1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Обозначим через О угол между нормалью и поверхности Ф в точке Р и Р главной нормалью пг кривой С в точке Р (рис. 58). Рассмотрим естественную параметризацию ф(з) кривой С. Пусть она соответствует внутренним Ркс. 88 уравнениям и = ф1(з), 1 = ь2(з), и пусть при этом Р= ф(зо) Крив"зна " кривой С в точке Р вычисляется по формуле (см. гл.
1, ф 5) Ф 122) и сов 0 Чтобы найти 1Р" (зо), пРодиффеРенциРУем выРажение для ф'(з): чр (з) ~и 1.~с1' ~с2) ~с1+ ~с(1р1 ~2) рх' 440 ЧАСТЬ 4. ДИФФЕРЕНЦНАЛЬНА51 1ЕОМЬТРИЯ Проделав нссложныс вычисления, получим Чс" (з) = с„„(ЧИ, 'те) Чс",-'+ 21„„(Ч11, 1РТ) Чс',Чс,'+ +~„.(ЧИ, Чэ) Р +~„(ф,, ф,)ф",+1„(фи фе)ф,". При скалярном умножении на вектор л последнис два слагаемых дадут нуль, так как иервыс производ- ныс всктор-функции )с ортогональны всктору п.
Для скалярных произведений на вектор л вторых производных вектор-функции / приняты специальные обозначения: /. (сс, о) =/„„(и, о) л(и, о), М(и, о)=г„„(и, о) л(и, о), Лс (и, о) = 7„„(и, о) . и (и, о), или, короче, й = ~„„п, си = ~„„п, Лс = ~„, . л. Пользуясь этими обозначениями, можно записать /с ' СОЗФ='Р (За) ' П(Ч'С (ЗО) ЧСТ(ач)) =Ч ' П= = /. (фи ф,) ф', + 2М (фи ф,) Кф', + й/ (ф,, Ч.) ф,' где значения функций ЧР Чс,, Чси Чс,' берутся в точке з .
Болес краткая запись: /г ° созй=/. Чс', + 2М Чс',Чс,'+ й/ Чс,'. (Но нельзя забывать, что /., М и сч* — числовые функции двух псрсменных и и ос) Вернемся к исходной параметризации ср(/). ПоЧс' 11) скольку чр'(в) = —, то Чс', = —, где все значения берутся по.прежнему в за и /,. Подставляя в предыдущую формулу, получим и л Е. сгс + 2М Чсясх + Л~ ' фх ЕЕ Е Фс + 2Г.
Ф1Фс+ 6 Чсх Функции /., М, сч' называются коаффициентими второй квадратичной формы, а сама вторая форма определяется по формуле 11(ср',, ср,') = 1, ср', + 2М ср',ср,'+ йс ср,". н б нривизнА нА поверхности 44! Часто удобно считать вторую квадратичную форму функцией, определенной на множестве касательных векторов илн просто на касательной плоскости Т„Ф.
Теперь полученное выражение для кривизны кривой С в точке Р принимает вид П (Фп Фс) ~(,р'и р',) - Е ' Нормальная кривизна поверхности. Особый инте. рос представляют кривые, для которых сов О = ~1, т. е. те кривые, чья соприкасающаяся плоскость я точке Р перпендикулярна касательной плоскости ТгФ. Пусть 1 — касательная прямая кривой С в точке Р. Рассмотрим плоскость, проходящую через ( и нормаль к Ф в точке Р. Ее пересечение с достаточно малой окре- С стностью точки Р на по- а верхностп Ф дает нам не- особую кривую Сь — нормальное сечение поверхности Ф в направлении Рнь 59 касательной й Если Оь— угол между главной нормалью ть к Сс и нормалью и к поверхности в точке Р, то соз О, = ~ Е Пусть йь — кривизна этой кривой в точке Р.
Тогда число ПД называется нормальной кривизной поверхности Ф в направлении касательной ( (рис. 59). Теорема 1 (Меньс). Кривизна й кривой С на поверхности зависит только от угла О и нормальной кривизны й„ в направлении касательной этой кривой. Она может быть вычислена по формуле ьа й=— с.Е Доказательство. Пусть кривая Сь параметризована вектор-функцией р(т), причем Р = р(ть) а соответствующие внутренние уравнения имеют вид 442 ЧАСТЬ 4 ДИФФЕРЕНЦССЛЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ и = рс(т), о =рр(т).
Так как в точке Р у кривых С и Ср общая касательная, то ср'(1р) = ар'(тр) для некоторого а ФО. Следовательно,срс, (1,) =ар',(т,), ср,'(1 )= =ар,'(т ). Тогда в точке Р имеем окончательно йсозО— !! (Чс, сГ,) 11(ирс, ир,) и 11(р, р ) 1 (Чс сгр) ! (ирс ирр) и 1 (Рс Рс) !!(Рс Р') О„= й„. '(Р Рр) Что и требовалось доказать. П Нормальную кривизну й„ поверхности Ф в направлении касательной 1 будем также называть нормальной кривизной кривой С в точке Р и обозначать так же: й„.
Если две кривые на поверхности Ф, проходящие через точку Р, имеют в ней общую касательную, то, очевидно, их нормальные кривизны в дтой точке совпадают. Если й — вектор кривизны кривой С в точке Р, то его скалярное произведение на вектор нормали и равно нормальной кривизне кривой С в точке Р: й п=~й( ° О= =/с созО=-й„. Проиллюст ируем понятие нормальной кривизны. Теорема 2. Если две кривые на поверхности Ф Рис. 60 проходят через точку Р и имеют в ней общую соприкасающуюся плоскость, не совпадающую с касательной плоскостью ТЕФ, то их кривизны в этой точке ра вньс. Д о к а з а т с л ь с т в о.
