1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Если точка Р движется по прямой с(, то ее поляна вращается вокруг точки с( (рис. 79). В итоге каждой точке — вне или внутри конического сечения — сопоставляется поляра, и каждой прямой — полюс. Полярность относительно окружности. Можно считать какую-либо прямую, пс пересекающую коническое сечение, бесконечно удаленной прямой, а само коническое сечение — окружностью. Тогда установ- Зтв ЧАСТЬ 3.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ ленное полярное соответствие связано с окружностью и выражает факты элементарной геометрии. Прежде всего можно заметить, что касательные к окружности, пересекающиеся в бесконечно удаленной точке, т, е. параллельные, касаются окружности в диаметрально противоположных точках. Прямая, проходящая через них, проходит через центр — это диаметральная прямая, или, как принято коротко говорить в теории кривых второго порядка,— диаметр, Таким образом, полярой р бесконечно удаленной точки Р служит диаметр.
Когда бесконечно удаленная точка Р движется по бесконечно удаленной прямой, т. е. когда направление параллельных прямых поворачивается, диаметр р вращается вокрут центра. Поэтому центр окружности является полюсом бесконечно удаленной прямой. Теперь обратимся к обычным точкам вне круга, Полярное соответствие означает следующее. Теорема 2. Каждой точке Р вне круга сопоставим прямую р, проходящую через те точки, где касательные, проведенные через Р, касаются окружности круга, Тогда если точка Р зачерчиваег какую-нибудь 0 прямую д, то соответствующая прямая р вращается вокруг одной точки Аг (совершая полный оборот; рис.
ОО). Тем самым выполняется н обратное: если Ряс. ЗО какая-либо прямая р вра- щается вокруг некоторой заранее выбранной точки 9, то соответствующая этой прямой точка Р зачерчивает прямую д, соответствующую точке 9. П Зту теорему можно считать прежде всего теоремой о касательных к окружности, так как она говорит о прямых, проходящих через точки касания Стоит внимательно рассмотреть данную теорему и попытаться доказать ее чв лоỠ— средствами элементарной геометрии, вовсе не ссылаясь на соображения двойственности из проективной геометрии. Пл «ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО зтв й 4.
Проективпое пространство Проективное пространство можно получить, поголняя евклидово пространство бесконечно удаленными точками, которые образуют бесконечно удаленную плоскость: каждая другая плоскость пересекает ее по своей бесконечно удаленной прямой, Параллельные плоскости пересекаются по бесконечно удаленной прямой — она у них общая. Так же как параллельные прямые пересекаются в их общей бесконечно удаленной точке. Пространство, пополненное таким образом бесконечно удаленной плоскостью, становится проективным пространством, когда бесконечно удаленные его элементы — точки, прямые, плоскость, — полагаются «равноправными» с соответствующими обычными его элементами. Точно это можно определить с помощью проектнвных преобразований, Проективным преобразованием пополненного пространства называется такое его взаимно однозначное отображение на себя, при котором прямые отображаются ва прямые.
плоскости — на плоскости, без различяя между обычными и бесконечно удаленными. Благодаря таким преобразованиям пополненное пространство и становится проелтивным, где уже нет особых бесконечно удаленных элементов. Поэтому можно дать такое его определение. Лроективным пространством называется пространство, пополненное бесконечно удаленнымн элементамн, если в нем введены проективные преобразования.
Свойство фигур называется проективным, если оно сохраняется при любых проективных преобразованиях — инвариантно относительно этих преобразований. Проектиеной геометрией в пространстве называется теория — область геометрии, — в которой изучаются проективные свойства фигур. Подобно тому как проективную плоскость можно представить связкой прямых, так и проективное пространство можно представить связкой прямых, но уже в четырехмерном пространстве, Прямые связки служат при этом точками проектнвного пространства. Проективным преобразованием является отображение связки на себя — ее прямых на прямые,— ЗВВ часть з, пвьоввхзовхгп~я, дгхгив гвомьтяип вызываемое любым аффинным преобразованием объемлющего евклидова пространства, сохраняющим центр связки.
Прямые просктивного пространства представляются (двумерными) плоскостями связки, т. е. проходящими через ее центр, а плоскость представляется трехмерными плоскостями связки. В каждой из них содержится трехмерная связка, которая и представляет ее — эту проективную плоскость. Совершенно так же, как прп изображении проективной плоскости связкой прямых, вводятся однородные координаты; теперь их четыре: хь хъ ха, хх.
Они определены с точностью для любого отличного от нуля общего множителя Как говорят, определено их отношение (х1, хх, к,: х~). Оно задает прямую связки и тем самым — точку проективного пространства. (В объемлющем пространстве, содержащем связку, кь кг, хм х4 — это какие-либо аффинные координаты с началом в центре связки. На прямои связки они отличаются только общим множителем.) Лффинное преобразование объемлющего пространства, сохраняющее центр связки, представляется в координатах линейным преобразованием (с определителем, отличным от нуля). Это линейное преобразование, в котором координаты хь хъ х,, хх рассматриваются как однородные координаты точек, и представляет проективное преобразование проективного пространства.
