается плоскостью г = сопя( по эллипсу, если плоскость ее действительно чпересекает». Прн р О пересечение пусто; при р = О оно представляет собой одну точку (с х = у = О), в этом случае плоскость — касательная. Все эти эллипсы подобны, так как их полуоси равны а~ур, Ь (/р, и, значит, их отношение не зависит от р. Если а = Ь, то эти эллипсы представляют собою окружности и, стало быть, рассматриваемые поверхности — всех четырех типов — представляют собой поверхности вращения.
Эллипсоид получается вращением эллипса вокруг оси, гиперболоиды — вращением гипербол, конус — вращением прямой. Сечения конуса плоскостями, не проходящими через вершину, представляют, согласно лемме, КВП. Если плоскость пересекает одну половину конуса, н притом все его образующие, то сечение ограничено и оно — эллипс; если плоскость параллельна одной из образующих, то сечение состоит из одной бесконечной линии и, стало быть, является параболой. Если же плоскость пересекает обе половины конуса, то сечение — гипербола (рис. 23). Далее идут поверхности, канонические уравнения которых не содержат г', Это прежде всего параболоиды; их два типа.
5. Эллиптический параболоид (рнс. 87) х е — + — = 2г. а 6. Гиперболический параболоид (рис. 88) =2 ач Ьч ЧАСТ! 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГСОЛ1ЕТРИЯ 128 Сечения этих поверхностей плоскостью у = О (как и л = О) представляют собой1 параболы Т2 = часг (у2 = 2Ь'г и уи = — 2ЬЕг). Сечения же плоскостями г = р = сонэ) .Р О представляют собой у эллиптического параболоида эллипсы .2 12 — -+ — =2р. и2 Ь' В частности, это окружности, если а = Ь; тогда это— параболонд вращения. Рис. 87 Рис. 88 У гиперболического параболоида сечения плоскостями г = р = сопй Ф О представляют собой гиперболы 2 „2 —, — —,=2р.
и Сечение плоскостью г=О представляет собой пару прямых. Параболоиды имеют по две плоскости симметрии: х=О и у =О, но не г =О; и они не имеют центра симметрии. Цилиндры. Далее следуют поверхности, представляющие собою цилиндры, направляющими которых служат кривые второго порядка. Такой цилиндр получается, если через все точки данной КВП провести прямые, перпендикулярные плоскости, содержащей эту КВП. Так как типов КВП всего 8, то и цилиндров, на них построенных, 8 типов. Особый случай представляет КВП, являющаяся пустым множеством: т ! РАзные типы ИОВеРхностея ВТОРОГО поРядкА 199 через нее не проходит никакая прямая. Этому соответствует ПВ(1, являющаяся пустым множеством.
Без этого особого случая имеется 7 видов КВП и соответственно 7 видов цилиндрических ПВП. Вот три вида цилиндров на конических сечениях. Рис 89 Рис. 90 и Эллиптический цилиндр (рис. 89) ,е + Ьв 8. Гиперболический цилиндр (рис. 90) лв Ев ье 9. Параболический цилиндр (рис. 91) у'= 2рл. За ними идут ПВП, состоящие из плоскостей (это тоже цилиндры, поскольку плоскость «состоит» из параллельных прямых). 1О.
Пара нересекаюи(ихся плоскостей (рис. 92) у' — йвхе — — О, й ~ О. ! 1. Пара параллельньсх плоскостей (рис. 93) ут — йе = О. 12. Плоскость (рис. 94) 5 А. Д. Алекелклрев. и. Ю. Пецветвев т.| ьлзныя типы повевхностап втояого погадка 1з! 13. Прямая — «цилиндр», построенный на одной точке (рнс. 95) хг+ уг — О Остаются еще два особых случая. 14. Одна точка (рнс. 96) хг + у- + 72 = О 15.
Пустое множество (рнс. 97); его представляют трн типа канонических уравнений л +у+7 = 1, х+у = — 1, хг= — — 1, Сопряженные гиперболоиды. Аснмптотнческнй конус. Рассмотрим однополостный н двуполостный гиперболоиды, представленные уравнениями «2 —,+ — — — =1 а- Ь' сг х е г -Г+ Ь*-У=-1 с одннаковымн полуосямн а, Ь.
с (рис. 98). Сечения их плоскостью у= О представляют собой сопряженные гиперболы Л2 22 — — — =1 аг сг 22 гг — г- — — = — 1. а сг Рис. 98 Аналогичное верно для сечений плоскостью х = О и вообще для сечений плоскостями, проходящимн через ось 7, как в этом можно убедиться. Соответственно и сами гиперболоиды называются сопряженными. Рассмотрим вместе с нпмн конус К, представляемый уравненнем „г 2 — + — — — =О, а»+ Ьг сг Покажем, что при удаленииточкипогиперболоиду (так что абсолютная величина ее координаты 7 132 ЧАСТЬ Ь АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГГОМЕТРНЯ неограниченно возрастает) точка эга неограниченно приблнжаетсл к конусу К Пусть Л((х, у, г) — точка на гиперболоиде, а У(х,у, е') — точка на конусе К с теми же х, у (т.
