1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 52

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

(л 5 5. Симметрия Общее понятие симметрии. Симметрией фигуры вообще называется свойство фигуры, состоящее в том, что существует ее (нетождествениое) наложение самой на себя. Само слово «симметрия» происходит от греческого и означает в переводе соразмерность. Примеры симметрии плоских фи- гур дают правильные многоугольни- 1 ки. Примеры симметрии пространственных фигур дают правильные призмы и пирамиды: они совмещаются сами с собой, например, поворотами вокруг оси, перпендикулярной рис.

29 плоскости основания и проходящей че- рез его центр (рис. 29). Понятие симметрии понимают нередко в более узком смысле, включая в него на плоскости только симметрию относительно прямой и центральную симметрию, а в пространстве — симметрию относительно плоскости, относительно прямой н центральную сим- 1 5 симметгия зы метрию, Соответствующие наложения сами себе обатны, и в фигуре с такой симметрией каждой точ«е Л соответствует симметричная точка А', причем «гиз Л симметрична А'. Симметрия относительно прямой а в пространстве означает, что фигура совмещается сама с собой при повороте на !80' вокруг оси а. Каждой точке А сопоставляется при этом такая точка А', что отрезок АА' перпендикулярен оси я делится ею пополам.

Однако мы будем понимать симметрию в общем смысле, как она определена в начале н как ее понимают, в частности, когда гонорят о симметрии кристаллов. При этом наложения фигуры на себя называются преобразованиями симметрии. Их основное свойство выражает Теорема 1. Композиция наложений фигуры на с~бя, так же как и отображение, обратное наложению фигуры на себя, является опять ее наложением на себя. До к а з а тел ь с т в о. Композиция наложений, как н отображение, обратное наложению, является наложением.

Вместе с тем, если отображения 5, 5' отображают фигуру Р на себя, то, произведя сначала отображение 5, а за ним 5', отобразим Р на себя, Точно так же, если 5 отображает Р на себя и обратимо, то обратное отображение, возвращая «все на прежние места», тем самым отобразит фигуру Р на себя. Из этих замечаний очевидно следует сказанное в теореме. П Следствие.

Все положения какой-бы то ни было фигуры на себя образуют группу — ее группу симметрии. Это следует из того, что совокупность отображений какого-либо множества на себя представляет собою группу тогда и только тогда, когда входящие в нее отображения обратимы, вместе со всяким отображением эта совокупность содержит ему обратное, а вместе с двумя отображениями — содержит их композицию (в любом порядке). Тождественное отображение, служащее единицей (нейтральным элементом) группы, принадлежит совокупности, как композиция любого из входящих в нее отображений с ему обратным. П з~я ЧАсть 3 пРеовРАЗОВАния. ДРугие ГеометРии Взаимно однозначные или, что равносильно, обратимые отображения множества на себя называют также его преобразованиями.

Так, в частности, говорят о преобразованиях симметрии. Замечание. Доказанная теорема и ее следствие имеют совершенно общее основание. Вообще, если взаимно однозначные отобра>кения какого-либо множества на себя что-нибудь сохраняют, то их композиции и обратные отображения то>ко зто сохраняют (как, например, наложения сохраняют расстояния, вращения оставляют на месте центр или ось и т.

п.). Элементы симметрии ограниченных фигур. Фигура тем симметричной, чем обширнее ее группа симметрии. Самая симметричная фигура — все пространство: его группа симметрии — это группа всех вообще наложений. Но мы рассмотрим сначала симметрию ограниченных фигу р. Если фигура допускает какое-либо наложение К на себя, то она допускает (согласно теореме !) и его композиции самого с собой: Я.)с, ()с )с) )х' и т.

д.— произвольное число раз. Отсюда ясно, что наложения ограниченной фигуры на себя не могут включать ни переносов, ни винтовых наложений, ни скользящих отражений. Поэтому ~руина симметриии ограниченной фигуры может включать только повороты, отражения и зеркальные повороты; последние — только для пространственных фигур: на плоскости их нет. Ось, вокруг которой происходят повороты, совмещающие фигуру саму с собой, называется ее осью симметрии. Наибольшее число поворотов вокруг нее, совмещающих фигуру с собой, включая тождественный поворот, называется порядком оси. Так, у правильной и-угольной призмы есть ось симметрии и-го порядка, проходящая через центры оснований. Ось фигуры вращения — зто ее ось симметрии бесконечного порядка.

Плоскость, отражение относительно которой совмещает фигуру саму с собой, называется ее ллоскостью симметрии. Ось поворота, входящего в зеркальный поворот, который совмещает фигуру саму с собой, называется ее зеркальной осью симметрии. Порядком этой оси также называется наибольшее число связанных с нею наложений — зеркальных и обычных поворотов, включая тождественный.

