1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 66
Текст из файла (страница 66)
У одной и той же элементарной кривой может быть много различных параметризаций. Кривую, снабженную параметризацией, будем называть параметризованной кривой (рис. 2). Фиксируем систему координат. Пусть точка Р = = Р(г) имеет координаты х, у, е. При изменении параметра ( они тоже будут меняться — каждая 396 ЧАСТЬ 4.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ координата является некоторой функцией от Е х=), (Г), У = 1г (~) 2 =13(!) где [ь )г, )г — непрерывные числовыс функции, заданные на отрезке [а, Ь] (рис. 3). и г, гг ь Рис. 2 Функции (ь Гг, 14 полностью описывают парамстризацию Р и называются ее координатными функ44и«ми. СоотношениЯ х = Гь У = [г, е = )г называются уравнениями параметризованной кривой С. Рис. 3 Рис. 4 Если ): [а, Ь[- (4 — непрерывная функция, то ее график является плоской элементарной кривой, допускающей параметризацию х = Г, у = ((~). Как множество кривая С задается уравнением у = [(х). Такое задание кривой называется «иным (рнс. 4). Пространственная кривая допускает явное задание, если она обладает параметризацисй вида х= 1, у = ((1), е = в(1).
Такая кривая как множество может быть задана системой уравнений у = )(х), г = й'(х). Не все кривыс допускают явное задание. Пример. Любая дуга окружности, большая 180', не допускает явного задания. 1. 1. ВлементАРпые КРивые Для нас основной интерес будут представлять кривыс, обладающие параметризацией с некоторыми дополнительными свойствами. Пусть г": [а, Ь[- )тз— параметризация кривой С, а )1, [ь )з — ее координатные функции. Параметризация Р называетси регул чрной, если, во-первых, функции [ь [з, [з гладкие ~т.
е. достаточное число раз непрерывно дифференцируемые) и, во-вторых, при каждом значении параметра 1 ~ [а, Ь[ производная по крайней мере одной Ряс. 5 нз зтих функций не обращается в нуль. (Последнее усл вне;лобио записать в виде: ([',(~))з+ ()',(1))'+ —, '11:з'з ~ б ) Кривая, обладающая регулярной параметрнзацией, называется гладкой (ср.
рис. 5). При необходимости мы будем без дополнительных оговорок требовать ловыизенной гладкости, т. е. существования у функций )1, )з, непрерывных производ- -с е.с ныт до .-го порядка Вллю ительно при некотороч и ) 2. Из теоремы о неявной ~; у " .г ' ° с функции следует, что в окрестности каждой своей у точки гладкая кривая до- Рес. В пускает явное задание. Другими словами, всякая достаточно малая дуга гладкой кривой является графиком некоторого гладкого отображения (в подходящей системе координат).
Пример. Рассмотрим отображение [а, Ь[ - зхз, заданное формулой: [(х) =(созх, 51пх). Его графиком в зсз будет отрезок винтовой линии, Он лежит на цилиндре радиуса ! с осью Ох (рис. 6). 398 ЧАСТЬ 4. ДИФФЕРЕ!ЩИЛЛЬНЛЯ ГЕОМЕТРИЯ Рассмотрим произвольное биективное непрерывное, а значит, и монотонное отображение <Р некоторого отрезка (с, Г() в отрезок [а, Ь) ! т Г=- <р(т). Если Р: (и, Ь)- Кз — параметризацня кривой С, то сквозное отображение 0: !с,4- й', опредсляемое «Ъ уо тв С Ла(Р Рис. 7 по формуле б(т) = г(!Р(т)), также будет параметризацней кривой С. Говорят, что она получается из параметризации р при помощи замены параметра 1 = !й(т), Если Ч!(а) = с и !Р(Ь) = Г(, то !р есть моно- тонно возрастающая функция, а если !Р(а)= = й, !р(Ь)= с, то !р — монотонно убывающая функция (рис.
7). Каждая параметризация определяет некоторый порядок точек на кривой. Если две параРис. 8 метризации связаны воз- растающей заменой параметра, то они определяют один и тот же порядок, а если они связаны убывающей заменой параметра— то разный. Чтобы фиксировать порядок точек на кривой, достаточно указать начальную и конечную точки кривой (обе они являются концами кривой).
Элементарную кривую, у которой фиксированы начальная и конечная точки, назовем ориентированной. ! Э ВЕКТОР-ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 399 Всякая дуга ориентированной кривой сама ориентирована. В дальнейшем мы будем под кривой обычно подразумевать элементарную ориентированную кривую. Ориентацию удобно указывать стрелкой (рис.8). Замечание. Для того чтобы параметризация 0(т). полученная из регулярной параметризации г'(1) при гомощн замены ~ = Гр(т), также была регулярной, необходимо н достаточно, чтобы замена была неосоОой, т. е.
чтобы функция у(т) была непрерывно дифференцируемой, а ее производная ~р'(т) нигде не обращалась в нуль (она будет всюду положительной нли всюду отрицательной). (Докажите это!) Ряс. 9 ЛО спх пор мы рассматривали кривую как множество точек яли фигуру на плоскости или в пространстве. Прп параметризации кривой параметр играет роль координаты в этом множестве. (Координатной функцией служит функция, обратная параметризации.) Возможен и другой, очень плодотворный взгляд на кривую, как на траекторию движущейся материальной точки — птицы, рыбы, самолета и т. и.
