1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Из теоремы 4 предыдчщего параграфа следует, что параллельное проектирование с плоскости на плоск =ть является аффннным отображением. Как отче:.чо в сонце предыдущего параграфа, всякое отображение, получающееся в результате ряда проектирований с плоскости на плоскость, является аффаииым Оно относится к плоским фигурам, но, комеч° о. возмоисиы разнообразные аффинные отображения — г г;~зеяныт фигур.
.-ыи .Римером аффииного свойства фигуры и -- -:: . Рг= наличие ) нее центра симметрии. тсек-,р гвччетрип 0 характеризуется тем, что для всякой точки Л! фигуры есть такая М', что ОМ'= = — ОМ. Это свойство выражено через линейное соотношение векторов и, стало быть, аффинно. Общие свойства аффинных отображений. Теорема К 1)ри аффинном отображении отрезки отображаются на отрезки, причем параллельные— на параллельные с сохранением отношений; плоские фигуры отображаются на плоские фигуры; прямые— на прямые, плоскости — на плоскости, полуплоскосги — на полуплоскости.
Доказательство. То, что при аффинном отображении отрезки отображаются на отрезки, парал- 33В чАсть 3 пРеОБРА30ВАния. дРуГие ГеОметРии лельные — на параллельные с сохранением отношения, следует из определения аффинного отображения в силу леммы, доказанной в предыдущем параграфе. Плоскость есть множество концов векторов, отложенных от одной точки и выражающихся через два нсколлннсарных вектора. Поэтому плоскость отображается на плоскость и, аналогично, плоские фигурыв на плоские фигуры. (Ср. с теоремой 2 ниже.) П То, что отношения параллельных отрезков сохраняются, означает, что у всех параллельных друг другу отрезков длины изменяются в одно и то же число раз; другими словами, все эти отрезки претерпевают одинаковое растяжение или сжатие.
Таким образом, при аффинном преобразовании в каждом направлении происходит равномерное растяжение или сжатие. Из доказанной теоремы следует, что все свойства фигур, основанные на отношениях параллельных Отрезков (в частности, отрезков, лежащих на одной прямой), являются аффинными. Теоремы, их выражающие, принадлежат аффинной геометрии. Примером может служить та теорема о медианах треугольника, что они пересекаются в одной точке н делят друг друга в отношении 1: 2. Теорема 2.
Аффинное отображение всякой фигуры А~ажно распространить на все пространство, причем единственным образом, если в фигуре есть три некомпланарньт вектора. Если же все векторы в ней компланарны, но есть неколлинеарные, то аффинное отображение однозначно распространяется на определяемую ими плоскость. Дока за те льет в о. Пусть в фигуре 0 есть такие точки А, ..., г, что векторы АВ, С0, ЕР некомпланарны. Тогда всякую точку М в пространстве можно задать вектором АМ хАВ+ уСО+ ЕЕГ"; к, у, г — координаты точки М относительно трехвекторника с началом А и векторами, равнымиАВ, С0, ЕР.
При аффинном отображении фигуры С эти векторы отобразятся в независимые векторы, и будет А'М' хА'В'+ уС'О'+ ЕЕ'Р'. кввинныя отовэкжения и яввнннкя гвомвтьия ззэ Этим однозначно определено отображение всего пространства на себя. В частности, векторы ХУ в самой фигуре 0 выражаются через АВ, С0, сР. То есть фигура 6 преобразуется вместе с пространством. Если в фигуре нет трех независимых векторов, т. е. она содержится в некоторой плоскости а, то прн иффиином отображении это свойство сохраняется; образ фигуры будет содержаться в некоторой плоско. сти б. Чтобы распространить отображение на все пространство, можно добавить к фигуре точку, не лежащую в плоскости а, н задать ее образ, лишь бы он ие лежал в плоскости р. П Теорема 3.
Композиция аффинных отображений есть аффинное отображение. Всякое аффинное отображение обратимо, и отображение, обратное аффинному, аффинно. Локазательство. Первое утверждение очевидно, так как если отображения что-то сохраняют, то и композиция нх это сохраняет. Г!ри аффинном отображении никакие две точки ие отображаются на одну, яотоиэ что если две точки А, В отображаются иа одн1 .1', то, значит, вектор АВ отображается на нулевой, а это исключено определением аффинного отображения. Следовательно, аффинное отображение ° взимно однозначно и тем самым обратимо.
Если бы прн обратном отображении исчезала какая-иябтдь линейная связь между векторами, то это зизьило бы, что при прямом отображении она появля;тг-. Л э.о гротпэоречит второму условию в определении аффннного отображения. Л сслп бы при обратном отобрал еинн появлялась какая-нибудь линейная связь векторов, то это означало бы, что при прямом отображении оиа исчезает вопреки определению аффинного отображения. Теорема 3 доказана. П Лффннное отображение плоскости на себя, как и пространства на себя, называется аффинным преобразованием плоскости, и соответственно — пространства. Из теоремы 3 непосредственно следует Теорема 4. Аффинные преобразования плоскости, как и аффпнные преобразования пространства, образуют группу. П 34О чАсть 3.
пРеОБРА30ВАния. дРуГие ГеометРии Об определении аффиниых отображений. Определение аффинного отображения можно несколько упростить. Первое его требование — сохранение линейных связей векторов — остается, но второе — то, что не появляется новых таких связей,— можно заменить более простым: сохраняется независимость векторов, т. е. образы неколлинеарных векторов неколлинеарны, некомпланарных — некомплаиарны. То, что это условие выполнено, если вообще не появляется новых линейных связей, очевидно.
