1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Если эту прямую принять за ось к прямоугольной системы координат, то преобразование представится так, что каждая точка (х, у) переходит в такую точку (х', у'), что х'=х, у'=йу, (1) где й ) 0 одно и то же для всех точек. Это й— екоэффнпиент растяженияэ, причем если й ) 1, то з Ркс 60 происходит в самом деле растяжение в й раз, если же я ( 1, то сжатие в !/й раз (случай й = 1. как это принято, формально не исключается).
См. рис. 60, а, а. Нетрудно доказать, что такое преобразование в самом деле аффинно, т. е. сохраняет линейные связи векторов и не вводит новых. Действительно, преобразование (1» очевидно сохраняет по отдельности 344 ЧАСТЬ 3 ПРБОБРАЗОБАИИЯ, ДРУПШ ГЕОМЕТРИИ линейные связи координат х и координат у (х вовсе не меняется, а у всех у общий множитель, который со- кРатитсЯ во всЯкой фоРмУле Уз — — А~У~ + ХБУБ).
Линейные же связи векторов равносильны таким же линейным связям их координат. Таким образом, этп связи сохраняются. Обратное преобразование пмсет 1 такой жс внд: х = х, у = — д'. Поэтому оно так же ь сохраняет линейные связи векторов. А это значит, что прямое преобразование не вводит новых линейных связей. Итак, преобразование (!) аффинно. Роль таких простейших преобразований показывает следующая теорема.
Теорема 2. Всякое аффинное преобразование на плоскости представляет собой композицию наложения и двух растяжений во взаимно перпендикулярнь1х направлениях от двух взаимно перпендикулярных прямых. Поскольку наложение не изменяет ин формы, ни размеров фигуры, то теорема означает, что изменение их, вызываемое аффинным преобразованием (рис. 61), сводитсь ся к двум сжатиям или растяжениям (причем, конечно, одно из них может Отсутствовать) . Если оси х, у направлены по направлениям растяжения Ркс 6! (сжатия), то преобразование, слагающееся из этих двух растяжений, состоит в том, что всякая точка (х, у) переходит в точку (х', у') с х' = Й1х, у' = (г,х.
(2) Теорему можно так и формулировать: при всяком аффинном преобразовании можно в1ябрать прямоугольные координаты х, у так, что преобразование представится формулами (2) с последующим наложением (впрочем, можно сначала произвести необходимое наложение, а потом растяжения (сжатия)). В пространстве простейшим аффинным преобразованием, не сводящимся к наложению, является растяжение или сжатие к плоскости по перпендикулярному ей направлению. Все расстояния от данной пло- Н!.3, РАЗЛОЖЕНИЕ АФФНННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 345 скости изменяются в одно и то же число раз, и каждая точка остается при этом на том же перпендикуляре к этой плоскости с той же от нее стороны. Если ввести прямоугольные координаты так, чтобы эта глоскость была плоскостью ху (г = 0), то указанное греобразование представится так, что каждая точка !х, у, г) переходит в такую точку (х', у', г'), что х =х, у =уь г =яг.
(3) То. что такое преобразование в самом деле аффинно, доказывается буквально так же, как в случае плоскости, и аналогично теореме 2 выполняется Теорема 3. Всякое аффинное преобразование в пространстве представляет собой композицию наложения и трех растяжений (сжатий) во взаимно перпендикулярных направлениях от трех взаимно пергендикулярных плоскостей.
Если оси х, у, г направлены по направлениям указанных в теореме растяжений, то преобразование, состоящее нз этих растя ьений. представляется как талое. и, и лотором каждая точка (х, у, г) переходит Б тг«эю точку !х', у', г'), что г = (ьзг. (4) у =яту Теорсму можно так и формулировать: при всяком аффинном пр!образовании в пространстве можно ввести прямоугольные координаты так, что преобразование представится формулами (4) «с точностью до на.ьожения», т. е, с добавлением наложения. Доказательства теорем 2, 3.
Как было указано в предыдущем параграфе, при аффинном отображении в каждом направлении происходит равномерное растяжение. Длины всех параллельных друг другу отрезков изменяются в одно и то же число раз, умножаются на одно и то же число — коэффиниент растяжения (возможно, «1).
Теорему 2 можно дополнить: Теорема 2а. Растяжения в двух взаимно перпендикулярных направлениях, которые согласно теореме 2 да!от вместе с наложением данное аффинное преобразование, происходят в тех направлениях, в которых коэффициент растяжения имеет наименьшее и наибольшее значения. 6$6 чАсть 3.
ЙРИОБРА30ВАния. дРуГие ГеОметРии С указанным экстремальным свойством этих растяжений н связано доказательство теоремы 2. Оно основано на свойстве наименьшего растяжения, выраженном в следующей лемме. В ней имеется в виду аффиниое преобразование плоскости. Лемма 1. Прямые, перпендикулярные направлению наил~еньшего растяжения, остаются ему перпендикулярными. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть имеется некоторое аффинное преобразование. В направлении каждой прямой происходит равномерное растяжение.
Пусть а — проходящая через точку О прямая, растяжение вдоль которой наименьшее (рнс. 62). Возьмем на ней какую-нибудь точку А, отличную от О, и проведем через нее прямую Ь, перпендикулярную а, В результате произведенного аффинного преобразования точка О перейдет в О', прямая а перейдет в какую-то прямую а', точка А — в точку А', прямая Ь вЂ” в прямую Ь'. Докажем, что Ь' ) а'. Ряс. 63 Рис 62 Допустим противное, и пусть с' — прямая, проходящая через О' перпендикулярно Ь', а с — та прямая, которая перешла в с' при рассматриваемом преобразовании.
