1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

В каждом квадранте координаты имеют определенный знак. Квадранты нумеруют в таком порядке; первый тот, где х ) О, у ) 0; во втором х < О; у) 0; в третьем х<О, у<0; в четвертом х>0, у<0 (рис. 3). Принято считать ось х горизонтальной и ограниченную ею полуплоскость, где у ) О, называть верх- 14 чхсть с аналитическая гяометвия ней, другую, где у О,— нижней. Направление оси х в сторону возрастания координаты х принято считать направлением вправо, противоположное — влево.

Поворот от положительиой полуоси х к положительной полуоси у считают идущим против часовой стрелки. Поэтому втой же последовательности — против часовой стрелки — иумероваиы квадранты. Нужно, однако, ясно понимать, что зто уже ие геометрия: в геометрии иет ии верха, ии низа, ии направления вправо, ии влево, и никакой часовой стрелки. Все это относится ие к осям координат в геометрии, а к их Рис 3 изображению или представлению, в частности, в связи с нашим телом, по отиошению к которому и определяются «вправо» и «влсво». $2. Прямая.

Делеиие отрезка в данном отиошеиии Зафиксируем иа плоскости прямоугольную систему координат х, у. Первая задача аналитической геометрии состоит в задании или, иначе говоря, представлении фигур уравнениями. Определение. Уравнение с двумя перемеииыми х, у задает фигуру Р или, как говорят, является уравнением этой фигуры в прямоугольных координатах, если а) координаты всякой точки фигуры Р удовлетворяют уравнению; б) всякая пара чисел х, у, удовлетворяющих уравнению, оказывается парой координат некоторой точки фигуры Р.

Другими словами, точка принадлежит фигуре тогда и только тогда, когда координаты точки удовлетворяют уравнению фигуры. При этом второе условие допускает полезную переформулировку: б') если точка ие принадлежит фигуре, то ее координаты ие удовлетворяют уравнению последней. Определению уравнения фигуры соответствует определение того, что значит «фигура, задаииая или определенная данным уравиеиием»; т.в. пРямАя Фигура, определенная данным уравнением в нелоторой данной системе координат, — это множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Говоря об уравнении с двумя переменными, не исключают, что одна из переменных может в нем отсутствовать.

Тогда уравнение не налагает на нее никаких условий, и она может независимо принимать любые значения. Определение. Уравнение вида ах+ Ьу+ с =О называется уравнением первой степени или линейным, если хотя бы один из коэффициентов а, Ь отличен от нуля (ат + Ьт Ф О) . Теорема 1. Всякая прямая задается в прямоугольных координатах линейным уравнением, и обратно: всякое линейное уравнение задает в прямоугольных координатах прямую. Дока з а тел ьство. Докажем первую часть теоремы. Пусть на плоскости введены прямоугольные координаты и дана какая-либо прямая.

Если она параллельна оси у, то ее уравнение имеет вид х = а (а = сопИ) '). у Действительно, такая прямая Н(хо,у) перпендикулярна оси х. Поэтому у Н~(х,у) ее точек х = хе, где хо — координата точки ее пересечения с осью х (как е это следует нз самого определения координат). Для всех же других точек х ~ хо (рнс 4). Совершенно аналогично прямая, параллельная оси х, задается уравнением вида у = а (а= сопИ). Пусть теперь данная прямая проходит через начало координат и не совпадает ни с той, ин с другой осью.

Тогда оиа пересекает в начале координат ось х, и ее луч, расположенный в верхней полуплоскости, образует с положительной полуосью х некоторый угол а, отличный от прямого (рис. 5). ') Твк обозначают постоянную величииу (от латинского сопя- )апв — постоянный). часть с хнхлитичаскхя гвомгтяия В таком случае для каждой точки прямой имеем 16 — =1па, я л как это следует пз самого определения тангенса (для луча, расположенного в нижней полуплоскости, х и у — противоположных знаков, а потому отношение пх то же).

Для точек, нс лежащих на данной првмой, отношение другое. Ряс. 6 Ряс а Таким образом, прямая задастся уравнением вида р =- Ьх (Ь =1пи). (2) 11г =Уе+ Ь. ул ро = ул до Прямая д проходит черсз начало. Поэтому на ней р = Йх (ро — — яхо). Поэтому на прямой р 11 =йх+ Ь. Пусть тепсрь прямая р нс проходит чсрсз начало, а псрссскаст ось у в точке Л с координатой у= Ь, так что Ь = -+ОА.

Проведем чсрсз начало прямую д, параллельную р (рис. 6). Каждая прямая, параллельная оси Ьч пересекает обе прямые в некоторых точках Р, О, и мы получасм параллслограмм ОАРО, так что ОР = ОА. Поэтому координата у точки Р отличасзся от координаты точки Я на столько жс, на сколько координата А отличается от координаты О, т. е.

г. к ггиггмая гт Ни для какой точки, не лежащей на прямой р, зто равенство не выполняется, так как «отступление по ггсртикалгг» от прямой с), т. с. у — (гх, будет другим. Число я называется угловым коэффициентом прямой р. Итак, уравнение (3) представляет прямую р. Таким образом, мы получили следующий результат.

Всякая прч.ггая, не парил.гельная оси у, ггредстав- лястся уравнением види у= — 1гх+ Ь, угловой коэффициент й =- ! и — тангенс угла наллогс г прялюй л оси х и Ь вЂ” координата точки с!ереси«с ния прямой с осью у. Прямая, параллельная оси у, представляется уравнснсссм х = а. Докажем теперг,, что всякое линейное уравнение представляет прямую. Пусть дано уравнение вида (1) с и'+ Ь'Ф О. Допустггм, что в нем Ь = О. Тогда а Ф О, и уравнение с приводится к виду х = — †, т. е. оио представляет и ' прямую, параллельную оси д. Если жс Ь ~ О, то >равнение приводится к виду а г д= — — х — —, т с. у=lгх+И.

