1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Аналогично будет с формулами (5). Выписывать этн формулы не будем. Изменение направления оси у означает перемену знака координаты у, тая что формулы преобразования будут х'=х, у'= — у. Между прочим, отсюда следует полезное замечание: если уравнение 1(х, у) = О не изменяется при перемене знака у, то оно определяет фигуру, симметричную относительно оси х. $ 6. Об аналитической геометрии Как уже был сказано в $1, общая задача аналитической геометрии состоит в изучении геометрических фигур с помощью алгебры на основе применения координат.
Для этого фигура представляется ев ЧАСТЬ Ь АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ уравнениями илн неравенствами в координатах — в таком представлении состоит так называемая первая задача аналитической геометрии. В аналитическую геометрию включается также вторая задача, обратная первой: исследовать, какие геометрические фигуры представляются теми или иными уравнениями. Все это можно было видеть в предшествующем изложении, особенно в $ 3, где мы вывели уравнение окружности в прямоугольных координатах, затем выяснили, какие фигуры может воообщс представлять уравнение общего вида, могущее представлять окружность, затем то жс сделали для прямой и, наконец, дали решение геометрической задачи об окружности Аполлония, пользуясь результатами, полученными в координатах. Хотя мы привели примеры разных систем координат, пренмущсствснно используют прямоугольные координаты.
Уравнения. Уравнением с двумя переменными х, у в общем смысле называют равенство Р(х, у) = О, где Р(х, у) — вообще какая-либо функция переменных вещественных чисел х, у. Уравнение называется алгебраическим уравнением степени п, если его левая часть представляет собой многочлен степени и относительно .т, у с численными коэффициентами. Это будут уравнения вида ах+ Ьу+ с = О (первой степени), ах'+ Ьху+ су'+ дх+ еу+ ) = О (второй степени) н т.
д. При этом подразумевается, что хотя бы прн одном из «старших» членов коэффициент не равен нулю. Но, например, члены с у могут вовсе отсутствовать. Поэтому число переменных определяется не тем, сколько их в выражении левой части уравнения, а условием, что уравнение относится к двум переменным: левая часть с(х, у) есть функция двух переменных. Если одна переменная в уравнение не входит, то ее значения ничем не связанье (По этому поводу заметим, что определять левую часть уравнения Р(х, у) = О как «выражение, содержащее х и у», неправильно; к тому же, если у отсутствует, его можно «включить», прибавив у — у.) В пространстве — три координаты, и, соответственно, там уравнение Р(х, у) = О имеет совсем другой смысл, чем в случае двух переменных — на плоскости.
1.« ОВ АИАЛИТИЧЕСКОИ ГЕОМЕТРИИ В аналитической геометрии принято говорить, что алгебраическое уравнение Р(х, у) = О задает линию или кривую, что одно и то же (прямая — тоже кривая). Но мы уже видели, что уравнение может задавать и точку, и пустое множество. В аналитической геометрии это тоже «кривые» или «линнн», В других частях математики такое понимание термина «кривая» исключается, а термин «линия» не употребляется. В случае алгебраических кривых двум определениям — уравнения данной кривой и кривой, заданной уравнением, — сооответствуют все те же две задачи: вывести уравнение данного вида кривых и, обратно, выяснить, какие «кривые» могут определяться уравнениями данного вида. Этн задачи мы решили в $ 2 для уравнений первой степени (в прямоугольных координатах): они задают прямые, н каждая прямая может быть задана таким уравнением. В $ 3 те >ке две задачи были решены для уравнений второй степени вида хх+ у'+ ах+ Ьу+ с = О.
В следующей главе вторая задача будет решена для любых уравнений степени 2. Если две кривые задаются уравнениями Р (х, у) = О, 6 (х, у) = О, то их объединение задается уравнением Р (х, у) 6 (х, у) = О, а пересечение — уравнением Рх(х, у)+ С'(х, у) = О или системой уравнений г(х, у)=О, 6(х, у) =О. Так, между прочим, можно из двух прямых получить кривые второго порядка (чтобы выяснить какие — рассмотрите возможные случаи).