Как от проективной плоскости можно перейти обратно к аффинной, фиксируя какую-нибудь прямую в качестве бесконечно удаленной, так и от проективного пространства можно перейти к аффинному, фиксируя какую-нибудь плоскость и приняв ее за бесконечно удаленную. Аффинныс преобразования пространства — это его проективные преобразования, при которых некоторая плоскость отображается сама на себя в качестве бесконечно удаленной. Так же как в случае проективной плоскости, это дает средство доказательства теорем проективной геометрии о фигурах, не пересекающих все плоскости пространства.
Пусть фигура г" не имеет с плоскостью а общих точек, Примем эту плоскость за бесконечно удаленную; фигура Р окажется в аффинном пространстве, и !ч.с пРоективное пяостелнство 38! ее подлежащее доказательству свойство окажется ее аффииным свойством. Можно даже принять пространство за евклидово, введя в нем соответствующее расстояние.
Свойство фигуры г" можно будет выразить н доказать в этих условиях — в евклидовом пространстве. Но так как это свойство по его формулировке проективное, то оно и будет доказано в этом его качестве. Проективное — значит, не изменяется при любых проективиых преобразованиях; значит, доказав его в дополнительных условиях, мы доказали его во всей общности. В просктивном пространстве можно рассмотреть поверхность второго порядка, так же как на проективной плоскости рассмотрены КВП. Проведите сами проективную классификацию ПВП. Обратите внимание на то, что эллипсоид, двуполостный гиперболоид и эллиптический параболоид попадают в один класс— представляют одинаковые поверхности, только поразному расположены относительно плоскости, принятой за бесконечно удаленную.
Другой гиперболоид— олиополостиый — и гиперболический параболонд тоже попадают в олин класс. Очевидно, наличие прямолинейных образующих есть проективное свойство. Цилни=ры — это конусы с бесконечно удаленной вершиной... Разберите все случаи в зависимости от расположения бесконечно удаленной плоскости. Теерема Йезарга. Докажем теорему Дезарга в г«р «ктиэиом пространстве. Отличие от обычной стер«он«-.; ии только в том, что две прямые, лежащие в одной плоскости. всегда пер«с«каются. Пусть у двух треугольников вершины поставлены в соответствие, н тем самым поставлены в соответствие и стороны. Теорема утверждает; если прямые, соединяющие соответственные вершины, пересекаются в одной точке, то точки пересечения прямых, содержащих соответственные стороны, лежат на одной прямой, и обратно: если точки пересечений прямых, содержащих соответственные стороны, лежат на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке.
Собственно говоря, треугольники здесь ни при чем, а речь идет о двух тройках точек и проходящих через них прямых; так и сформулируем теорему. зае чьсть ь пРеОБРАЗОВАния. дРуГие ГеОметРии Теорема (Дезарг). Пусть точки А, В, С не лежат на одной прямой, как и точки А', В', С', Тогда если прямые АА', ВВ', СС' пересекаются в одной точке, точки пересечения прямых АВ с Л'В', ЛС с А'С', ВС с В'С' лежат на одной прямой, И обратно; если точки пересечения прямых АВ с А'В', АС с А'С', ВС с В'С' Рис. В! лежат на прямой, то прямые АА', ВВ', СС' пересекаются в одной точке.
Доказательство при условии, что точки А, В, С и А',В', С' лежат в разных плоскостях а, а'. Докажем первое утверждение теоремы. Пусть прямые АА', ВВ' пересекаются в точке О. Тогда они лежат в одной плоскости и в той же плоскости лежат прямые АВ, А'В'. Следовательно, они пересекаются. Но эти прямые лежат в плоскостях а, а', а поэтому их точка пересечения лежит на прямой, по которой эти плоскости пересекаются (рис. 8!).
нс с пРОективное пеостгхнство заз Тот же вывод верен для прямых АС, А С' и ВС, В'С'. Первая часть теоремы доказана. Пусть прямые АВ и А'В' пересекаются. Следовательно, они лежат в одной плоскости, а потому прямые ЛА', ВВ' лежат в той же плоскости н, стало быть, пересекаются в некоторой точке О. Совершенно так же убедимся, что прямые АА', СС' тоже пересекаются в одной точке Оь а прямые ВВ', СС' — в какой-то точке Оь Тогда прямая АА' проходит через точки О, Оь ВВ' — через О, Ом СС' — через О,, Оэ. Поэтому если бы точки О, О,, Оэ не лежали на одной прямой, то они определялн бы плоскость и вместе с ними все точки А, ..., С' лежали в одной плоскости вопреки условию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
