1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Так естественно 52 чАсть ь АиАлиТическля ГеОметРия появляется представление этой траектории в полярных координатах, Так же естественно, что уравнение (3) задает именно ветвь гиперболы, обходящую фокус: траектория не может состоять из двух разделенных ветвей и из-за притяжения тела к Солнцу, находящемуся в фокусе, должна огибать его. Вообще уравнение (3) представляет любую возмо;кную траекторию материальной точки во всяком поле, где сила притяжения направлена к фиксированному центру и обратно пропорциональна квадрату расстояния (исключая случай, когда точка двп'котся по прямой к центру или от несо). Если жс действует сила отталкивания от центра, — тоже обратно пропорциональная квадрату расстояния, †-то точка под влиянием такой силы движется по другой ветви гиперболы, отходящей от фокуса (рис.
39). По закону «обратного квадрата расстояния» действуют «кулоновские» силы: силы притяжения между противоположными по знаку электрическими зарядами и отталкивания — между одноименными зарядами. Еще в начале нашего века великий английский физик Резерфорд из наблюдений над рассеянием а-частиц заключил, что атом имеет ядро, которое положительно заряжено. В этом важнейшем открытии существенную роль сыграло то, что траектории а-частиц должны быть ветвями гипербол '). Таким образом, конические сечения и представление их уравнениями (6) связаны с самыми фундаментальными проблемами естествознания: с познанием законов движения небесных тел, с одной стороны, и открытием ядра атома, с другой! Уравнение конического сечения, отнесенное к вершине. Если начало координат взять в вершине и сохранить направление оси х, получим уравнение, общее для эллипса, гиперболы и параболы: уз = 2рх + (ез — 1) х'. ') Конечно, наблюдаемые трвекторнм — прямые: ветвь гиперболы далеко от вершины неотличима от асимптоты.
Но движение по гиперболе определяет направление движения летящей к ядру н отброшенной ядром и-частнпы. Это и играет роль в выводе формулы Резерфорда, прнмеияа которую к анализу экспермментальиых данных„ои доказал существование ядра. 53 !! 7 кллсспФикл!г!!я квп Здесь р, е — как и выше, в уравнениях (5), (6),— фокнльный параметр и эксцентриситет При е С ! получастсн эллипс, при е ) ! — гипербола, при е = !в парабола '). Выведите это уравнение и рассмотрите, кзк пзменяетсн шлд кривой при постоянном р н непрерывном изменении е, начиная от нуля. $1. Классификация КВП В й 1 мы указали 8 типов КВП.
Теперь докажем, что !!лги иечернываютсз все возможньге КВП, т. е. что уравнение гг!,хз + 2п,агу + а»туз 4- 2а,х + 2ату + в, = О (1) может представлять только кривую одного из указанных типов. Это можно назвать «основной теоремой о КВП». Идея доказательства состоит в том, чтобы путем преобразований координат привести уравнение (1) к возможно более простому виду, когда тип кривой, какую оно может представлять, станет очевидным.
Действительно, уравнение может быть сложным потому, что система координат не связана естественно с кривой. Задача состоит в том, чтобы перейти от, так сказать, «случайной» системы координат к «естественной» для данной кривой. Лемма (А). Всегда можно повернуть оси координат так, чтобы член с произведением ху исчез. Доказательство. Допустим, амчьО.
Введем координаты х', у', повернув оси иа угол а. Тогда х = х'сова — у' з!п а, у = х' з)п а + у' соз а. Подставляя эти выражения в (1), найдем коэффициент 2а', при произведении х'у', он букет 2а'„=2а„япасоза — 2ап япасоза+2а„(созаа — яп'а)= = (а„— ап) яп 2а + 2а,е соз 2а. ') Врн «С ! [«т — !)г» С О, прн е ) 1 (н' — ))х' ) О. Это вырез.ают саин грсчсскне яазнання: «зллнпс» -- нелостаток, «гнперболз» вЂ” нзбыток. Название «парабола» означае! «прнкладываннл» н связано с гсометрнческпм смысло»! уравнсння у» = 2рх. квалрат, построенный на отрезке у, равновелюс прямоуголышку со сторонамн 2р, .г, вч ЧАСТЬ 1 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Так как предположено ам чь О, то, взяв а так, что со» эи = С1д 2а= и!! «2! получим 2а',„= О.