Кроме того, можно заметить, что кривая, задаваемая уравнением Р(х, у) = О, задается также уравнением Рх(х,у) = О. Поэтому, кстати, прямая — зто кривая не только первого, но и второго порядка. Это замечание, как и другие, обращает внимание на то„что нужно быть по возможности точным, но не зв чАсты. аналитичвскхя Гвоиатвня догматичным (а догматизм в школьном преподавании следует преодолевать). Неравенства. Фигуры, особенно имеющие внутренние точки, задают в координатах одним или несколькими неравенствами,— как говорят, системой неравенств.
Например, в прямоугольных координатах неравенство х»+ ут(гз задает круг радиуса г с центром в начале. А система из двух неравенств (х'+ уз < г', у ) О) задает пол> круг, Неравенство ха+ уа ( гз задает внутренность круга. Неравенство ах+ Ьу+ с- 0 (ах+ Ьу+ с>0) задает полуплоскость, ограниченную прямой, ах+ + Ьу + с = 0 (убедитесь в этом). Общее определенно неравенства (или системы неравенств), задающего данную фигуру, повторяет определение уравнения фи- У гуры, и точно так же определение фигуры, заданной неравенством, повторяет определение фигуры, заданной ГЬ(ЬХУСгв уравнением. (Сформулируйте соответствующие определения!) Параметрическое задание кривых.
Параметрическим заданием кривой называется такое ее задание, когда она представляется как путь (траектория) движения точки. То есть, выражаясь математически, можно сказать так: параметрическое задание кривой состоит в том, что координаты ее точек задаются как функции некоторой переменной — «параметра»с (х=)(1), у =у(!)). Каждому значению параметра ~ = (» из указанного промежутка его изменения соответствует точка с координатами х = /(1а), у = й((з), и так представляются все точки кривой. Если представлять параметр как ь а. ов лиллитнчаскои гиомвтвии $1 время, то и получается сказанное выше о кривой, как о пути (рис. 18).
Пример: параметрическое представление окруж. ности х=гсоз(, у=тейп(, где ! «пробегает» интервал от О до 2п (или, если угодно, от — оо до +со). Очевидно, два эти уравнения равносильны тому, что хт+ уз = гт. Параметрическое представление прямой: х=а~+Ь, у=с!+И ( — оо<!<+оо), где а'+ с' чь О (хотя бы одно из чисел а, с отлично от нуля). Такие уравнения задают прямую, и всякую прямую можно представить такими уравнениями. (Убедитесь в этом!) Впрочем, дальше мы специально рассмотрим параметрическое задание прямой (см, $1У.4). В аналитической геометрии параметрическим заданием кривых пользуются мало, но в общей теории кривых параметрическое задание является основным. Эта общая теория кривых принадлежит дифференциальной геометрии, называемой так потому, что в ней важнейшую роль играет применение дифференциального исчисления (см.
ч. 4, гл. 1). Геометрия и анализ. В анализе изучают функции !(х) или, что равносильно, нх графики, заданные уравнениями у = )'(х). Тут функция изображается кривой. Но не сама по себе, а в отношении к данной системе координат. В других координатах х', у' та же кривая будет задаваться другой функцией или, вообще, некоторым уравнением Р(х', у') = О. Можно сказать так. Анализ изучает кривые в связи с данной системой координат, в которой они представляются уравнением вида у = !(х). Геометрия изучает кривые независимо от той или иной системы координат.
Геометрические свойства кривой не зависят от выбора системы координат, в которой кривая представляется уравнением. К геометрии относится то, что не изменяется при преобразовании координат. То, что не изменяется, называется (с латинского) инвариантным. Поэтому говорят: предмет геометрии составляют инварианты преобразований прямоугольных координат. ЧАСТЬ С АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Глава П КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Здесь, говоря о координатах, мы будем иметь в виду прямоугольные координаты (пока явно не обратимся к полярным координатам).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