(рнс. 9). (Например, летящий по инерции камень описывает параболу.) Здесь роль параметра играет время, прошедшее, например, от начала движения. Этот подход позволяет использовать в геометрии такие понятия из механики, как скорость, ускорение, путь н т. п. аоо чАсть 4. днеФегенцихльссхя геометеня $2. Вектор-функции одного переменного Рассмотренные нами в $ 1 способы задания кривых связаны с координатами и используют числовые функции.
Часто удобен бескоординатный способ задания, когда для параметризации кривой нсполь. зуются вектор-функции. Здесь мы коротко изложим связанные с ними понятия и формулировки. Почти все доказательства опускаются. Пусть каждому числу 1е= [а, Ь] по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор и(1) трехмерного евклидова пространства. Тогда будем говорить, что на отрезке [а, Ь] опредслена вектор-функс(ия и(1).
Таким образом, вектор-функция — это функция со значениями в множестве (свободных) векторов трехмерного евклидова пространства. Часто для наглядности векторы — значения вектор. функции— представляют направленными отрезками (рис. 10).
н(ге) ъ(ес) м(ез1 Ряс !1 Ряс 1О Если, например, отложить все векторы в(с) из одной и той же точки Π— начала отсчета, то их концы образуют некоторое множество точек, которое называется годографом вектор-функции и(1). Таким образом, годограф — это множество точек, радиус-векторы которых являются значениями вектор-функции (рис. 11).
Пусть на промежутке [а, Ь] задана вектор-функция и(Ь). Говорят, что вектор а есть предел этой вектор-функцни в точке 1, е- =[а, Ь], если 1пп 1 и (!) — а [ = О. с-+с~ В таком случае используют запись: а =11пз тс (С). с-+с, Вектор-функция п(с) называешься непрерьсвной а точке Г. 2. ВЕКТОР ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 401 В (1,) = 1ггп в (!). Есл и вектор-фун кци я о ( !) непрерывна во всех точ к а х промежутка [ а,'Ь [, то говорят, что он а непрерывна на [а, Ь[. Для вектор-функций определены те же алгебраи- ческие операции, что и для обычных векторов: это сложение, вычитание, умножение на числовую функ- цию, скалярное, векторное и смешанное произведе- ния.
Вводятся они поточечно: (о+ ) (1) = о (1) + (!), (о — ) (!) = о (1) — (!), ([ е)(1) =[(1) - в(1), (в иг) (!) = е (!) в (1), (ОХ )(!)=.(1)Хв(!), (а, о. в» (1) =(а(1), в(1), в(1)). од ог— лв год о Если вектор-ф» нкция Рое 12 диффсренцируеиа в некоторой точке, то, Очевидно, она и непрерывна в этой точке. Если вектор-функция и(1) имеет производную в каждой точке отрезка [а, Ь[, то говорят, что она дифференг(ируема на всем отрезке [а, Ь[.
Разобьем промежуток [а, Ь[ на и частей точками а=!о«1, <1,« ... 1„=Ь. Пусть 6 — максимальное из чисел !г+г — !г при = О...., п — 1. Составим интегральную сумму и — ! а„= ~, тг(тг) (1г„— 1,), г-о Говорят. что вектор-фу нкцня У (1) дифференг(ируема в г.,чке 1,: — [а, Ь[, если при 1- 1о сушествует предел отношения (о(1) — вч!о))/(! — 14). Этот предел называется производной велтор-функции в(1) в точке !о и обозначается через в'(!о» (рис.
12): о ггг — о (гм е Н 1=11гп 402 часть е диееегенцихльихя геометгия где т; я(гь бн]. Будем говорить, что вектор-функция и(г) ингегрируема, если для произвольного выбора т; существует предел интегральных сумм п„при 6-~.0. Этот предел будем называть определенным интегралом от вектор-функции и(г) и обозначать его как обычно: ь ~ и (1) с(г. а Из неравенства треугольника для векторов можно вывести полезное неравенство для вектор-Функций: (г)а «$( рНи.
й О Доказывать различные свойства вектор-функций проще всего в координатах. Фиксируем в пространстве декартову систему координат худ с началом в некоторой точке О. Если г, у, й — орты координатных осей, то и (г) = "1 (г) ( + оз (г) 1 + оз (г) й. где щ(1), о,(1), сз(1) — координаты вектора и(Г). Функции щ(Г), ох(Г) ез(Г) называются координатными функциями вектор-функции и(~) (рис. 13), + азгг)л Рис 13 Нетрудно доказать, что вектор а = а,~ + ахг'+ +азй является пределом функции о(г) в точке га тогда и только тогда, когда его координаты аь ам аз являются пределами координатных функций о~(Г), от((), оз(1). Из этого легко следует, что если ее вектое.еэнкции одного пеееменного ита ~(т)- а, и(т)-ьа, э(т)-~Ь, в(т)- с при т- (о.
то э (т) + тс (т) — Ь + с, э (т) — и (!) — Ь вЂ” с, ) (1) . э (г) — з оЬ, э(т) и(т)- Ь с, э(т) Х в(Г) — ЬХс, (и(т), э(т), и(т)) — (и, Ь, с). Кроме того, ясно, что вектор-функция э (т) непрерывна в точке те (иа всем отрезке [а, Ь]) тогда н только тогда, когда в точке ге (на отрезке [а, Ь]) непрерывны ее координатные функции. Из этого следует, что если функции [(т), и(т), э(т), в(т) непрерывны в точке те (на отрезке [а, Ь]), то вместе с ними непрерывны функции и+э, и — э, ( и, и.э, и Х э, (и, э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
