1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Угол поворота, входящий в зеркальный поворот, называется углом этого зеркального поворота. Отражение можно рассматривать как зеркальный поворот с нулсвым углом поворота. Противоположный случай — зеркальный поворот с наибольшим возможным углом, т. е. с поворотом на все 180', представляет собою центральную симметрию с центром О. Действительно, возьмем какую угодно точку Я, и пусть В, С в ее проекции на плоскость а и ось а, так что ОА = ОВ+ ОС. При повороте на 180' в пло- 295 ~ г повоготы скссти а вектор ОВ переходит в ОВ' = — ОВ, а ОС яе - гменяется. Но при отражении относительно пло-тя я вектор ОВ' уже не изменяется, а вектор сгС переходит в ОС'= — ОС. Поэтому в результате ОЛ переходит в ОА', так что ОА' = ОВ' + ОС' = — О — ОС = — ОЛ.
Эго и означает, что происходит симметрия — отражение относительно ц«итра О. П Замечательно, что здесь расположение плоскости отражения и оси поворота не нграст роли, лишь бы они были перпендикулярны и перссекалясь в точке О. Прн любом таком их расположении получается центральная симметрия. Пример. Пример фигуры, совмещающейся сама с собой зеркальным поворотом, представляет многогранник. называемый «антипризмой». Он строится так Возымея правильный п-угольник Р1 и проведем ч«рег его центр прямую а, перпендикулярную его г .оскости аь Возьмем любую плоскость а)~аг и произв.дем зеркальный поворот, состоящий из отражения относительно плоскости а и поворота вокруг пря2з мои а иа «гол и = — „(в любую сторону). Такой ".: ° .э.
=. ый говорот 1 переводит многоугольник Рг в ииогоуго. ьнил Р,, лежащий в плоскости аДа1 и имеющий центр в точке ее пересечения с осью а. Вершины многоугольника Рг будут расположены иад лучами, идущими пз О через середины сторон многоугольника Р~ (рис. 19). Соединяя вершины многоугольника Р, с концами соответствующих сторон Р,. получаем сеть ребер многогранника. Этот многогранник — «антипризм໠— переводится сам в себя зеркальным поворотом ~, в чем непосредственно убеждаемся из того, что его основания переводятся друг в друга этим зеркальным поворотом.
Но этот многогранник совмещается сам с собою поворотом только иа угол 2~у. Это, между прочим, служит основанием рассматривать зеркальный поворот как одно преобразование, не разлагая его на поворот и отражение. 200 чьсть з пгсощ ьзовьния. игтгне геометгин Простейший случай «аптипризмы» получаем, когда Р,— треугольник; тут «антипризмой» является октаэдр (рпс, 20).
Рчс 21 Рис. 20 Ряс. 19 Можно сказать, еще проще, когда Р, — «двуугольник», т. е. отрезок, тогда получаем тетраэдр (рис. 21). Ъ'белитесь! Более наглядно называть антипризму «скручеиная призма». 2 3. Основные теоремы о наложениях. Их классификация и композиции Формулировка теорем. Теорема 1.
Всякое наложение в пространстве представляет собою одно из трех: а) винтовое наложение, включая частные случаи переноса и поворота; б) скользящее отражение, включая частный случай отражения; в) зеркальный поворот, в частности, центральную симметрию. Это значит, что любые две равные фигуры совмещаются одна с другой одним из указанных наложений. Или еще: каким наложениям ни подвергать фигуру, как ее ни двигать„ ни крутить, ни отражать в плоскостях, а результатом будет одно из трех указанных наложений. В планиметрин выполняется сходная Теорема 2. Всякое наложение в плоскости представляет собою одно из трех: 1 3, ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НАЛОЖЕНИЯХ 297 а) перенос, б) поворот, в) скользящее отражение, в частности, одно отра- жение относительно прямой. Эта теорема является прямым следствием преды- дущей, потому что всякое наложение в плоскости можно рассматривать как наложение в пространстве.
Достаточно представить плоскость погруженной в про- странство и из наложений, возможных в пространстве. выделить те, которые сохраняют плоскость — отобра- жают ее саму на себя. П Теоремы !, 2 о конкретном виде наложений до- полняются теоремами о композиции. Теорема 3. В пространстве всякая композиция пе- реносов и поворотов (и, стало быть, вообще винтовых наложений) представляет собой винтовое наложение.
Включение же в нее отражения дает либо зеркаль- ный поворот, либо скользящее отражение. Теорема 4. Оа плоскости композиция переносов и поворотов предсгавл.чет собою либо перенос, либо поворот. Включение же в нее отражения дает сколь- зящее отражение. Дальше мы уточним эти теоремы, указав в каких случаях получается то или иное наложение. Тео- ремы 3, 4 (с нх упомянутыми уточнениями) оказы- ва!отси следствиями следующей замечательной тео- ремыы. Теорема 5, Всякое наложение является компози- цией отражений: в пространстве — относительно пло- скостей, на плоскости — относительно прямых, Пере- нос и поворот (одинаково на плоскости и в простран- стве) являются композициями двух отражений. Вин- товое наложение — композицией четырех отражений. Скользящее отражение и зеркальный поворот — ком- позицией грех отражений ').