Пусть С вЂ” точка пересечения прямой с с прямой Ь, и С' — образ этой точки — точка пересечения прямой с' с прямой Ь' (рис. 63). Таким образом, О'С'.1 Ь', и, стало быть, О'С' < О'А'. Вместе с тем ОА .) Ь, н потому ОС > ОА. Н1 Х РАЗЛОЖЕНИЕ АФФИННЫХ ОТОБРАЖЕНИИ 3А7 Из этих двух неравенств следует, что О С' О'А' ОС ОА ( —. Это неравенство означает, что растяжение в направлении прямой с меньше, чем в наиравлении прямой а. Но это противоречит выбору прямой а как такой, в направлении которой растяжение наименьшее.
Следовательно, предположение, что прямая Ь', в которую перешла Ь, не перпендикулярна прямой а', неверно, и значит Ь') а', что и требовалось доказать. С) Теперь укажем кратко доказательство теоремы 2: Пусть дано некоторое аффинное преобразование плоскости. Добавив к нему подходящий перенос, Обеспечим, что некоторая точка будет неподвижной.
Затем, добавив подходящий поворот, обеспечим, что езячая а, проходящая через О в направлении наименьшего растяжения, остается иа месте, как п ее лучи с началом О (прямая не переворачивается). Тот-а согласно доказанной лемме прямая Ь, перпендикулярная а, тоже останется на месте, и если ее лучи с началом О меняются местами, то, добавив отрал ение в прямой а, обеспечим, что они остаются на месте.
Итак, добавив к данному аффннному преобразованию подходящее наложение, мы получаем аффинное преобразование, прн котором прямые а и Ь п их лтчи переходят в себя. Прн аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в параллельные, поэтому прямые, параллельные прямым а и Ь, остаются им параллельными и только перемещаются согласно растяжениям вдоль этих прямых. А это н значит, что аффинное преобразование состоит из растяжений вдоль прямых а и Ь.
Тем самым исходное преобразование является композицией этих растяжений с наложением (обратным тому, каким мы привели к неподвижности прямые а и Ь). Теорема 2 доказана. П Из доказательства следует, что одно из растяжений, из которых слагается здесь аффнниое преобразование, — это растяжение с наименьшим коэффиииеитом, как и сказано в теореме 2а. В том, что ЗАВ ЧАСТЬ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ другое растяжение оказывается наибольшим, можно убедиться, выразив растяжение в любом данном направлении через растяжение по двум взаимно перпендикулярным прямым а и Ь. Но можно сослаться на обратное отображение.
При обратном отображении прямые а и Ь будут также оставаться на месте, но наименьшее растяжснис соответствует наибольшему в прямом отображении. Следовательно, это наибольшее растяжение п)гоисходит как раз вдоль прямой Ь. П Теорема 3 об аффинном преобразовании пространства доказывается аналогично. Начинаем с того, что подобно доказанной лемме ! доказываем: Лемма 2. При аффинном преобразовании пространства вся плоскости, перпендикулярные нагграв.чению наименьшего ростяжгния, остаются ему перпендикулярньгми.
Доказательство совершенно аналогично доказательству леммы !. П Далее замечаем, что в параллельных плоскостях произведены одинаковые аффинныс преобразования. В плоскости, перпендикулярной прямой а, вдоль которой происходит наименьшее растяжение, аффиннос преобразование представляется согласно теореме 2. Так придем к доказательству теоремы 3. Читатель сам проведет это доказательство. П Замечание. В доказательствах теорем 2, 3 допущен пропуск: нужно было доказать, что при аффинном преобразовании всегда есть направление наименьшего растяжения. Это доказывается обычным приемом анализа, если доказать, что коэффициент растяжения в каждом направлении является непрерывной функцией направления.
На доказательстве мы не останавливаемся. й 4. Представление аффиниых отображений н наложений в координатах Теорема 1. Аффнннос преобразование представляется в аффинных координатах линейными форму- ломи с определителем, отличнылг от нуля. То есть в случае плоскости координаты точки М'(х', у'), на которую отображается точка М(х,у), выражаются 1и. 4 пРедстАВления АФФинных ОтОБРАжении 349 форлзу заззи вида х'=ацх+аиу+ Ьь у' = а„х + а„у+ Ьз, В пространстве же, если зсается на М'(х', у', е'), то х =аих, + а, х, + амхз+ Ь1, х',=аззхз + а, х,+ ар3Х3+ Ьм х;=азх,+а„х,+а,х +Ь,, )"" "*( чь О.
()) точка М(х, у, г) отобра- ! из~ е13 езз ( изз азз езз~~О. Р) ез~ азз азз Прн аффинном отображении линейные соотношения сохраняются. Поэтому если М'(хи х') — та точка, на которую отобразилась точка М, то (4) Вместе с тем радиус-вектор этой точки М' в основных векторах представляется формулой ОМ' = е, х', + езх,'. (5) И так как 00'=Ь=е,Ь, + еА, СМ' = 00'+ 0'М', то из (4) и (5) получаем ОМ'= е,х', + е,х,' = е',х, + е,'хз+ Е,Ь, + Е,Ь,. (6) Векторы еи е' выражаются через векторы еи е,: е, =аие, +а„е,, е,=а„е, +а, е,.
Подставив эти выражения в (3), получим е,х', + е х', = (а„х, + а„х, + Ь,) е, + Доказательство. Для плоскости. Пусть на плоскости введена система координат с началом 0 н основными векторами ез, ез. Пусть произведено аффиниое преобразование, при котором начало 0 отобразилось на точку 0'(Ь1, Ьз), а векторы еи е,— на е,', е„,'. Возьмем произвольную точку М(хь хз), н пусть ее радиус-вектор будет ОМ = е,х, + е,х,. (3) зав часть з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