Пусть две кривые Сс и Ст проходят через точку Р. Очевидно, что прямая, по которой пересекается с касательной плоскостью ТЕФ их общая соприкасающаяся плоскость, является общей касательной этих кривых, Следовательно, их нормальные кривизны в точке Р совпадают: й„(С,) = й„(С,). 11 7. СОПРИКАСАЮЩИНСЯ ПАРАБОЛОИД 443 Если 0 — угол между соприкасающейся плоскостью этих кривых и нормалью к поверхности в точке Р, то, по теореме Менье, ( ~л (сд) ( ( ал (сд ( й (С ) сов в сов 8 где й(С1), я(Сэ) — кривизны кривых С, и Сэ в точке Р. Теорема 2 доказана. (з Следствие.
Кривизна кривой, лежащей на поверхности, в каждой точке равна кривизне сечения поверхности соприкасающейся плоскостью кривой в этой же точке (рис. 60), И й 7. Соприкасающийся параболоид Здесь мы займемся локальным описанием поверхности с точностью до бесконечно малых второго порядка. Пусть Р— произвольная точка гладкой поверхности Ф. Для изучения нормальных кривизн в точке Р перейдем к явному заданию поверхности Ф. Рассмотрим декартову систему координат хуг, начало которой совпадает с точкой Р, а ось г направлена по нормали к касательной плоскости Т,Ф Тогда, как показано в $ 4, некоторая достаточно малая окрестность точки Р на поверхности Ф обладает яв- > ным заданием г=)(х, у), где функция ((х,у) опрсдсле- Ряс 61 на и непрерывно диффсренцируема в некоторой окрестности точки (0,0) на плоскости ху (рнс.
6!), причем ) (О, О) = 7„ (О, О) = )„ (О, О) = О. Оказывается, что за счет поворота осей х н у можно еще более упростить ситуацию и добиться того, чтобы в новых координатах х и у в точке (0,0) обращались бы в нуль не только функция ) и ее первые частные производные, но и смешанная частная производная: 7„ (О, О) = О.
444 ЧАСТЬ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРНЯ Вместо того чтобы доказывать это непосредственно, мы воспользуемся известными результатами о поверхностях второго порядка. Рассмотрим функцию 1(х, у), определенную по формуле ) (х, у) = — () „, (О, 0) хз + 2)„„(0, О) ху + )хд (О, 0) уа). Это многочлен второй степени, причем все частные производныс первого и второго порядка у 1 и у 1 в начале координат равны. Нетрудно убедиться, что это выполняется и в любой г другой системе координат (с тем же началом). Функция ) допускает важное геометрическое ис- 1 толкование: число 1(хм ус) равняется половине произведенияя нормальной кривизны поверхности Ф ~Р в точке Р(0, О, 0) в ная 4Ф з правлении прямой хуя— — ухо = 0 на квадрат раем стОЯниЯ тОчки (хе, Уя) От точки Р. Это можно увидеть из формулы для нормальной кривизны и того, что коэффициенты первой и второй квадратичных форм в точке Р в параметризацнн (и, о,1(и, о) ) вычисляются по очевидным формулам Е=1, Р=О, 6=1; У =)„„(О, 0), М =),„(О, 0), М = ~к, (О, 0).
Поверхность Р, заданная уравнением а=1(х, у), называется соприкасающимся параболоидом поверхности Ф в точке Р. Фактически Р может представлять собой эллиптический нли гиперболический параболонд, параболический цилиндр или плоскость (рис. 62). Соприкасающийся параболоид Р обладает рядом замечательных свойств, каждое нз которых можно было бы при его определении взять за основу.
П. Х СоПГИКЛС4ЮЩНИСЯ П4ЯЛВОЛОИД 445 Во-первых, как мы уже знаем, Р является графиком половины от второй квадратичной формы 1! в точке Р, если 11 рассматривать как функцию на касательной плоскости Т,Ф. Во-вторых, в точке Р у поверхностей Р и Ф нормальные кривизны в любом направлении совпадают. Наконец, при помощи формулы Тэйлора можно показать, что соприкасающийся параболоид Е с точностью до малых второго порядка приближает поверхность Ф в точке Р, (Здесь мы условно причисляем плоскость и параболический цилиндр к параболои- Ряс. 63 Ряс, 64 Волге точно, пусть Я вЂ” точка поверхности Ф, близкая к точке Р, а Я' — такая точка параболоида Р, что прямая Я'Я перпендикулярна плоскости Т,Ф. Тогда при стремлении точки О к точке Р отношение квадрата расстояния от Я' до Я к расстоянию ог Я до Р стремится к нулю (рис.
63): !1Гп — 2 = О Соприкасаюи(иися параболоид — единственный, обладаюш,ий этим свойством, Типы точек на поверхности. Можно произвести классификацию точек поверхности в соответствии с типом соприкасающегося параболоида. Пусть по-прежнему Р— соприкасающийся параболоид поверхности Ф н точке Р. Р называется точкой эллиптического типа, если Š— эллиптический параболоид (рис. 64). Р называется точкой гиперболического типа, если Р— гиперболический параболоид (рис. 65). Р называется точкой параболического типа, если Р— параболический 446 ЧАСТЬ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ цилиидр или плоскость (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