Отсюда следует: Композиция четного числа отражений представ- ляет собой перенос, поворот или винтовое наложе- ние; композиция нечетного числа отражений пред- ставляет собою скользящее отражение или зеркальный Н На плоскости нет ни винтового наложении, ни зеркального поворота, так что к ней относится здесь только скользиптее отображение. 29В ЧАСТЬ 3. ПРЕОБРАЗОВАИИЯ. ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ поворот. Отсюда легко получить и такое следствие. Обозначим для краткости наложения перечисленных а теореме 1 трех типов цифрами 1, 11, 1П и их композиции обозначим как произведения 1Х 1 и т. п. Тогда можно утверждать: композиции 1Х1, 11Х П, П1 Х П1, 11 Х 111 дают 1, а композиции 1 Х 11, 1 Х 111 дают 11 или П1. Наложения первого и второго рода. Наложения делятся на два класса; переносы, повороты и винтовые наложения называются наложениями первого рода; наложениями второго рода называются скользящие отражения и — в пространстве — еще зеркальные повороты.
Наложение первого рода можно осуществить непрерывным движением, т. е. пусть, например, дано винтовое наложение 5, слагающееся из переноса вдоль оси а на вектор с и поворота вокруг оси а на угол а. Мы представляем себе винтовые наложения 5ьсоответствующие значениям параметра Т от 0 до 1, с той же осью а, переносами ма сТ и поворотами на углы а1 (в ту же сторону). Когда Т изменяется от 0 до 1, то мы получаем непрерывное винтовое движение, приводящее к данному наложению 3 Напротив, отражение нельзя осуществить непрерывным рядом наложений.
Поэтому наложения второго рода нельзя осуществить непрерывным движением. Рассмотрим наложения в пространстве. При определении векторного и смешанного произведения векторов было введено понятие ориентации трехвекторника. Наглядно различаются правые и левые трехвекторники, и наглядно очевидно, что непрерывным движением нельзя превратить правый трехвекторник в левый или наоборот: левый — в правый. Но при отражении такое «превращение» как раз и происходит. Строго ориентации трехвекторника определяется по отношению к данной системе координат знаком смешанного произведения. При наложении абсолютная величина смешанного произведения, очевидно, не изменяется (так как она равна объему параллелепипеда, построенного на трехвекторнике).
При непреравном движении знак, очевидно, не может измениться, а при отражении он изменяется на обратный! !.3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НАЛОЖЕННЯХ 299 Б частности, если векторы а, Ь расположены в плоскости, в которой происходит отражение, а третий вектор с ей перпендикулярен, то при отражении он заменяется на — с и произведение (айс) меняет знак. Таким образом, наложения первого и второго рода различаются тем, что первые сохраняют ориентацию, а вторые ее изменяют.
Кроме того, первые могут осуществляться непрерывным рядом наложений — непрерывным движением, для вторых это невозможно. Наложения первого рода соответствуют реальным перемещениям тел, наложения второго рода соответствуют отражению в зеркале, когда правое меняется на ЛЕВОЕ.
На плоскости различие наложений первого и второго рода аналогично. Доказательство основной теоремы о наложениях в пространстве. Здесь мы докажем теорему, из которой теорема ! вытекает непосредственно благодаря теореме 3 о композициях. А эта теорема будет доказана в следующем параграфе. Теорема 6, Наложение однозначно задается наложением четырех точек, не лежащих в одной плоскости. Подробнее: Пусть в пространстве даны четыре точки А, В, С, О. не лежащие в одной плоскости, и еще такие точки А', В', С'„О', что А'В' = Л В, В'С' = ВС н т. д., так что отображение точек А на А', В на В' и т.
д. представляет собою наложение. Тогда для любой фе..ъ,"ы. содержащей точки Л, В, С, О, и, в частности, для всего пространства существует, и притом единственное, наложение, при котором происходит указанное наложение точек А, В, С, О. Это наложение можно получить композицией переноса, двух поворотов и, может быть, еще отражения, Доказательство. Пусть даны точки Л, В, С, О, не лежащие в одной плоскости, и такие точки А', В', С', Р', что А'В' = АВ и т, д, Будем переводить точки Л, ..., О в А', ..., О' наложениями всего пространства.
1) Произведем перенос, который переведет точку А в А'. Остальные точки перейдут в некоторые точки Вь Сь О!, причем равенства отрезков сохранятся: А'В! —— АВ, В,С! = ВС и т. д. зпв чАсть 3. пРеОБРАЗОВАния. дРугие ГеонетРИИ 2) Теперь переведем В~ в В' поворотом вокруг оси, проходящей через точку А'. Ось берется, понятно, перпендикулярной плоскости А'В'В~ (рис. 22). (Если В, и без того совпадает с В', то поворот не нужен нли, формально, — он тождественный.) При этом повороте точки Сь 0~ персйдут в какие-то Сь О,.
Равенства отрезков сохранятся. с г с' в' Рис. 23 Рис 22 3) Теперь переводим Се в С', оставляя А', В' на месте. Для этого производим поворот вокруг прямой А'В', который переводит Се в С' (рис. 23). Это возможно, так как треугольник А'В'С, равен треугольнику А'В'С' по трем сторонам. вз-в' Пи с' с' в' а б 22з Рис. 24 Точка Р, перейдет в некоторую точку Оз. Равенство отрезков сохранится, так что будет Р,А' = = Р'А', РЕВ' = Р'В', РБС' = 0'С' (рнс. 24). Поэтому для точки Оз есть только две возможности: либо она совпадает с О' (рис. 24, а), либо расположена по другую сторону от плоскости (А'В'С') и симметрична 0' относительно этой плоскости (рис. 24,б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
