1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Рисуют направленный отрезок со стрелкой на конце и обозначают АВ, если А — его начало, а  — конец (рис. 40). Замечание. Данное определение может показаться пс математическим. Принято говорить, что направленным отрезком называется отрезок, у которого указан порядок концов: первый конец считаем началом, второй — концом направленного отрезка. Однако что значит «порядок концов», кроме того, что одному концу отнесено слово «первый», другому — «второй»у Поэтому относить одному концу слово «начало»вЂ” ничуть не менее строго, и, кстати, это соответствует тому, что говорят сначало вектора», но никто не говорит «первый конец вектора». Таким образом, данное нами опрсделгние направленного отрезка вполне математическое, оно только необычно с точки зрения принятой «научности» выражений. Говорят «направленный отрезок лежит на прямой» или «направленный отрезок перпендикулярен (параллелен) прямой» (или плоскости или другому направленному отрезку н т.
п.), если соответствующий ему отрезок (т. е., в сущности, он сам) содержится в прямой, перпендикулярен (параллелен) прямой (илп плоскости и т. п.). Точно так же под длиной направленного отрезка понимают длину соответствующего ему отрезка. Направленный отрезок называют, как уже было сказано, вектором, и мы будем так поступать, хотя бы ради краткости. Кроме обозначения началом н концом: АВ, РЦ и т.
п., векторы обозначают а, а н т. п., или полужирным шрифтом: а, Ь н т. и. 59 И1. 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Все даваемые здесь определения и выводы относятся к векторам в пространстве, равно как и на плоскости. Направление н равенство направленных отрезков. Векторы — направленные отрезки — ЛВ, СВ пазы. ваются одинаково направленными или, короче, сонаправленнил!и, если при неограниченном продолжении оип не расходятся, т. е., точно говоря, каковы бы ни были равные отрезки АМ и СЛ', содержащие точки В в Рис 42 Рис.
4! Рис. 40 и А», расстояние МД! не превосходит некоторого данного расстояния (рис. 4!). Это соответствует практическому представлению о «движении параллельными курсами» (ис сониправлснные векторы АМ, СХ могут сначала сходиться, но потом станут расходиться, рис. 42). Соиаправленныс векторы обозначаются: Ф АВ ! ! СВ и т. п.
Параллельные, но не сонаправленные векторы называются противоположно направленными и обозначаются: АВ; „'Сел. Теорема !. Два вектори, сонаправленные с третьим, сонаправлены друг с другом. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть векторы АВ, СО сонаправлены с ВР. Тогда существуют такие числа 441, дь что если отрезки АМ, СЖ. ВР равны н содержат, соответственно, точки В, х», т', то МР < Ы1, 1т'Р < дт. Но по неравенству треугольника МР+ УР.« МЛ/. Поэтому МУ С д!+ 4»е, 60 чзсть ~ лиллитшискля з~ 1чс~пия и это верно для любых точек М, )з' таких, что В с= ЛМ, Л с— = Сй, ЛМ = С.'т' '). Следовательно, векторы ЛВ, СЛ сонапривлены, что и требовалось доказать. П Определение. Два вектора счита)огся рппными, сс, и оии соиаправлеиы и имеют одну и ту ьке длину. Равенство векторов заппсынается, как принято для равенства: »1В=СЛ и т.
п. Теорема 2. Дпп пекгпрп, )танные третьему, рппнеч друг другу. Д о к а з а т с л ь с т в о. Это непосредственно следует из определения равенства благодаря теореме 1. Действительно, пусть у!В=СО и ЕР=СЛ. Это значит, во-иерпыгь что ЛВ и ЕР сонапрпвлены с СЛ и, следовательно, по теореме 1 сонаиравлеиы друг с другом. Во-вторых, длины АВ и ЕР равны длине СЛ, а значит, и сами равны. Итак, ЛВ и Ег сонаправлены и имеют равныс длины, а значит, они, по определению, равны. ьз Следствие.
Отношение рапенггеп векторов рефлексивно, силтметрично и гранзитивно, т. ел 1) а = а; 2) если а=Ь, то Ь=а; 3) еслиа=Ь иЬ=с, то а =с. Первые два свойства заключены в определении, третье вытекает из теоремы 2. Б Отношение, обладающее этими свойствами, называют вообще эквивалентностью — отношением эквивалентности. Для векторов мы называем его рппенстполт. Замечание. Существует мнение, что говорить о равенстве векторов в этом смысле нельзя. Потому что в других случаях «равные» означает «совпадающие». Например, х = 2 означает, что х есть число два. Но АВ = СЛ вовсе не означает, что АВ совпадает с СЛ.
