1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 4
Текст из файла (страница 4)
е, в случае (3) уравеееяе «ив«его ее ереяставляетв. Ь 3 РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ. ОКРУЖНОСТЬ 21 Если правая часть в (5) равна нулю, то получаем (х — х„)'+ (у — уь)' = О. Это уравнение удовлетворяется только прн х = хм у = ум т. е. оно представляет точку (хм уе). Наконец, если правая часть в (5) отрицательна, то равенство (5) невозможно, так как левая его часть заведомо неотрццатсльна при всех л, у. Сл Рассмотрев уравнение (3), мы получили пример ко второй задаче аналитической геометрии: исследованию того, какие фигуры может представлять то плп иное уравнение.
Второй вывод уравнения прямой. Как известно, множество точек, каждая из которых равноудалсна от двух данных точек, представляет собой прямую. Очевидно, всякую прямую можно представить как такое множество — как серединный перпендикуляр подходящего отрезка. Это позволяет получить уравнение прямой другим способом. Пусть выбраны прямоугольные координаты х, у и дана какал-либо прямая а. Проведем перпендикулярный ей отрсзок А,Ам который оиа делит пополам. Тогда точки М прямой а характеризуются равенством расстояний: Л,М = ЛЕМ или А~МУ = АУМТ. Если координаты точек Ль Ат обозначить аь Ь~, а,, Ь„а координаты произвольной точки М вЂ” х, у, то, применяя формулу ()) для расстояния, можно написать; (х — а,)т + (у — Ь,)' = (х — ат)'+ (у — Ь,)'.
(?) Выполняя возведение в квадрат, заметим, что с обеих сторон равенства оказывается хт+у~. Поэтому квадраты взаимно уничтожаются и остаются х, у только в первой степени, т. е. получаем линейное уравнение (в) ах+ Ьу+ с =О (как выражаются здесь а, Ь, с через а„а,; Ьь Ь,, нам пока не важно). Мы еще раз доказали, таким образом, что всякая прямая представляется линейным уравнением. Но на сделанный вывод можно посмотреть и иначе. Мы доказали, что множество точек М, для которых. А~М = А,М, представляется линейным уравнением.
А так как раньше было доказано, что линейное 22 ЧАСТЬ !. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ уравнение задает прямую, то мы, можно сказать, доказали теорему геометрии: множество точек, равно- удаленных от двух данных точек, представляет собой прямую. Теперь докажем, что всякое линейное уравнение задает прямую. Для этого выпишем выражения коэффициентов а, Ь, с в (()), как они получаются нз (7): а = 2(ае — а,), Ь = 2(Ьэ — Ь!), с =(а', + Ь',) — (ат+ Ь;-). (9) При й =! это будет, как известно, прямая. Но при й ~ 1 это — окружносг!и ее называют окруэкностою Аполлония '). Для доказательства возьмем прямоугольные координаты с началом в точке В н положительной полуосью х, проходящей через А. Тогда", полагая АВ = а, имеем (рис. 1О) ВМ'=ха+ ух, АМэ=(х — а)'+ у-". ') Аполлоний (около 2Б2 — )90 до н.
э.) — один иэ великих древнегреческих геометров эпохи Евклида (конец 4 в.— 3 век до нл.) и Архимеда (ок. 287 — 212 до н. э.). Если дано уравнение ах + Ьу + с = О, то подберем а,, Ь,; а,, Ь, так, чтобы удовлетворить равенства (9), и тогда убедимся, что данное уравнение представляет множество точек, равноудаленных от точек А,(а„ Ь,), А,(ах, Ьэ) — т. е. представляет прямую. (Проведите этот вывод, решив уравнения (9).) Окружность Аполлония. В задачи аналитической геометрии входит получение геометрических результатов при помощи координат и, соответственно, алгебры. Прекрасный тому пример дает задача: пусть А,  — две данные точки.
Спрашивается, какую фигуру образуют такие точки М, для которых отношение расстояний АМ, ВМ одно и то же: — = Ь = сопэЕА (!О) лм ВМ гяк поляеныв н деигие кооедннлты И А по условию: АМг фг. иМг Очевидно, мы получим уравнение вида (3), а из него найдем центр и радиус окружности. (Проведите это решение в деталях.) Получить решение этой задачи, не пользуясь координатами, затруднительно. Обобщение. Пусть дано произвольное число а точек Аь ..., А. и числа Фь ..., й„. Спрашивается, что представляет собою множество точек М, для которых !г, А,Мг+ 1г,. А,Мг+ ., + й„- АьМг=с=сонэ!? (1!) (Условие (10) задачи Аполлония — частный случай: в нем точек две, с = О, )г~ = 1, /г, = — йг.) Ответ: это будет либо окружность, либо прямая, либо одна точка, либо пустое множество (как в случае уравнения (3)). То же получится, если в (! !) справа поставить ах + Ьу + с.
(Докажите все это.) $4. Полярные н другие координаты Выберем точку О, исходящий из нее луч а и направление отсчета углов от луча а вокруг точки О. Каждой точке плоскости М, отличной от О, сопоставляем два числа: расстояние г от О до М и выраженный в радианах угол гр, обра- и зуемый лучом ОМ с лучом а и отсчитываемый в выбранном направ- т ленин (рис. !1) (в противоположном направлении угол считаетсяотрнцательным). Эти числа г, гр назы- р иаются лолярными координатами а а точки М; точка Π— центр, луч а— Рис. 1! начальный луч системы полярных координат. Центру О соответствует г = О, а угол ~р не определен.
