1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Для доказательства введем координаты с осшо е по прямой а. Тогда отражение в прямой а изобразится переменой знаков у х и у: точки (х, у, г) переходят и ( — х, — у, «), и пз формулы дчя расстояния следует, что оио сохраняется. В каждой плоскости гх, перпендикулярной оси а, происходит центральная симметрия относительно точки пересечения а и а. Поэтому как центральная симметрия в плоскости есть поворот на 180' вокруг центра, так симметрия относительно прямой в пространстве есть поворот вокруг нее на 180'. 289 2. Поаоеоты 2 2.
Повороты Поворот в плоскости. Выражая наглядное представление о повороте вокруг точки, его определяют следующим образом. Поворот фигуры Р вокруг точки О состоит в том, что се точкам Х сопоставляются точки Х' так, что !) отрезки ОХ, ОХ' равны; 2) углы между отрезками ОХ, ОЛ' равны для всех точек Х и откладываются от ОХ к ОХ' в одну и ту же сторону (по часовой стрелке, рис. 11,а, или против часовой стрелки, рис. 11,б).
Ркс 1! Если точка О принадлежит Р, то она сопоставляется сама себе. Точка О называется центром поворота. Однако. каь уже говорилось, в геометрии нет часоэыт стрелок, поэтому данное определение нужно дополнит. опре=еленнем того, что значит «поворот в одну сторон к Это нужно определить для поворота на угол, мгньшпй 160 .
Рассмотрим два отрезка ОХ, ОУ, которым сопоставлены отрезки ОХ', ОУ', образующие с ними неразвернутые углы. Ту полуплоскость, ограниченную прямой ОХ, где лежит отрезок ОХ', обозначим Р*; дополнительную полуплоскость обозначим Я». Тот же смысл для отрезка ОУ имеют обозначении Рг, Яг. Даем определение.
Отрезки ОХ, ОУ, «переходя» в ОХ', ОУ', поворачиваются в одну сторону, когда выполнено следующее: !) если Оус: Р», то ОХ ~ Яг (рис. 12,а, 6), 2) если же ОУ ~ Ь, то ОХс Р„(рис. 13, а, б). Первое означает: если отрезок ОУ лежит с той же стороны от ОХ, что и ОХ', то отрезки ОУ' и ОХ 1О л. Д, л»»кс»»»рак и. Ю, !ы«иатлса эво чАсть а ПРеОЕРАЗОВАиия. ДРугие ГеОметРии лежат с разных сторон от ОУ. (Наглядно это означает, что отрезок ОУ поворачивается в направлении от ОХ.) Во втором случае соотношение обратное, Хотя в данном определении отрезки ОХ, ОУ внешне играют разную роль, оно на самом деле совершенно симметрично. При перемене Х и У местами получаем то же самое.
Рк Рнс. 12 (Например, поменяем ролями Х и У в условии !), так что пусть ОХ с Рт. Тогда не может быть ОУ с с: Рю потому что в этом случае по 1) было бы ОХсОГ. Стало быть, если ОХс РГ, то ОУ~ Ок.) к У к Рнс. 13 Определим еще повороты с помощью полярных координат, Эти координаты задаются началом О, начальным лучом и направлением отсчета углов. А оно задается указанием полуплоскости,ограниченной лучом а (т,е. прямой, содержащей луч а); если сторона Ь угла аЬ лежит в этой полуплоскости, угол считается положительным, в противном случае он считается отрицательным (или сверхтупым).
Определяем поворот, Пусть Π— центр поворота; примем его за начало полярных координат г, й. По- ! о пОВОРОтЫ ворот фигуры вокруг О на угол а в том же направленин, в каком отсчитывается угловая координата, состоит В том, что каждой точке Х(г, 8) фигуры г" сопоставляетси точка Х'(г, О + а). Поворот в обратную сторону сопоставляет точке Х(г, 8) точку Х'(г, и --а). (Если иглу а приписывать знак тот же, что и 8, то можно считать, что точке Х(г, 8) сопоставляется к' Х'(г, 8 + а); рис.
!4.) Это определение не зави- т сит от выбора начального лу- к ча системы координат г, О. в-о Прн замене начального луча а угловая координата 0 заменяется на О = О+ Оо. Позто- Рис. Рч му поворот, сопоставляя углу О )тол О+ а, сопоставляет углу О' = 0 + Оо угол (О+ а)+ Оо = 0'+ а. Поворот. Таким образом, поворот состоит в том, что угловая координата изменяется на угол поворота. Отсюда. очевидно, следует, что композиция поворотов вокруг одного центра представляется сложением углов этих поворотов (конечно, с учетом знака и с точностью до слагаемых, кратных 2п).
Обратный поворот получается при перемене знака угла. Теорема 1. Поворот вокруг точки сохраняет расстояния. Дока затед ьство. Пусть при повороте вокруг точки О точки Х, )' перешли в Х', У'. Введем полярные иоординэты с центром О. При повороте угловые координаты О, О, точек Х, У получают одно и то же слагаемое — угол поворота а. Поэтому если 0', 0;— координаты точек Х, У', то О' — О;=Π— Ог Этп разности — это углы между ОХ и ОУ, ОХ' и ОУ', они, стало быть, равны.