ь ь Онск следовательно, представляет прямую (с угловым коэффициентом !г, проходящую через точку (О, с1)). Нтак, тсорсма ! доказана полностью. П Дополнение к теореме 1. Два лсснейных уравнения вида (1) представляют одну и ту аке прямую тогда и гп.гько тогда, когда их левые части отличаются только мноассгстелем, т.

е. когда они имегот вид ах + Ьу + с = О, Лах + ЛЬу + Лс = О, Л ~ О. До к аз а тел ьство. То, что уравнения такого вида представляют одну и ту же прямую, очевидно: достаточно разделить второе уравнение на Л. Покажем обратное. Пусть уравнения ах+ Ьу+ с =О, а,х+ Ь,у+ с, =О представляют одну и ту же прямую.

Если в одном Ь = О, то оно представляет прямую, параллельную 18 часть ь аналитическая геометгия оси у, значит другое — тоже, и в ием тоже должно быть Ь1 —— О. Поэтому они приводятся к виду с х= — —, п ' с, х= —— и( с~ у= — — 'х —— ь„, ь, Но онн представляют одну прямую, только если совпадают угловые коэффициенты и свободные члеа~ а с, с ь, ны, т. е, если — = —, — = — '. Полагая — =Л, ь, ь ь, ь ' ь имеем а~ =- ка, Ь| = ХЬ, с~ — — Хс. П Деление отрезка в данном отношении. Теорема 2. Середина отрезка с концами А~(хьу1), Ак(хм ук) есть точка с координатами к, + кк х=— 2 + ек 2 Дока з а тел ьст в о. Проекция середины отрезка есть, очевидно, середина его проекции. Середина же отрезка оси Рис 7 между точками с координатами х,, х, и есть точка к, + кк с координатой ' * (так как в середине должно 2 быть х — х, = хк — х; рнс. 7).

То же верно и для у. Обобщение. Если точка А~ на отрезке А,А, такова, что АиА~ = АьАР1, то хс=(1 — 1) ха+ 1х „у! =(! — 1)уа+ 1уь (Докажите это.) с с~ так что — = —. а а1' жить к= —. а~ и Если же Ь ФО к виду а у =- — — х ь т. е. а,: а = с, .' с. Осталось поло- н Ь| М О, то уравнения приводятся 1.3, РАсстОянин л1ежду тОчкАми. ОкРужность !9 ф 3. Расстояние между точками. Окружность. Прямая В формулировках теорем 1 — 3 фиксируем прямоугольные координаты х, у. Теорема 1.

Расстояние между точками А(хь у1), В(х,, у,) выражается формулой ЛВ = — ~/(х1 — хт)т + (у1 — ут)т. До к аз а тельство. Если точки А, В лежат на оси х, то расстояние между ними равно АВ= !хт — х1). Если у, = дт чь О, то отрезок АВ параллелен оси х, и потому ЛВ = А'В', где А', В' — проекции точек А, В на ось х. !1озтому АВ =!хт — х1). Это совпадает с (1) при у1 = уг (рис. 8). Совершенно так же при х1 — — хт получаем АВ = = !ут — у1) — то же, что дает (1).

Пусть теперь х1 ~ х, и у1 чь ут. Проведем через А прямую, параллельную оси х, а через  — прямую, параллсльну1о оси у; это прямые, на которых у = у1 Рис 9 Р ° З и х = хт. Они взаимно перпендикулярны, так как параллельны осям, и пересекаются н точке С(хт, у1) (рнс. 9). По предыдущему выводу мы имеем АС = (у1 — хт 1, ВС = ! у, — ут !. Отрезки АС, ВС, АВ образуют прямоугольный треугольник, и по теореме Пифагора АВт= АС'+ ВС'=! х, — хт!1+ !у~ рт(т что равносильно (1). П 20 чАсть е АИАлитичеекАЛ ГеОметРия Теорема 2. Окружность с центром А(хо, уо) и радиусом г лредсгавляется ураенением (х — хо)т + (у уо)' = г', (2) Д о к а з а т е л ь с т в о. Это непосредственно следует из определения окружности и теоремы !.

Действительно, точка с координатами х, у лежит на окружности тогда и только тогда, когда расстояние от нее до точки А равно г, т. е. когда х и у удовлетворяют уравнению (2). П Уравнение (2) приводится к виду х'+ у'+ ах + Ьу+ с = О, где а = — 2х, Ь = — 2Уо, с =к~о+ Уто — ' г'. Естественно спросить, что вообще может представлять уравнение вида (3). Теорема 3. Ураенение (3) нредстаеляет одну из трех фигур; а) окружность, если от+ Ь' — 4с =» О, б) одну точку, если от+ Ьт — 4с = О, в) пустое множество '), если аа+ Ьа — 4с ( О.

Доказательство. Положим в уравнении (3) а = — 2хо Ь = 2уо. (4) Тогда его можно переписать в виде (х — х,)т + (у — уо)' — х, '— у'+ с = О или, пользуясь (4) и перенося свободные члены вправо, в виде ! (х — хо)т+ (у — у,)а= А (а + Ь' — 4с). (5) Если (6) а'+ Ьа — 4с > О, то можно обозначить в (5) правую часть через га, и мы получим уравнение (2). Итак, при выполнении неравенства (6) уравнение (3) представляет окружность с центром в точке (х„ уо) и радиусом г, где хо — — — —, ус= — —, г= — у +Ь вЂ” 4с. 2 2 ° о 2 2 ') Пустое ивоасество — еачего, т.

Характеристики

Список файлов книги