Для угловой координаты †д угла гр — допускаются, вообще говоря, любые значения; при этом, разумеется, углы, отличающиеся на целое кратное 2л, определяют один и тот же луч с началом О. Таким образом, в отличие от прямоугольных координат, между значениями полярных координат и точками плоскости нет взаимно однозначною 24 ЧАСТЬ 1 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ соответствия: каждая пара координат задает определенную точку, но одной точке соответствует одно расстояние г и бесконечно много значений угловой координаты. Изменение координаты ф подвижной точки М удобно представлять как вращение луча ОМ. Это видно на примере слирили А рхимеГЗа (рис. 12), задаваемой уравнением г = аф (а ) О). Каждый луч из О пересекает эту спираль в бесконечном числе точек со значениями ф, отличающимися Рис.
12 на целое кратное 2л (так как г ~ О, то ф ) О). О координатах. Координатами (точнес, координатами точек) вообще называются числа, которые задают точки,— точка фиксируется указанием ее координат. Координазы или, как говорят, системы координат могут быть самые разные: прямоугольные и полярные — только самые простые; кроме этих мыслимы и применяются другие, некоторые из них указаны дальше. Кроме того, сами прямоугольные координаты можно вводить, беря разные оси, тан же как полярные — беря разные начала, начальные лучи и У меняя направление отсче- м та углов. У В связи с разнообразием возможных систем координат нужно иметь в виду следующее.
Когда говорят о задании фиРис. 13 гуры уравнением, нужно оговорить — в каких координатах. Например: что задает уравнение и = ао в координатах и, ер Если координаты и, е прямоугольные, то — прямую; если полярные — то спираль Архимеда. Обычно опускают такие оговорки о системе координат, когда ясно, какие квардмнвты имеются в виду, чаще всего — прямоугольные.
Аффннные координаты. Оси х, у (наменяв,— со своим масштабом1) проводятся под произвольным углом; угол между положительными полуосями пусть 25 Б 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ будет а. Координата х точки М вЂ” это координата той точки на оси х, в которой эту ось пересекает проведенная через М прямая, параллельная оси у. Аналогично определяется координата у (рис. 13).
Докажите — в таких координатах — теорему о прямой: всякая прямая представляется линейным уравнением и, обратно, всякое линейное уравнение представляет прямую. Найдите выражение для расстояния между точнами. Напишите уравнение окружности. 5 5. Преобразование координат Переход от одних координат к другим — от одной системы координат к другой — совершается путем преобразования координат, Формулы преобразования выражают старые координаты через новые.
(Координаты, от которых происходит переход, можно называть «старыми», а другие — «новыми».) рассмотрим переход от прямоугольных координат к полярным и обратно, когда у них начало обшее, положительная полуось х совпадает с начальным лучом и направление отсчета углов идет от положительной полуоси х к положительной полуоси у. Тогда (как можно видеть из самого определения тех и других координат, а также — косинуса и синуса (рис.
14)) х = г соэ 22, у = г В!п <р; /х2 1 ух 1к У (Так как в пределах от О до 2п угол не определяется тангенсом однозначно, то нужно учитывать знак х и у. Какй) Рассмотрим теперь преобразование прямоугольных координат. Пусть имеются две системы координат: старая х, у и новая х', у'. Начало старой — О, новой — О' (рис.
!5). Геометрически переход от старой системы координат к новой можно представить таким образом: переносим оси так, чтобы начало О попало в О'. Затем поворачиваем оси так, чтобы положительная полуось х перешла в положительную полуось х'. После этого положительная полуось у либо совпадет с положительной полуосью у', либо не совпадет, а будет направлена противоположно. Тогда $6 чАсть 1. АИАлнтичнскАя гаоматэня мадо ее нперевернутьо отражением относительно оси х.
Представим это формулами в координатах. Рассмотрим каждый вид преобразования координат отдельно. Рнс. 15 Перенос начала. Пусть новое начало О' имеет старые координаты хо, у, (рнс. !6). Новые оси параллельны старым и одинаково с ними направлены. Эти Рнс.
!б Рнс. 17 осн — прямые х = хо, у = уо. Поэтому новые координаты х', у' произвольной точки М(х, у) будут х =х — х,, у =у — уо. (2) Поворот вокруг начала. Пусть новые координаты имеют то же начало О, что и старые, но оси повернуты на угол а (отсчитываемый как было указано) (рис. !7). Если ввести полярные координаты со старым н новым начальным лучом, то новые полярные коорди- ь з. ов аналитическом геометамн йт наты будут, очевидно, Г' Поэтому из формул (1) новые х', у' будут х' = г' соз ~р' = г соз (~р — а), у' = Г в!п <р' = г яп (~р — а).
Отсюда х'=гсозфсова+ г з!и !р в!па, у' = г з!и ф соз а — соз ~р в!п а. И ввиду выражений (!) для старык х, у получаем х' = х соз а + у з!и а, у' = усова — х яп а. (4) Обратный переход от новых координат х', у' к старым х, у сводится к повороту на угол а в обратную сторону, т. е. на — а, Поэтому (так как соз( — а) = = сова, яп( — а)= — япа) х = х' соз а — у' з!и а, у = х' в(п а + у' соз а. (5 ) Если соединить поворот с переносом, который делается сначала, то в формулу (4) надо подставить х — ха у — уз вместо х, у. Это приводит к тому, что формулы (4) получат свободный член.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