А так как ОХ = ОХ', ОУ' = = ОУ, то так же Х'У' = ХУ, что и требовалось доказать. Е) Поворот в пространстве. Поворот в пространстве происходит вокруг прямой, называемой осью поворота, и, коротко говоря, состоит в том, что в плоскостях, перпендикулярных оси, происходит поворот на Яэв ЧАСТЬ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ один и тот же угол в одну сторону вокруг точки пересечения плоскости с осью (рис. 15).
Точнее, поворот фигуры Р вокруг прямой а — это отображение, при котором каждая точка Х е= Р отображается в точку Х' так, что 1) проекция точек Х, Х' на прямую а одна и та же, 2) если это точка О, то отрезки ОХ, ОХ' равны, 3) углы, образуемые отрезками ОХ, ОХ' равны для всех Х; 4) все отрезки ОХ, переходя в ОХ', поворачиваются в одну сторону. Рис 15 Рис. 16 Последнее означает, что проекции любых двух отрезков ОХ, О,Х, на плоскость, перпендикулярную прямой а, поворачиваются в одну сторону (здесь О,— проекция точки Х, на а). Это можно представить еще так. Через каждую точку Х, не лежащую на прямой а, проходит полуплоскость й».
ограниченная этой прямой. Такая полуплоскость пересекает любую плоскость сс, перпендикулярную а, по лучу с началом в точке О, в которой а пересекается с а. Поворот в плоскости а определяет поворот полуплоскостей 1~». И так во всех плоскостях а происходят согласованные повороты; о иих говорится, что они происходят в одном направлении (рис. 16). Теорема 2. 1»оворот вокруг прямой сохраняет расстояния. До к аз а тел ьство. Пусть при повороте вокруг прямой а точки А, В перешли в А', В'. Если они лежат в одной плоскости, перпендикулярной а, то АВ = А'В', поскольку в каждой такой плоскости происходит поворот.
1 ь повоеоты 293 Пусть точки А, В лежат в разных плоскостях а, р. перпендикулярных а, и переходят в точки А', В . Пусть С вЂ” проекция точки А на плоскость р. Можно. '.онечно, считать, что точка С также «поворачиаастсях вместе с другими в плоскости р и переходит в С'. Тогда как АС))а, так и А'С'!)а, так что АС н Л С' перпендикулярны обеим плоскостям и, р. Стало быть, Л'С' = ЛС (так как и))р, то отрезки АС, Л'С' равны как общие перпснднкуляры параллельных плоскост.й) .
Поэтому если С савла:. т с В. то Л'В' = ЛВ хон)стим, С нс совпадает с В Тогда ВС ) АС (рис. ! ) )так как АС) ))) Треугольник АВС прямоугольный и ЛВс = ЛС' + ВС-'. Треугольник Л'В'С' тоже прямо) гольный. так как Ркс. ! 7 Л С )) Кроме того,Л'С'= =ЛС н В'С' = ВС, поскольку в плоскости )з происходит поворот. Из всего этого следует, что А'В' = А'С" + В'С' = т)С'+ ВС' = А В'. Итак.
Л'В' = ЛВ. что и требовалось доказать. П ЛЛЛЛ Ркс. !8 О преобразованиях говорят, что они коммутирующие (перестановочные), если их композиция не зависит от порядка, в котором они производятся. Повороты вокруг одной осн коммутируют; их композиция соответствует сложению углов поворота (со знаком).
994 чхсть 3 ПРеоБРАзоахиия. дРугие ГеОметРии Композиция двух поворотов вокруг пересекающихся осей, как будет доказано, представляет собою поворот вокруг третьей осн, проходящей через точку пересечения данных осей. Но повороты вокруг разных осей, вообще говоря, не коммутиру>от. Если Кь )с,— повороты вокруг пересекающихся осей, то, вообще говоря, повороты Ве>Г, и (з>ЯТ происходят вокруг разных осей. На рнс.
18 изображены повороты куба вокруг осей аь а,. Винтовое наложение. Винтовым наложением называется композиция поворота и переноса вдоль оси поворота (т. е, на вектор, сй параллельный). Порядок переноса н поворота при этом безразличны: они коммутируют. Винтовое наложение, как композиция наложений, действительно является наложением. Перенос и поворот можно рассматривать как частные случаи винтового наложения: с нулевым поворотом н с нулевым переносом. Зеркальный поворот. Зеркальным поворотом называется композиция поворота и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота. Как композиция наложений зеркальный поворот является наложением.
Пусть а — ось поворота, а — плоскость, в которой происходит отражсние, Π— их точка пересечения. При отражении все точки плоскости а неподвижны, так что в ней происходит только поворот вокруг точки О. И он определяет поворот вокруг оси (как отмечено выше). Отсюда, между прочим, ясно, что порядок поворота и отражения в зеркальном повороте безразличен: они коммутируют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
