1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Рис. ВТ Это та прямая Ь, по которой плоскость а' пересекается плоскостью у, проходящей через центр О параллельно плоскости а (рис. 67; плоскость у н «пересекает» а по бесконечно удаленной прямой), На всякой прямой есть одна бесконечно удаленная точка, в которой она пересекает бесконечно удаленную прямую. Параллельные прямые сходятся— «пересекаются» в бесконечно удаленной точке. Это соответствует тому, что когда точка, двигаясь по прямой, удаляется в бесконечность, пересекающиеся в ней прямые «нриблиРнс.
ВВ жаются к параллельности» (рис. 68). То же получается при проектировании. Пусть Л— такая точка плоскости а, что прямая ОА параллельна плоскости проекции а', так что точке А соответствует бесконечно удаленная точка А'. Прямые, проходящие на плоскости а через точку Л, в проекции уже не пересекаются, так как у точки Л нет проекции, т. е. в проекции получаются параллельные прямые. Но так как точке А сопоставлена бесконечно удаленная точна ПЬ Ь ПРОЕКГИВ!ГАЯ ПЛОСКОСТЬ 357 4', то мы должны считать, что эти параллельные прямые пересекаются в точке А' (рис. 69).
Итак, плоскость дополняется бесконечно удаленными точками; они образуют бесконечно удаленную прямую; каждая другая (обычная) прямая содержит Одну бесконечно удаленную точку, й все параллельные друг другу прямые пересекаются в одной беско- ч печно удаленной точке. Теи самым всякие две прямьГе пересекаются: па- с раллельные — в бесконечно удаленной точке, а бесконечно удаленная прямая пересекается со всякой прямой в ее бесконечно удаленной точке. При этих условиях 1 уже без всяких огово- ри«. 69 рок) прямые при проектировании отображаются на лрямьГе, и точки, лежаиГие на Одной прямой, отображаются в точки, лежа- е нз одной прямой.
Прямая, дополненная бесконечно удаленной точкой, называется проективнай прямой. У прямой бесконечно удаленная точка одна, и когда точка движется по прямой в бесконечность в одну или другую сторону, она в обоих направлениях «стремится» к бесконечно удаленной точке. Это значит, что прямая замыкается в бесконечно удаленной точке. Проективная прямая представляет собой замкнутую линию. Плоскость, дополненная бесконечно удаленными точками и вместе с ними — бесконечно удаленной прямой, называется праективной плоскостью при условии, что эти точки признаются равноправными с обычными точками и бесконечно удаленная прямая — равноправной с обычными прямыми.
Равноправность эта проявляется в том, что все точки и прямые переходят одни в другие при проектировании, Конечно, это понятие «равнопранности» несколько неопределенно; строгое его определение будет дано дальше. Спроектирован плоскость а на а', можно затем спроектировать Ги' на Гх из другого центра или 35$ ЧАСТЬ Е ПРЕОВРАЗОВАНИЯ.
ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ параллельным проектированием. В результате получается проективиое отображение проективиой плоскости а самой иа себя. Подобную операцию можно повторять. При этом как при каждом проектировании, так и при их композиции, прямые будут отображаться иа прямые. Вообще проекгивным преобразованием кроективиой плоскости называется ее отображение самой иа себя, при котором прямые отображаются иа прямые.
(Преобразуемость одних прямых в другие и определяет их «равноправием.) Ороекгипным называется свойство, сохраняющееся при любых проективиых преобразованиях. Проективиая геометрия яо плоскости изучает проективные свойства фигур иа проективиой плоскости, ие выделяя бесконечно удаленные элементы; для иее все то~!ки и все прямые одинаковы, Фигуры, преоб- разуемые одна в другую, Е имеют одни и те же про- А ективиые свойства; оия с точки зрения проективиой геометрии эквива- Р леитиы.
в в' Переход от проективиой плоское~и к аффиииой. Теорема Дезарга. Дополнение обычной плоскости бесконечно удаленной прямой позволяет Рис 7о в цело.м ряде случаев ие отличать параллельные прямые от пересекающихся и этим придает едииообразие формулировкам и доказательствам теорем. С другой сторона, поскольку проективиая плоскость получается из обычной прибавлением прямой, то, приняв какую-либо прямую иа проективиой плоскости за бескоисчио удаленную, получаем обычную аффиииую плоскость. Тогда теорема проективиой геометрии сводится к теореме аффиииой геометрии, и ее можно доказывать, пользуясь аффиииой и даже евклидовой геометрией.
Пример, демонстриру!ощий пользу обоих сделанных замечаиий, представляет теорема Дезарга. Формулируем ее для проективиой плоскости (рис. 70). 1ч. ь пгоективнхя плоскость 359 Теорема 1 (Дезарг). Пусть у двух треугольников вершины и соответственно стороны приведены в соответствие. Тогда если при этом оказывается, что прямые, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке, то точки пересечения прямых, проходящих вдоль соответственных сторон, лежат на одной прямой. И обратно: если точки пересечения прямых, проходящих вдоль соответственныл сторон, лежат на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке.