Поэтому в некоторых книгах векторы, «равные» в нашем смысле, называют «эквиполлентными». Однако мы вместе с многими другими авторами считаем вполне возмо.киым применить к векторам термин «равенство», как оио было здесь определено. То, что ') ))ерансистпо треугольника, АВ -1- ВС > АС, лолазынают н плнничетрии, ио оно верно и а пространстве; через любые три точки А, В, С промзлит плоскость, и потому лля иик перно псе, что локазыиастск и илаинметрии. 61 ИЬ Н ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА равенство для векторов (иаправлеииых отрезков) и для чисел имеет разный смысл, не должно вас смущать, нужно только понимать зто различие. О соиаправлеииых и равных векторах.
Теорема 3. Доа вектора АВ, С0, не лежащие на однои прямой, сонаправленьл тогда и только тогда, когда они параллельны и лежат в содержащей их плоскости по однц сторону от прямой АС, проходящей через их начила. Если же векторы АВ, С0 лежит на одной прямой, то они сонаправлены тогда и только тогда, когда один из лучей АВ, С0 содержит другои.
Рис 43 Доказательство. Второе утвер>кдеиие теоремы можно считать очевидным. Обратимся к первому (рис. 43, а). Пусть отрезки АВ, С0 параллельны и лежат по одну сторону от прямой АС. Тогда если вдоль них проведены равные отрезки АМ, СД1, то мы получаем параллелограмм со стороной МУ, противоположиой АС, так что МФ =АС. Стало быть, векторы АВ, С0 соиаправлеиы.
Докажем обратное. Пусть векторы ЛВ, С0 ие ле. жат иа одной прямой и соиаправлены. Проведем из точки С отрезок СЕ, параллельный ЛВ и лежащий по ту же сторону от прямой ЛС. По доказанному СЕ11 ЛВ. Допустим, СЕ ие налегает иа С0, т. е. отрезки СЕ, С0 образуют угол. Тогда если вдоль иих откладывать все ббльшие равные отрезки СР, Сп(, то 62 ЧАСТЬ Ь АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ расстояние Р)т' будет неограниченно расти, — а если равные им отрезки АМ откладывать вдоль АВ, то все время МР = АС (рис.
43, б). По неравенству треугольника МФ ) МР— МР = ИР— АС, и так как НР не ограничено, то и МйГ не ограничено. Но зто противоречит тому, что по условию АВ и С0 сонаправлены, так что М!У должно быть ограничено. Таким образом, отрезок СЕ должен на. легать на С0.
А стало быть, С0 расположен так же, как СЕ, т. е. тоже параллелен ЛВ и лежит по ту же сторону от А С. Что и требовалось доказать. П Теорема 4. Для всякого вектора ЛВ при любой — э точкс С существует вектор С0, ровный АВ, и притом только один. Короче зго вгвражспот так: от всякой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один, Дока за тел ьство.
Пусть даны вектор АВ и точка С, не лежащая на прямой АВ. Проведем через точки А, В, С плоскость, в ней проведем отрезок С0, параллельный и равный АВ и расположенный по ту же сторону от прямой АС, что и отрезок АВ (рис, 43, а). По теореме 3, С0 = ЛВ. Вектор, равный АВ, отложен от точки С. Он единственный, потому что через точку С проходит только одна прямая, параллельная данной АВ.
Вектор С0 должен лежать на ней, и его направление и длина определены однозначно. Если точка С лежит на прямой АВ, то можно поступить, например, так. Проводим отрезок АС. Если ои совпадает по направленво с АВ, то откладываем С0 =АВ вдоль СА. В противном случае откладываем С0 = АВ в противоположную сторону. То, что здесь направленный отрезок С0, равный АВ, только один, очевидно: на луче от его начала откладывается только один отрезок, равный данному.
П Отметим важное свойство равенства векторов. Лемма. Равенство АВ = С0 имеет место тогда и только тогда, когда АС = В0. П! !. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА 63 До к аз а тел ь ство. Если отрезки АВ, С0 не лежат на одной прямой, то согласно теореме 3 равенство АВ =С0 равносильно тому, что отрезки АВ, С0 служат противоположными сторонами параллелограмма. Две другие его стороны — это отрезки АС и В0, так что АС= В0 (рис.
44). Совершенно так же нз равенства ЛС = В0 следует, что АВ = С0. Ю Если точки А, В, С, 0 лежат на одной прямой, то доказательство получается, если посмотреть, как отрезки АС, В0 по- л луча!отса пз АВ, С0. Рас- !У смотрение разных случаев читатель проведет сам. П Нуль-вектор. В доказанной только что лемме есть логический пропуск. Равенство ЛВ= С0 может оказаться равспсгвом АВ = АВ, так как ие оговорено, что точка С отлична от А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