ь к симиетгия Все вместе эти оси и плоскости симметрии называют алелсенгами симметрии фпгурьс К ним присоединяется центр симметрии в качестве особого элемента симметрии (потому что, хотя центральная симметрия — это зеркальный поворот второго порядка, ось его неопределенная). Зеркальный поворот вокруг данной оси и слагается из поворота вокруг оси а на некоторый угол ~р и отражения относительно перпендикулярной ей плоскости а.

Точка пересечения оси а и плоскости а служит при этом неподвижным центром. Повторение данного зеркального поворота приводит к повороту на )гол 2~р, но без отражения в плоскости а, поскольку повторение отражения в данной плоскости дает тождественное преобразование, В случае многогранника повторение зеркальных поворотов вокруг зеркальной оси симметрии должно привести к тождественному преобразованию — к повороту на «всея 360', без отражения. Поэтому число этих зеркальных поворотов четное.

Зеркальная ось всегда четного порядка 2п и является вместе с тем осью симметрии л-го порядка с поворотами на 2~Р. Рис. 31 Рис. 30 У куба есть зеркальная ось 6-го порядка, проходящая по диагонали через противоположные вершины; она же ось 3-го порядка (рис. 30). У правильного тетраэдра есть зеркальная ось 4-го порядка, проходящая через середины противоположных ребер (рис. 31). При наложении фигуры иа себя ее элементы симметрии, очевидно, переходят в такие же элементы симметрии. 314 чАсть 3 пРеОБРА3ОВАния дгугие гьометРпи Все элементы симметрии ограниченной фигуры пересекаются в одной точке. Если есть центр спммстрин, то он н является этой точкой. Если бы какая-либо ось нлп плоскость симметрии не проходила через центр, то поворот вокруг такой оси илн отражение в плоскости давали бы еще один центр. А композиция симметрий в двух центрах дает перенос.

Фигура не могла бы быть ограниченной. Можно также заключить, что если бы, например, две оси не пересека.чнсь, то фигура не была бы ограниченной. (Доказательство мы оставляем читателям.) Конечные группы симметрии — это группы симметрии правильных призм и правильных многогранников (которые мы рассмотрим в следующем параграфе), другие конечные группы симметрии — зто подгруппы этих групп. У фигур вращения имеется ось бесконечного порядка. Если же их две, то они пересекаются, и всякая прямая, проходящая через ту же точку, оказывается осью симметрии бесконечного порядка, как у шара. Из выводов предыдущего параграфа о композиции поворотов вокруг пересекающихся осей следует, что композиции поворотов вокруг двух осей симметрии порождают повороты Вокруг третьей осн.

Симметрии неограниченных фигур. У неограниченных фигур могут быть элементы симметрии, связанные с переносами. Простейшие примеры представляют точки на прямой на равных расстояниях одна от другой, квадратная сетка на плоскости или в пространстве кубическая «решетка» (рис. 32). Фигура может также иметь винтовую симметрию, т. е. совмещаться сама с собой винтовым наложением (рис. ЗЗ), илн симметрию скользящего отражения (рис. 34). Представляют особый интерес правильные системы фигур (в частности, точек) на плоскости и в пространстве — такие, в которых каждая фигура может быть совмещена с каждой наложением, совмещающим всю систему саму с собой.

Особое значение правильных систем состоит в том, что онн служат геометрическими моделями расположения атомов в кристаллах. В кристалле атомы или их комплексы образуют кристаллическую решетку, которая и изображается правильной системой фигур. ! 5 СИММЕТРИЯ 316 На плоскости примером правильной системы может служить «паркет» — система равных многоугольников, покрывающих всю плоскость, прилегая друг к дрзту по сторонам. Паркеты из правильных многоугольников составляются только из треугольников, Рис. 32 Рис. 33 Рис.

34 квадратов и шестиугольников (рис. 36) (доказывается, например, из подсчета углов). Паркеты из равных выпуклых многоугольников с числом сторон больше Рис 35 6 невозможны (можно также доказать из подсчета углов). Симметрия в природе, в искусстве и т. д. Помимо кристаллов, симметрия в природе наблю. дается у живых организмов. Подавляющее большинство животных, по крайней мере со стороны внешнего строения, имеют вертикальную плоскость симметрии; совсем особенную симметрию имеют морские звезды (рис. 36). У растений наблюдается симметрия цветов, симметрия листьев (рис. 37), в частности, винтовая симметрия.

Конечно, речь может идти лишь о конечном числе листьев; ограниченная фигура не может иметь, строго говоря, винтовую симметрию как 3!8 чАсть 3 пРеоеРАзОВАния дРуГие ГГОметРПП самосовмещаемость винтовым движением. Но можно обобщить понятие симметрии, связанной с переносом, Рис 36 Рис 37 считая фигуру симметричной, если се части допускают перенос или винтовое движение, совмещающее Рис.

Характеристики

Список файлов книги