е. с той жс проекцией на плоскость г = 0). Пусть, для простоты, г, г' ) О. Расстояние МЛ' = (е — г'). Вьщитая пз левых частей уравнений гиперболоидов левую часть уравнсния конуса, найдем для первого гиперболоида («')' — = ), ! 2 — а ~(е + е) = с, «г и для второго точно так жс ~ а' — е) (г'+ а) = с-". Таким образом, для точек на обоих гиперболоидах расстояние их от соответствующей точки конуса будет Л(% =~ »' — е ~= Поэтому при (г'+г)- со получается )г' — -(- О, т.
е. точки М н Ф неограниченно сближаются. П Это свойство выражают, говоря, что конус К является асимитотическим конусолт обоих гиперболоидов. Сечения этих гиперболоидов плоскостями, проходящими через ось а — ось гиперболоидов, — представляют собою гиперболы, а образующие конуса К являются их асимптотами. Будем изменять полуоси гиперболоидов в одно и то же число раз, заменяя а на ра и т. д. Так что уравнения получающихся гиперболоидов можно записать так: «2 у2 — + — — —,. =р", а' Ь' РГ При р- 0 эти уравнения «переходят» и уравнение конуса К. Это значит, что при пропорциональном неограниченном уменьшении полуосей оба гиперболоида стягиваются к конусу.
Можно сказать, что прп из'- менении параметра р, когда он проходит через нуль, один гиперболоид «превращается» в другой, проходя через их общий асимптотический конус. Пропорциональное изменение полуосей есть нс что иное, как гомотетия с центром в центре гипсрболои- Ч. 2. КАНОНИЧЕСКИЛ ВИД КВАДРАТИЧНОИ ФОРМЫ дов — начале координат. Бесконечное гомотетичное сжатие гиперболоидов стягивает их к асимптотичсскому конусу.
5 2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду Нам надо доказать, что все ПВП исчерпываются пятнадцатью нх типами, рассмотренными в $1. Для этого нам понадобится один важный результат из а.чгебры. Определение. Квадратичной формой (двух, трех н т. д. переменных) называют однородный многочлен второй степени. Например 2к'+ Зку+ 4у'+ гт — квадратичная форма от трех псременных '). Форма имеет «канонический вид» или является «суммой квадратов», если в ней нет членов с произведениями переменных, а только члены с пх квадратами (при нпх возможны и отрицатсльныс коэффициенты).
Удобно представлять переменные как прямоугольные координаты в пространстве, и соответственно форма представляется как заданная на пространстве (квадратичная) функция точки 1(Х). Кооордннаты можно преобразовывать (не сдвигая начала), и форма будет изменяться по своему виду. Теорема 1. Всякую квадратичную форму грвк пергл2енных можно превратить в «сумму квадратов» пугел2 подкодящгго преобразования перемвнчых, соответствующего переходу От Одних прямоуаольнык координат к другим. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Рассмотрим квадратичную форму г трех переменных х, у, г. Представим переменные как прямоугольные координаты в пространстве, так что форма Р будет заданной на пространстве функцией точки ((Х). Рассмотрим ее на единичной сфере 5, т. е. на сфере радиуса единица, с уравнением к +у +72=1. (1) ') Вообще, формой называют однородный лнюгочлен от нескольких переменных, степени, л, если составляющие его одно- члены имеют внд ох ' ..
"" а с А, + ... + йю=л. а, ю 134 чхсть ь хнхлььтическхя геомвтеия С алгебраической точки зрения это значит, что маа связываем переменные х, у, г условием (1). Итак, 1(Х) будет обозначать данную квадратичную форму как функцию на сфере Я. Эта функция непрерывная и поэтому достигает на сфере 3 своего наибольшего значения; обозначим его а. Оно достигается в некоторой точке А. Повернем осп координат так, чтобы ось х прошла через точку А. Докажем, что тогда в этих новых координатах, которые мы обозначим также х, у, х, форма г представляется в виде ) = а ьа + 0 (у, х), (2) где 6(у, г) — квадратичная форма только двух переменных, т.
е. ьь формуле (2) ч.тены с произведениями ху, хг отсутствуют, а коэффициент при х' — это, как было обозначено, наибольшее значение формы на сфере 5, т. е. при условии (!). Допустим, форма в новых координатах имеет обший вид ацхз+ 2а„ху+ ... По выбору координат наибольшее значение (прн условии (1)) достигается на оси х, т. е. при х= 1, у = х = О. А это значение будет ац. Значит, ац — — а, как и записано а формуле (2). Допустим, вопреки тому, что нужно доказать, что аь чь О (если аьз = О, то рассмотрим ам). Положим х = О. Форма примет вид (так как ац —— а) 1=ахе+ 2а„ху+ а,уе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