То, что верно также обратное, доказывает следующая лемма. Лемма. Если при отображении, сохраняюи(ем линейные соотношения между векторами, сохраняются неколлинеарность и некомпланарность векторов, то вообще не появляется новых линейных соотношений. Дои а за тель ст в о. Пусть, например, в Отображаемой фигуре г есть векторы а, Ь, с, й, причем а, Ь, с независимы и ра+ оЬ+ ге+ Ы =О. При отображении по первому условию получим векторы с такой же зависимостью ра'+ оЬ'+ гс'+ зй' = О.
(() Допустим, появилась также другая зависимость р,а' + в,Ь' + г,с' + з,й' = О. (2) Умножая это равенство на 5, а предыдущее — на 51 н вычитая, исключаем вектор й' и получаем формулу вида р,а' + о2Ь' + г,с' = О, где рх = р52 — р|5 и т. д. Если векторы а', Ь', с' независимы как и а, Ь, с, то должно быть Р2 ч2 г2= О т. е. Р,: Р 5, . '5, О,: У = 5,.: 5, Г,: Г = 5,: 5, А это значит, что равенство (2) равносильно (!), т.
е. вовсе не представляет новую зависимость векторов. Стало быть, если некомпланарные векторы остаются некомпланарными, то новых зависимостей не появляется. !)! 3 Рлзложепие АФФинных огоьях)кениг! 34! В случае плоскости все векторы компланарны. Тьгл~ аналогично,— рассматривая зависимость вида зхх — дб+ гс = О, — доказываем, что если неколлииеерные векторы остаются неколлинеарными, то навык *ависнмостсй не появляется. гл Хотя мы и упростили несколько определение аффинного отображения, оно, тем ис менее, остаетси -овольно сложным, так как основано на понятиях векторной алгебры и недостаточно геометрична.
Поэтому существенно определить аффннные отображения более геометричиыми и менее сложными условиями. Это можно сделать, если рассматривать аффнииыс отображения не любых фигур. Сформулируем два рода таких условий; первые относятся к такому случаю, когда отображению подвергается область, во втором речь идет об отображении всей плоскости или всего пространства. Теорема 5.
Отображение плоской или пространственной области, при которо.и параллельные отрезки отобиама»огсз на параллельные отрезки, является аффикч и Теорема б. Отображение плоскости или пространства на стоя аффинно, если При нем всякие три точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, опять лемаьлие на одной прямой. Или. взаимно однозначное отображение плоскости илн пространства, при котором прямые отобра. э .тся на прямые, аффинно. тз»» отобрал енин пересекающиеся прямые пе,-еходят: з ресекающиеся, н поэтому, как можно ло«ь)зть, сл скость отображагтся иа плоскость.
Поэтому параллельные прямые отображаются на параллельные (в силу взаимной однозначности). Но чтобы свестп вывод к теореме 5, нужно доказать, что отрезки отображаются на отрезки, а это не просто. Теоремы 5 и 6 мы доказывать не будем, кл й 3. Разложение аффинных отображений на простейшие Наложение как аффннное отображение.
Теорема 1. Всякое наложение есть аффинное отображение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Наложение любой фигуры можно распространить на все пространство; поэтому 34Е ЧХГТЬ 3 ПРЕОЬРАЗОВЛНИЯ. ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ можно рассматривать наложение, определенное во всем пространстве. Согласно определению аффинных отображений мы должны убедиться в том, что наложение сохраняет линейные соотношения между векторами н не вводит новых. При этом достаточно ограничиться проверкой того, что линейные соотношения сохраняются.
Тогда в том, что новых соотношений не появится, убеждаемся, применяя доказанное к обратному наложению. Локазательство разбивается на три части. Сначала мы проверим, что образы равных иаиравленных отрезков равны. Затеи — что произведение вектора на число переходит в такое же произв ведение. И, наконец, что образ суммы векторов равен сумме их образов. Векторное равенство АВ= СО А равносильно тому, что у отрезков ЛО, ВС середина общая (рис. 59).
Рхс. 59 При наложении середина перехо- дит в середину, поэтому и равенство векторов сохраняется. Это позволяет заменять вектор любым равным — образ его также заменяется равным. В равенстве рАВ =СО можно вектор СО заменить равным, отложенным от точки А, так что рАВ = АЕ.
Это равенство означает, во-первых, что 1р~1АВ~=1АЕ~; а соотношение длин при наложении сохранится. Во-вторых, если р ( О, то точка А лежит на отрезке ВЕ; если же О р ( 1, то точка Е лежит на отрезке АВ, и если р ) 1, то В иа АЕ. Все эти соотношения при наложении сохраняются, так как отрезки отображаются на отрезки и длины у~ сохраняются.
В сумме ЛВ+ СО == ЕЕ можно заменять СО и Ег" равнымн векторами, отложенными от точек В и Л, так что будет АВ+ ВО = АО, А такое равенство очевидным образом сохраняется вообще при любом отображении, так как оно не выражает ничего большего, как то, что имеются точки А, В, О. Су И1.3. РАЗЛОжение АФФинных ОтОБРАженип 343 Представление аффинного отображения через растяжения н наложения. Простейшим аффннным преобразованием плоской фигуры, не сводяшимся к надо;кению, является равномерное растяжение или сжатие к прямой по перпендикулярному ей направлению. Т. е. это такое преобразование, при котором все расстояния от данной прямой изменяются в одно н то же число раз и каждая точка остается при этом иа том же перпеидикуляре к этой прямой с той же От нее стороны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
