1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 70
Текст из файла (страница 70)
нацией для Ф. Говорят, что она получается нз параметризации е' при помощи замены внутренних координат и = ~р~Д,т)), в = ~ре($,ц). 42В ЧАСТЬ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Для того чтобы параметризация 6Ц,П) элементарной поверхности Ф, полученная заменой (и, о)= =у($,П) из регулярной параметрнзацни Р, была также регулярной, необходимо и достаточно, чтобы замена была неособой, т.
е. чтобы функции 4р~ и 4р, были непрерывно дифференцируемы и якобиан замены не обращался в нуль: дф~ ди дФ4 ди дв, дь дв, де (Для доказательства воспользуйтесь правилом дифферснцирования сложных функций.) Всюду ниже в этой главс мы для краткости будем пользоваться термином поверхность, имея при этом в виду только гладкие элементарные поверхности, й 2.
Вектор-функции двух переменных В предыдущем параграфе мы рассмотрели различные способы задания поверхностей. Они связаны с некоторой системой координат в пространстве и используют числовые функции двух переменных. Как и в случае кривых, часто мы будем пользоваться бсскоординатным способом задания, при котором для параметризации поверхности служит вектор-функция двух переменных. Вектор-функция двух леременнь4х определена в некоторой области (Р'с: Вт и ставит в соответствие каждой точке (х, у) ~ (р' вектор в(х, у) трехмерного пространства (рис. 43). Все, что касается пределов, непрерывности и алгебраических операций над такими вектор-функциями, дословно повторяет уже известное нам о вектор-функциях одной переменной.
Так же вводятся координатные функции оь о,, оз (рис. 44). Нсболыинс отличия касаются дифференцирования: вместо одной производной у функции двух переменных есть две частные производные. Они обозначаются путем добавления к обозначению исходной функции нижних иидсксов, соответствующих переменным, по которым производится дифференцирование: I ди в,(х, у), п„(х, у), а также п,(с, у), —, д„о и т. п. ду ' 11. 2. ВЕКТОР. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 42т Отметим, что если вместо х и у, стоящих в скобках, можно подставлять конкретные числа, то х и у, стоящие в качестве индексов, образуют единсый символ с обозначением функции. О1ХТ УС1 РСх1,У1> оГ Ъуаэ Рис. 44 Рис. 43 Частные производные координатных функций функции о(х,у) совпадают с кооодннатными функциями ее частных производных. Рис.
45 Если Е: Г- й' — параметрнзация поверхности Ф, то вектор. функция ~, определенная по формуле г(и, о) =От" (и, о), называется векторной лараметриэацией поверхности ф (рис. 45), а соотношение т =у(и, о) называется ее векторным уравнением. В силу непрерывности функции г" вектор-функция Г также непрерывна. Если поверхность Ф гладкая, а т" — ее регулярная параметризация, то функция 4 непрерывно дифференцируема в области у', причем ее частные 428 ЧАСТЬ С ДИФФЕРЕИЦИАЛЬНАЯ ГЕОА!ЕТРИЯ производные в каждой точке линейно независимы. 7„(и, о) Х 7,(и, о) ~ и. В дальнейшем мы будем пользоваться только векторными парамстризациями, причем, как и в случае кривых, не будем различать точку и ее радиус-вектор и будем использовать запись ((и, и) = Р вместо )(и, и) = = ОР.
$3. Кривые иа гладкой поверхности Пусть Ф вЂ” гладкая поверхность, заданная уравнением г =т(и, о), где ): )т-+-Йз — ее регулярная параметризация. Пусть и = 4Р,(~), о = 4РЕ(~) — УРавнениЯ некотоРой паРамет- У4Р,ЫЬР, ГЛ= РД и Рис. 46 ризованной кривой С в области )т. На поверхности Ф кривой С соответствует кривая С = ~(С), которая в пространстве задается векторным уравнением Г =4Г(1), где зр(4) =)(гр~ (4), сае(!) ) (рис.
46). Теорема. Если кривая С гладкая, то и кривая С тоже будет гладкой. Доказательство. Во-первых, ясно, что если функции г(и, о), йи(1) и уе(4) и раз непрерывно дифференцируемы, то и их композиция ф(г) будет а раз непрерывно дифференцируемой. Далее, воспользусмся 3. КРИВЫЕ НА ГЛАДКОН ПОВЕРХНОСТИ 429 равенством ('(!)=1„(р,(!), р,(1)) р',(1)+~,(р,(!), Ро(1)).
р.,'(1). (2) Так как в любой точке (и, о) векторы частных произВодных )„и 1„линейно независимы, и при любом ! хотя бы одно из чисел у',(1), р,'(1) не равно нулю, то н ~('(!) - О. Следовательно, ор'(!) есть регулярная па. ио !м") ио и Рис. 47 раметризация кривой С, которая, таким Образом, является гладкой. Теорема доказана. С) Параметрические уравнения кривой С в области )7 и = р, (1), о = <оо (1) называются внутренними уравнениями кривой С на поверхности Ф. Особый интерес представляют кривые, которые являются образами отрезков в области )7, параллельных осям координат (рис.
