1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Понятие бесконечной прямой возникает из представления о продолжении отрезка. Равенство отрезков вводится как основное отношение, ио существование длины — численной длины цри данном масштабе— с условием, что равные отрезки имеют равные длины, принимается как аксиома. Аналогично, дальше принимаются аксиомы о мере угла, площади и объеме (естественно, если, в частности, существование площади ие доказывается, то его следует принять в качестве аксиомы). Из аксиом выводится довольно много следствий, которые сами по себе совершенно очевидны; их вывод представляется полезным как упражнение в строгик доказательствах. пиедисловие -Обратим еще внимание на то необычное обстоятельство, что мы вводим в аксиоматику акспоматпческос определение понятия фигуры (илп множества точек, как оно нужно в геометрии).
Это представляется естественным и даже необходимым, если хотеть основывать геометрию на аксиомах, понимая под геометрией «науку о фигурах». Какпс вопросы элементарной геометрии рассматриваются вслед за аксиомат~кой, читатель может видеть нз оглавления. В третьей части, тоже, собственно, относящейся к элементарной геометрии, рассматриваются отображения — в первую очередь — те, которые сохраняют расстояния. Их мы называем «наложениями», как это делается в некоторых учебниках (например, у Л. (!.
Киселева и у Л. С. Атанасяна с соавторами,— удобно сказать: «одна фигура налагается на другую», а термин «движение» относится, скорее, к процессу). За общими теоремами о наложениях и симметрией правильных многогранников следуют аффинные преобразования, инверсии н проективные преобразования, от которых начинается проективная геометрия. В нашем изложении она «сведена» к элементарной геометрии и служит тем же задачам школьного преподавания (по крайней мере в классах с углубленным изучением математики).
Топологическое строение проективной плоскости выясняется потом, в части, посвященной топологии. В конце первого раздела дается элементарное понятие о многомерной геометрии. Второй раздел книги содержит в первых двух его частях дифференциальную геометрию и начала топологии, Они служат расширению кругозора учителя, но связаны со школьным курсом через понятия длины кривой, площади поверхности, теорему Эйлера и т. п. Дифференциальная геометрия изучает кривые и поверхности в трехмерном пространстве (а также их обобщения в многомерном пространстве).
Кривые н поверхности мы определяем как фигуры — миожежества точек. Мы задаем их параметрнчески, а не уравнениями, как в аналитической геометрии. Для краткости изложения дифференциально-геометрические понятия мы определяем чаще всего конструктивно — при помощи явной формулы, а уже затем ПРЕДИСЛОВИЕ даем чисто геометрическое определение, не использующее конкретной пара метрнзации. Начала теоретико-множественной топологии изложены на основе понятия топологической структуры в множестве, исходя из аксиоматики открытых множеств.
При этом учитывается, что первые топологические понятия для евклидова пространства вводились уже во второй части книги, и, кроме того, известны читателю из курса анализа. Порядок изложения таков, что сначала мы вводим понятие непрерывного отображения одного пространства в другое, затем — понятие гомеоморфизма и только после этого приступаем к изучению таких топологических свойств пространств и множеств в них, как связность и компактность.
Изучение наиболее интересных с геометрической точки зрения пространств — многообразий — завершается топологической классификацией компактных двумерных многообразий — поверхностей. Третью часть второго раздела представляют основания геометрии. Здесь дается аксноматика евклидовой геометрии с теми же основными понятиями, что в первом разделе (часть 2), но с аксиомами равенства отрезков и аксиомой непрерывности, которые дают основание для понятия длины. Соответственно обосновываются понятия о всех величинах: длина, мера угла, площадь, объем. Дается аксиоматичесное определение фигуры в элементарной геометрии, уточняющее определсние, данное в части 2.
Затем рас. сматриваются понятия непротиворечивости, независимости и полноты, дается модель геометрии Лобачевского и аналитическая модель евклидовой геометрии или, что равносильно,— аксиоматика, использующая координаты. Она содержит всего три аксиомы и применяется также для п-мерного пространства. Совершенно аналогичными аксиомами определяется псевдосвклидово пространство, и мы приходим к теории относительности в геометрическом ее представлении. Тут же излагается групповой принцип определения той или иной геометрии и, наконец, в дополнение, дается некоторое понятие о римановой геометрии.
Эти заключительные параграфы не претендуют на то, чтобы каждый студент мог ясно понять и усвоить то, о чем там говорится. Но, думается, в этом пгедисловпе нег ничего страшного: учителю полезно сочетать твердое усвоение основ школьного курса с представлениями, выходящими за его пределы, как бы соединяя твердое ядро знаний с расширяющимися в пространство науки представлениями. В книге части 1, 2, 3 и 6 написаны А. Д.
Александровым, а 4 и 5 — Н. Ю. Нецветаевым, им же выполнено большинство рисунков. Авторы будут благодарны всем читателям — преподавателям и студентам — за отзывы и замечания об этой книге. Мы благодарны редактору книги А. Л.