П Таким образом, мы можем предполагать дальше, что уравнение имеет вид анхэ+ и,,у'+ 2а,х+ 2а.у+ а„=б, (2) Понятно, что в этом уравнсции коэффициенты, вообще говоря, нс такие, как в (1), и координаты х, у берутся уже в другой системе, но для простоты записи мы этого нс отмечаем. Лемма (В). Если в уравнении (2) ан ФО (амФ ~ 0), то член с х (у) можно искл>очить переносом начала координат.
Д о к а з а т с л ь с т в о. Перенесен начало в точку (- ) а! ! и! / — —, О), так чго х=х — —, у=у . и!! ч,, Тогда анхэ+ 2а,х =— Ъ» = ан (х')е — 2ан — ' х' + 1 — ') + 2а,х' = и„' (а!! т = ан (х')'+ ( ), т. е. член с х' отсутствует. (Полезно отметить, что при переносе начала, т, е. подстановке х = х' + р (и у = у'+ д), коэффициенты при х', уэ уже не изменяются.) П Теперь можно заметить, что в уравнении (2) хотя бы один из коэффициентов ан, аы не равен нулю. Можно считать, что ими 0 (иначе переименуем координаты). Тогда, применяя «операцию В», т.
е. указанный только что в лемме (В) перенос начала, мы придем к уравнению, где член с у' отсутствует. Таким образом, оказывается, что всегда можно выбрать координаты так, чтобы данная КВП представлялась уравнением вида анх'+ амуэ+ 2а,х+ а = О. Из этого уравнения видно, что ось х служит осью симметрии кривой. Стало быть, мы доказали, между П Х КЛАССИФИКАЦИЯ КВП прочим, что всякая КВП имеет хотя бы одну ось симметрии! Таперь рассмотрим различные возможности для уравнения (3). Случай 1.
Пусть в (3) ап Ф О (и аоо ~ О, как уже прсдполоакено). Тогда операцией (В) можно прийти к уравнению без члена с х, так что уравнение (3) примет впд а„ха -1. а„,ух+ аа — — 0 (4) (новыс координаты мы для простоты записи обозначаем х, у). Теперь есть две возможности: (1, 1) аа ~ О, (1, 2) па=О. (1, 1) Допустим, а, ~ О.
Тогда (4) можно псрепи. сать в виде ( = — "', ао ао l ахо+ Нуа= 1 Тут есть следующие возможности: (1, 1а) Пусть а ) 0 и й ) О. Тогда, полагая а = = а-', 6 = Ь вЂ” ', приведем (6) к виду х' ух —,+ —,=1, ьг т. е, кривая — зллипс. (1, 16) Пусть а ~ О, р ~ О. Тогда невозможно ни, при каких х, у, так пустая. (1,!в) Пусть а, 6 разных знаков. а ) О, (1 ( О.
Тогда, полагая а = а-о, лучнм равенство (5) что кривая— Пусть именно 6= — Ь о, по- хх уо — — — =1 ао Ох т. е, кривая — гипербола. (Понятно, что если а с. О, 6) О, то можно переименовать координаты.) (1,2) Пусть аа = О. Тогда (4) сводится к анхо+ аьаУ*= О, (6) и есть две возможности: (1, 2а) Пусть ап, ато разных знаков, так что — ( О (по условию ац и-О, ага ФО).
Тогда, деля ахо 56 ЧАСТЬ 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРНЯ (6) на а,. и полагая — —" = ят, заменяем (6) на «22 у' — й'х'=О, т. е. (у+ йх)(у — йх) =О. Таким образом„кривая есть пара прямых у = йх, у = — Фх, (1,26) Пусть ап, а„одного знака. Тогда, как очевидно, (6) возможно лишь при х = и = О, т е. кривая есть точка.