47). Они задаются внутренними у уравнениями вида Р ь и =1, о = оо —— сопз(; Р оо и =но= соло(, о =1 о и называются координатны- х ми линиями на параметризованной поверхности Ф. Рис. 48 Мы теперь можем дать геометрическое истолкование векторов частных производных функции 1(и, о).
Из формулы (2) видно, что вектоРы 1,(ио, Оо) и 1„(ио, оо) — касательные к кооРдинатным линиям в точке Р=1(ио,оо). Поскольку поверхность Ф гладкая, а 1(и, о) — ее регулярная ПаРаметРизациЯ, то вЕктоРы 1и(ио, оо) и 1о(ио. Во) 4ЗО ЧАСТЬ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ неколлинеарны, и угол между ними ранен углу между координатными линиями в точке Р (рис.
48). В дальнейшем мы будем рассматривать только гладкие кривые на поверхности, заданные своими регулярными параметризациями. й 4. Касательная плоскость поверхности Пусть Фс:. 114 — гладкая поверхность, а Р— некоторая ес точка. Говорят, что прямая касается поверхности Ф в точке Р, если она является касательной прямой в точке Р некоторой кривой, лежащей в поверхности Ф и проходящей через точку Р (рис.
49). Рис, 49 Рис. 50 Теорема 1. Все прямые, касающиеся поверхности Ф в точке Р, лежат в одной плоскости. Доказательство. Пусть поверхность Ф задана уравнением т =1(и, о). Тогда, как видно из формулы (2) 5 3, касательный вектор в точке Р=1(ио,во) любой кривой, проходящей через точку Р и лежащей в поверхности Ф, является линейной комбинацией векторов частных производных ~,(ио, оо) и $„(ио, по). Следовательно, каждый такой вектор, если его отложить из точки Р, будет лежать в плоскости, проходящей через эту точку и содержащей векторы г (ио, со) и 1,(ио, во) (рис. 50).
Ясно, что в этой же плоскости лежат и все рассматриваемые касательные прямые. Теорема доказана. С) Плоскость, в которой лежат все прямые, касающиеся поверхности Ф в точке Р, называется касательной плоскостью. Мы будем обозначать ее через ТРФ. Если т = 1(и, о) — уравнение поверхности, то в качестве нормального вектора к касательной плоскости П.4, КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ ПОВЕРХНОСТИ 43( в точке Р = 1(ио, по) естественно взять векторное произведение 1«(иа, оа)Х 1«(иа, по), поскольку векторы $«(ио, оо) и )„(иа, оо) заведомо в ней лежат (рис.
5)). В этом случае векторное уравнение касательной плоскости имеет вид (г — Г(иа, по). Г«(ио, по), 1. (иа. Оо)) = О. В координатах это уравнение принимает вид Х вЂ” х, Уо хо д«1~ (ио оо) д«14(ио ао) д«1з(ио. Ро) = О, д«1ь(ио, оо) д«14(ио, оо) д«Б(из, оз) где ко = (~ (иа, оа), Уа = (зз(иа, са), еа = 7з(иа, са). Единичньои вектор нормали к поверхности в точке Р о ределяется по формуле л 1М1 11«м1.1 ' Эта формула задает нормаль поверхности Ф как вектор-функцию внутренних координат и и о (рис. 52).
«и„ь (4 д Рис. 5) Р«с 52 Касательная плоскость с точностью до величин первого порядка малости приближает поверхность а данной ее точке, Более точно, пусть (,з — точка поверхности Ф, близкая к точке Р. При стремлении точки (",) к точке Р отноизение расстояния 6 от точки (,) до касательной плоскости ТРФ'к расстоянию от (',) до Р стремится к нулю; !Пп — = О. Л ,„,ЕР = ' Касательная плоскость — единственная, обладаю- и(ая этим свойством (рис. 53).
452 ЧАСТЬ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Доказывать этого мы не будем. С касательной плоскостью в точке Р связано одно очень удобное явное задание поверхности Ф в некоторой малой окрестности этой точки. Теорема 2. Пусть Ф вЂ” гладкая поверкность и Р— произвольная ее точка, Рассмотрим декартову систему координат, начало которой совпадает с точкой Р, а ось 2 направлена по нормали к поверхности (При этом оси х и у окажутся лежащими в касательной Рис.
53 Рас. 54 плоскости ТРФ.) Тогда у тачки Р найдется окрестность в поверхности, которую в координатак к, у, 2 можно задать явным уравнением 2=)(х, у), где функция /(х,у) определена и непрерывно дифференцируема в некоторой достаточно малой окрестности точки (0,0) на плоскости х, у, причем в самой точке (О, 0) имеют место соотношения (О 0) т (О 0) ГР (О 0) 0 Кроме того, если поверкность Ф допускает и раз непрерывно дифференцируемую регулярную параметризацию, то функция )(х, у) тоже и раз непрерывно дифференцируема (рис. 54). Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