Вернеру за его большую работу по усовершенствованию рукописи и сотрудникам кафедр геометрии Воронежского н Новосибирского педагогических институтов, а также (и особенно) А. В. Кузьминых за критические замечания, которые мы по мере сил постарались учесть. Мы благодарим Т. Н. Рожковскую и Н. А. Рожковскую за неоценимую помощь при оформлении рукописи.
Часть 1 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Основная цель первой части курса — углубить знакомство с координатами и векторами н показать, как онн применяются в геометрии. Хотя многое о координатах и векторах известно из школы, мы полностью излагаем все необходимые сведения о них. Вместе с этим рассматривается представление уравнениями в координатах линий на плоскости и поверхностей в пространстве, какие в школе не изучалнсь. Координаты и векторы важны не только в геометрии — они широко применяются н в других разделах математики, а также в физике и т.
д. Поэтому-то речь о них и идет в самом начале нашего курса. Существенная особенность изложения в этой книге — та, что важнейшие понятия курса часто изучаются по нескольку раз различными методами н рассматриваются с разных сторон. Так, в этой части мы трижды обращаемся к прямой на плоскости, изучая ее и координатным, и векторным методами в главах 1 н 4. Аналогично обсуждаются разные подходы к кривым второго порядка (КВП). Всестороннее изучение основных понятий призвано формировать более глубокий и широкий взгляд на них.
Глава ! НАЧАЛА АНАЛИТИЧЕЕКОИ ГЕОМЕТРИИ $1. Прямоугольные координаты Аналитическая геометрия — это, коротко говоря, такой раздел геометрии, в котором геометрические фигуры изучаются с помощью алгебры на основе применения координат. Прямоугольные (декартовы) координаты на плоскости и простейшие результаты аналитической геометрии известны из школьного 12 ЧАСТЬ Ь АИЛЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ курса. Мы, однако, начнем с того, что повторим их: что-что, а начало, первые основы предмета, должны быть твердо усвоены, чтобы можно было двигаться дальше. Применение алгебры, как и последующее применение анализа, основано на представлении геометрических соотношений в виде алгебраических соотношений между числами, представляющими геометрические величины. Поэтому мы начинаем с того, что выбираем и закрепляем раз и навсегда ') единицу длины (единичный отрезок) и в ней выражаем все длины и расстояния, так что дальше «длина» и «расстояние» обозначают действительные числа.
Как известно из школь- ного курса, прямоугольные м м координаты на плоскости определя|отся следующим образом. Выбираем две взаимно перпендикулярные прямые — оси координат; их рис 1 точка пересечения Π— на- чало координат — делит каждую из иих на два луча; один считаем положительной полуосью, другой — отрицательной (рис. 1). Каждой точке М на оси относится ее координата; расстояние ОМ, если точка на положительной полуоси, и расстояние ОМ с минусом для точек на отрицательной полуоси. На одной оси координата обозначается х, и эта ось называется «осью х»; на другой оси координата обозначается у, и эта ось называется «осью у» (старые названия координат: х — «абсцисса», у — «ордината», теперь мало употребимы). Для начала координат получаем х = у = О. Каждой точке М на плоскости сопоставляются в качестве ее координат км, ум координаты ее проекций на оси к и у (напомним, что проекция точки на прямую — это основание опущенного из нее перпендикуляра или сама точка, если она лежит на прямой, на которую производится проектирование).
') Это сотлишеиие относится и части 1. ь ь поямотгольныа кооодинхты ~з Обратно, каждой упорядоченной паре чисел хо, уо соответствует точка М (хь уо) с координатами х = =хо, у =уо Она может быть получена следующим образом. Берем на оси х точку М, с координатой х,; если уо = О, то зто и будет точка М(хо, уо) Если же уо Ф О, то проводим из точки М, перпендикуляр к оси х на длину (уо( в сторону положительных у (в полуплоскость, где лежит положительная полуось у), если уо ) О, н в сторону отрицательных у, если уо < О. Конец этого перпендикуляра и будет точка М(х„уо).
Если М̄— опущенный из нее перпендикуляр на ось у, то координата у его основания Мо и будет у, (поскольку либо М на оси у, когда хо = О, либо ОМ,ММо — прямоугольник, так что ОМ„ = М,М (рис. 2)). Поэтому построение точки Рос. 2 М(хо,уо) можно начинать, взяв на оси у точку М„ с координатой у = у„ и из нее проводить перпендикуляр и оси у. Таким образом, между точками плоскости и упорядоченными ларами чисел х, у устанавливается взаимно однозначное соответствие: каждой точке сопоставляется пара координат, и каждой паре чисел— точка с такими координатамн. Оси образуют четыре прямых угла, внутренние области которых называются квадрантами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