Обозначим, как обычно, соответствующие вершины треугольников А, В, С и А', В', С', Точки пересечения прямых АВ и А'В', ВС и В'С', СА и С'А' обозначим О, Е, Р. Тогда теорема выглядит так. Если прямые АА', ВВ', СС' пересекаются в одной точке, то точки О, Е, Г лежат на одной прямой, и обратно: если Р, Е, Р— на одной прямой, то АА', ВВ', СС' пересекаются в одной точке. Заметим, что в проектнвной геометрии прямая— замкнутая линия, поэтому отрезок не определяется своими концами: есть два отрезка с одними и теми же концами. Соответственно треугольник АВС не является определенным в обычном смысле. Поэтому, может быть, лучше говорить о двух тройках точек А, В, С и А', В', С', не лежащих каждая на одной прямой.
Переведем теперь теорему Дезарга на язык евклидовой геометрии. Тогда для прямых, проходящих через соответственные вершины, надо различать два случая: 1) либо они пересекаются, 2) либо они параллельны. Для прямых, проходящих вдоль соответственных сторон, придется различать три случая: !) они пересекаются в точках одной прямой, 2) они параллельны (три пары параллельных прямых), 3) прямые одной пары параллельны, прямые двух других пар пересекаются и точках, лежащих на прямой, параллельной прямым первой пары. Итого, в теореме при ее формулировке для обычной плоскости будет 2 Х 3 = 6 случаев.
С другой стороны, можно превратить данную теорему в теорему на обычной плоскости, приняв прямую, на которой лежат точки пересечения прямых, зао чАсть 3. ПРеоБРАЗОВАИ1!я дРуги1! ГеомьтРии идущих вдоль сторон, за б!есконсчно удаленную, Тогда теорема примет такой вид. Теорема 2. Пусть в ршины и соответственно стороны двух треугольников приведены в соответствие Пусть при этом оказывается, что 1) прямые, соединяющие соответственные вершины, пересекаются в однои то!кс или париллельнь1, 2) соответственные стороны в двух парах параллельны Тогда и стороны третьей пары параллельны. Обратно; если соответственные стороны параллельны (в каждой из трех пар), то прямые, проходящие через соответственные вершины, пересекаются либо параллельны.
В этом виде обе части теоремы, прямая и обратная, вполне доступны доказательству на уровне школьного курса. Докажем, например, вторую часть. В В Рис. 72 Рис. 7! Пусть АВ11А'В', ВС!(В'С', СА1(С'А'. Проведем прямые АА', ВВ'. Допустим, они пересекаются в некоторой точке О. Так как АВ11А'В', то О Л/ОЛ' = ОВ/ОВ'. (1) Тут возможны два случая: 1) точки Л, А' как и В, В' лежат с одной стороны от О (рис.
7!), 2) они с разных сторон от О (рис. 72). Произведем гомотетию с центром О, которая переведет точку А' в Л, Если эти точки с разных сторон от О, то коэффициент гомотетии отрицательный. Ввиду пропорциональности отрезков (1) точка В' перейдет в В. Прямые А'С' и В'С', как параллельные 1Ч. !. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ прямым АС, ВС, перейдут в эти прямые.
Вместе с этим точка их пересечения С' переходит в С. Следовательно, эти точки С, С' лежали на одной прямой, проходящей через О. Если АА'|~ВВ', то тот же результат даст параллельный перенос, совмещающий А с Л'. (Убедитесь!) Итак, вторая часть теоремы доказана. Первая ее часть доказывается сходным приемом, и читатель сам проделает это доказательство.
ь) Перейти от доказываемой таким образом теоремы из элементарной геометрии к теореме Дезарга в ее общем виде можно совсем просто и не ссылаясь на проективную геометрию. Пусть на плоскости а даны треугольники АВС, А'В'С'. Воспользуемся введенными выше обозначениями (рис. 70). Пусть О, Š— точки пересечения прямых АВ, А'В' и ВС, В'С'. (Если, скажем, ВС$(В'С', то берем прямые СА, С А', если же СА!)С'А' или АВ1А'В', то это случай, который уже рассмотрен в доказанной теореме.) Проводим прямую ОЕ Берем точку Π— центр проекции вне плоскости а и проводим плоскость и через О и прямую ВЕ. Проводим гласность Т~!р и проектируем на нее плоскость а.
Так как уф, то прямая ОЕ спроектируется н бесконечно удаленную прямую, т. е., попросту говоря, прямые АВ, А'В' и ВС, В'С' спроектируются в параллельные. Мы получим, таким образом, конфигурацию, рассматриваемую в теореме 2. Эта теорема доказана, а значит — возвращаясь на плоскость сс — доказана и теорема Лезарга. С~ Содержащийся в изложении прием сведения теорем и построений проективной геометрии к элементарной геометрии продуктивно работает и в других случаях. Рассмотрим несколько примеров в качестве задач. Теорема 3 (Паскаль).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
