1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Геометрически им должны соответствовать построения с отрезками. Сложение и вычитание отрезков производится известным путем (вычитание большего отрезка из меньшего недопустимо в отличие от и1 е Решение 3АдАч нА постРОение авз вычитания чисел, но это можно обойти откладыванием отрезков на разных полуосях координат), Умножение и деление отрезков в прямом смысле невозможно. Но это обходят тем, что по трем данным и отрезкам а, Ь, с можно построить отрезок 21= — Ь, с и где отношение отрезков — — зто то же, что отноше- с иие их длин. Отрезок с( строится из подобия с(: Ь = = а: с известным путем (рис. 82). Фиксируем отрезок е длины !е!= 1.
д ьт Если длины представлены отрезками а, Ь, то отрезок а с( = — Ь представляет произ- Рис, в2 ведение длин !а!!Ь!. и и Аналогично, отрезок с(2 = — е представляет —— ь ь частное длин !а!, !Ь!. Пусть, наконец, нужно извлечь корень: найти ~~ а . Число !а! представлено отрезком а. Найдем такой отрезок с(2, что !с(з!2 =!а! ° !е!. (Например, высоту н прямоугольном треугольнике с отрезками гипотенузы, равными а и е.) Тогда ! 2,)=з/~!!!Е(=1/!!!.
Таким образом, утверждение доказано. П Из доказанного становится достаточно очевидным, что разрешимость задачи на построение с помощью циркуля и линейки является редким исключением, поскольку разрешимость уравнений только с извлечением квадратного корня является исключением. Построение правильного а-угольника алгебраически сводится к решению уравнения х" =!. Это уравнение имеет и корней, которые на комплексной плоскости представляются точками на единичной окружности, служащими вершинами правильного и- угольника.
Выражение корней в квадратных радикалах относится к вещественной и мнимой части. Как доказал Гаусс (1801 г.), оно возможно тогда и только тогда, когда и=2 ° р1 . ° ' Р 254 чАсть 3 элемянтхянхя гвометяня где лз — любое неотрицательное целое число, а рь ... ..., р,— попарно различные простые числа, представимые в виде р= 2 +! с каким-либо целым л. При й =О, 1, 2, 3 получаем р = 3, 5, ! 7, 257, поэтому !7-угольник строится циркулем н линейкой. Три классические задачи рассматривались еще древними: трисекция угла, удвоение куба, квадратура круга.
Все они не разрешимы циркулем и линейкой. Первая задача состоит в том, чтобы разделить данный угол на три равные части. Эта задача приводится к кубическому уравнению и разрешима циркулем и линейкой лишь в исключительных случаях: например, прямой угол делится, но уже угол в 60' не делится на три равные части. Задача удвоения куба состоит в том, чтобы построить по данному отрезку а такой отрезок х, чтобы куб с ребром х имел вдвое больший обьем, чем куб с ребром а. Это вводится к уравнению хз = 2аз, но ° )72 в квадратных радикалах не выражается. Задача квадратуры круга состоит в том, чтобы построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга. Это очевидно приводится ~ уравнению кт = я.
А так как и — число трансцендентное, то задача не разрешима никакими алгебраическими средствами. Трансцендентность числа п доказал в 1882 г. немецкий математик К. Л, Ф. Линдеман (!852 †19), 0 построениях вообще. Вообще под построением в геометрии понимают конечную последовательность действий, которые считаются возможными в силу оговариваемых условий; каждое из них дает какую-нибудь фигуру,— как отрезок, точку пересечения отрезков и т. п, При построениях циркулем и линейкой такими действиями являются проведение «прямых» и окружностей.
В чисто отвлеченном понимании, соответствующем аксиоматическому изложению, никаких «действий» быть не может, «Действие», дающсе какую.то фигуру, обозначает только утверждение: «существует !!!.е Решение злдлч ПА постРоение 255 такая-то Фигура». Так, мы говорим, например: «проведем отрезок АВ», но это значит «существует отрезок с концами А, В». Построение, в отвлеченном понимании представляет собой последовательность таких утверждений, возможных в силу принятых условий. При построениях циркулем и линейкой эти условия утверждают существование прямых, проходящих через две данные точки, окружностей с любыми центрами и радиусами. При аксиоматическом изложении геометрии условия, определяющие возможные построения, заключаются, прежде всего, в самих аксиомах.