Случай П. В уравнении (3) а11 = О (аез ~ О по условию). Поэтому уравнение (3) (если разделить на ам) сводится к уравнению вида у' + 2рх + у = О. Мы различаем прежде всего два случая: либо рФО,либо р=О. (П, 1) Пусть р чь О. Тогда перенесем начало в точку ( — —, О~, т. е. положим х=х — —. В реч г ч 2р ' 2р ' зультате уравнение (7) приведется к виду у' + 2рх' = О, или, после снятия штриха, получаем ух = — 2рх т.
с. кривая — парабола. Если р О, то, обращая направлсю1с оси х, т. с. изменяя знак х, получим справа 2рх. (П,2) Пусть р = О. Тогда (7) приводится к виду д'+у=о (8) и имеется три случая: а ( О, а = О, а» О. (П, 2а) Если у( О, то (8) равносильно (У + З/ — и) (У вЂ” т/ — и) = О, т. е, кривая есть пара параллельных прямых у= =ъ' — у, у= — ъ' — у. (П, 26) Если а = О, то уравнение (8) сводится к у' = О, т. е. у = О, т. е, представляет прямую.
(П,2в) Если у.» О, то равенство (8) невозможно ни при каком у, т. е. кривая — пустая. Но пустую кривую мы уже получили раньше в случае (1, 16). «Основная теорема о КВП» доказана. Е) Пь! ПОНЯТПЕ ВЕКТОРА Замечание. Пустая кривая получилась у нас дважды: в случаях (1, 1б), (П, 2в). Это объясняется тем, что ее представляют в этих случаях существенно различные уравнения. В случае (1, !б) ее уравнение содержит обе координаты, а в случае (11,2в) — только одну. Отметим, что уравнение второй степени может представлять окружность только тогда, когда оно имеет вид а (х'+ у') + 2а,х+ 2аад+ аа — — О. (9) Действительно, если кривая — окружность, то после поворота осей, псключа~ощего .ту, должно оказаться ап = ааа.
(Эллипс с равными осями.) Но А»+у» не изменяется при повороте осей, т. е. х'+ +уз = х'+ у', Поэтому и до поворота должно быть ип = ааь ам = О, т. е, уравнение должно иметь указанный вид. Однако уравнение (9) может представлять окружность лишь при а', + а, '> аа„ее радиус г= т/а',+а,-'— ааа (Докажите это.) При а',+а„'=аа, уравнение задает точку, а при а';+ а~ < ааа — пустое множесгво.
Отгаада, между прочим, следует, что если дано уравнение (9) и заранее известно, что представляемая им кривая содержит хотя бы две точки, то опав окружность. Аналогично, если в общем уравнении (1) ам= О и ап, а„одного знака и кривая содержит хотя бы две точки, то она — эллипс.
(Почему)) Г л а а а 111 ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ В 1. Понятие вектора Направленные отрезки. Термин «вектор» употребляют в геометрии по крайней мере в двух смыслах,— хотя н связанных, но тем не менее существенно различных. С одной стороны, вектором называют направленный отрезок, с другой стороны, вектор понимают, как понимают в физике «векторные величины» — скорость, силу и т.
п. (когда говорят, например, что одна и та же сила может быть приложена М ЧАСТЬ Ь АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ к разным телам — в разных точках). Представляется удобным различать соответственно «конкретный вектор» — направленный отрезок — и «абстрактный (или, как принято говорить, — свободный) вектор». Рассмотрим сначала направленные отрезки — конкретные векторы. Направленным отрезком называют отрезок, у которого один конец именуют началом, а другой— концом этого направленного отрезка. Поэтому в шутку можно сказать, что направленный отрезок — это отрезок, у которого только один конец, а другой переименован в начало.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