При принятой нами аксиоматике допустимымн построениями являются: проведение отрезка между двумя точками, откладывание отрезка, равного данному, и откладывание угла, равного данному. При этом, как уже сказано, эти «построения» не означают ничего, кроме утверждаемого аксиомами идеального, мыслимого существования объектов, о которых идет речь. Вместе с тем эти аксиомы выражают в отвлеченной Форме совершенно реальные построения. Для них можно указать инструменты — это: !) линейка, по которой можно проводить отрезки, отмечать на ней и переносить отрезки, равные даниым, 2) угольник с подвижными сторонами и поперечиной для откладывания углов (рис.
83). Можно доказать, что эти средства равносильны линейке и циркулю, т. е. всякая задача, решаемая посредством линейки и циркуля, решается также посредством линейки с возможностью отмечать отрезки и угольника, и обратно. Выше была доказана теорема о существовании перпендикуляра к прямой (гл. П, ф 1). Это доказательство представляет собой построение перпендикуляра, основанное на аксиомах — на проведении отрезков и откладывании угла.
Вот еще один пример. Построение середины отрезка. Из конца А отрезка АВ проводим отрезок АС под углом и из конца  — отрезок ВО, равный АС и под равным углом к ВА по другую сторону от АВ (рис. 84). Тогда СВ пересекает АВ в середине. (Нужно прежде всего доказать, что С0 пересечет отрезок АВ, а не его продолжение. Дальнейшее сравнительно просто. Если воспользоваться тем, что уже известно существование 258 ЧАСТЬ Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ середины О, то доказательство упрощается; проведите СО, ОО.) Заметим, что принятая нами аксиома существования отрезка данной длины дает основание откладывать при построениях отрезки данной длины.
Это равносильно применению идеальной абсолютно точной измерительной линейки. Но это не соответствует, можно считать, характеру геометрических построений. Дальше, в части «Основания геометрии», будут даны аксиомы, в которые не входит понятие длины. Рис. 83 Рис. 84 Построения в пространстве. Когда говорится о построениях в пространстве, то также имеют в виду не столько реальные построения, сколько утверждения о существовании объектов: «Проведем плоскость через точки А, В, С» означает: «фиксируем, что существует плоскость, проходящая через точки А, В, С». Аналогичный смысл имеет «проведение» прямых в пространстве.
Соответственно построение фигуры фактически означает доказательство ее существования, основанное на аксиомах. Рассмотрите основные построения в пространстве: !) прямой, параллельной данной; 2) прямой, перпендикулярной данной (восстановление и опускание перпендикуляра); 3) прямой, перпендикулярной плоскости; 4) параллельных плоскостей и др. й 3.
Выпуклые фигуры Здесь мы будем считать понятия кривой и поверх- ности интуитивно ясными. Подробнее они обсуждаются в частях 4 и 5 1Н,З. ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ Выпуклые кривые. Будем рассматривать фигуры на плоскости. Ломаная называется выпуклой, если она расположена с одной стороны от каждой прямой, содержащей се звено (рис. 85).
Аналогично определяется выпуклый' многоугольник как ломаная, а также как часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной (рис. 86). Эти определения, известные еще из школьного курса, обобщаются на другие фигуры. Рис. 8» Рис.
87 Рис. 88 Определение. Прямая называется опорной прямой двиной фи«ры, если она имеет с фигурой или с ее гранил й хотя бы одну общую точку, но вся фигура лежит с одной стороны от этой прямой, т. е. в одной ограниченной ею полуплоскости. Говорят: прямая опорная к фигуре р в точке А, если она при этом проходит через точку А фигуры г (рис. 87). Название «опорная» выражает то наглядное представление, что фигура как бы опирается на прямую. Поль ! яп 1Н>нятпси опорной прямой, можно пересказать данное выше определение выпуклой ломаной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
