1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Пусть Ф вЂ” гладкая поверхность, заданная уравнением г = ~(и, о), где (и, о) е5 )'~ 2с2. Возьмем в области Р некоторую замкнутую область О, ограниченную конечным числом гладких кривых. Чтобы определить площадь ее образа — области 0 =)(О)— поступим так. Разделим область 0 на достаточно маленькие (по диаметру) замкнутыс области 0; при 454 чАсть 4. диФФеРенциАльнАя геометеия помощи кусочно гладких кривых. Соответственно и область 0 на поверхности разобьется на области 0Ь ограниченные кусочно гладкими кривыми.
В каждой области 0; выберем произвольную точку Рь В ней проведем касательную плоскость ТР,Ф и область О, спроектируем на эту плоскость. Если размеры областей 0, достаточно малы, то при этом область 0с взаимно однозначно отобразится на некоторую плоскую область О„площадь которой нам известна. Кажется правдоподобным, что площадь Ю(0~) должна «мало отличаться» от площади 5(0;), а площадь всей поверхности должна «мало отличаться» от суммы площадей всех областей Ос (рис.
76). Рис 76 Если при неограниченном уменьшении (по диаметру» областей 0; сумма площадей областей 0; будет стремиться к некоторому пределу, то этот предел называется площадью области 0: Я (О) = 11ш ~~'„Я(6~)). Теорема. Всякая замкнутая и ограниченная область 0 с кусочно гладкой границей на поверхности Ф имеет определенную площадь.
Эту площадь можно вычислить по формуле 5 (0) = ~ ~ 1/В — Р' аи во. 3 Дока за тельство. В силу аддитивности левой н правой частей доказываемого равенства достаточно ограничиться случаем, когда область 0 настолько мала, что, например, допускает явное задание е= р(х, у). !!.
!!. СФЕРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ 455 где ф — гладкая функция, заданная в области б. Тогда, как известно из анализа, площадь области У) можно найти по формуле 5 (О) = ~ ~ ')У ) + Ф~ + !РР !Ух дд. с Пусть переход от явного задания х = !р(х, д) к параметрическому г =1(и, о) осуществляется при помощи замены переменных х=е(и, о), д=Ч(и, о), Тогда, воспользовавшись формулой замены переменных под знаком двойного интеграла, мы получаем: О Я) = ~ ~ ~( + Ч!.'+ 4 Ух Уд = У !(и и'о, где У=-У(и, о) =~ йи (и.
Р) Чи (и. Р) ~ — якобиан замены. Ь(и, Р) Пи(и, и) Поскольку, очевидно, 1(и, о) =(е(и, о), ч(и, о). !р(е(и, о), ч(и, о))), то 1„(и, о) =(5„, чи, !р,е„+ !рич„), 1. (и, о) = (е., ч.. фЛ. + ч!,ч.), и, как нетрудно проверить, 1и Х1.=У ( — ф., — г,, )). Отсюда )У ЕΠ— Е' = ( 1и Х 1„( =,т(' 1 + !р~ + <р'„( У (, т.
е. наш интеграл совпадает с указанным в формулировке теоремы. П В 11. Сферическое отображение поверхности Для изучения искривленности поверхностей очень полезным оказывается некоторое их отображение в единичную сферу, которое мы сейчас опишем. Пусть Ф вЂ” гладкая поверхность, Р— произвольная ее точка. Пусть а — единичный вектор нормали 456 ЧАСТЬ Е ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ к поверхности в точке Р.
Отложим вектор и нз нича.аа координат. Тогда его конец определит некоторую точку Г(Р) единичной сферы о'с: (с'. Построен. ное отображение Г поверхности Ф в единичную сферу от называется сферическим или гауссовым отображением (рис. 77): (Стоит отметить, что при сферическом отображении касательная плоскость к поверхности в точке Р параллельна касательной плоскости к сфере в точке Г(Р).) Образы точек и множеств при сферическом отображении называются их сферическими изображениями (рнс.
78). Примеры. Е Если Ф вЂ” область на сфере 5е, то ее сферическое отображение есть тождественное, а сферическое изображение совпадает с Ф. 2. Сферическое изображение любой образующей на цилиндрической поверхности есть точка, а сферическое изображение всей поверхности есть некоторая дуга большого круга на сфере. 3. Сферическое отображение плоской области есть постоянное отображение, а ее сферическое изображение есть точка (рнс. 79).
4. Сферическое изображение эллиптического или гиперболического параболоида есть открытая полусфера (рис. 80). Из теоремы об обратной функции и теоремы Родрига нетрудно вывести, что если Р— точка эллиптического или гиперболического типа, то в достаточно малой окрестности точки Р сферическое отображение взаимно однозначно. Это означает, что в такой окрестности не найдется двух точек, нормали к поверхности в которых были бы друг другу параллельны. При помощи сферического отображения можно дать геометрическую интерпретацию гауссовой кривизны.
Теорема. Пусть У вЂ” малия окрестность точки Р на поверхности Ф, Тогда при стремлении диаметра области (7 к нулю (другими словами, при стягивании ее к точке Р) отношение площади ее сферического изображения Г(У) к площади самой окрестности У стремится к абсолютной величине гауссовой кривизны лав часть о, диеееовнцихльнхя гвометоия поверхности Ф в точке Р: И ( ( )) = ! К (Р) !.
л <с>-+о з (и) Доказательство. Мы ограничимся случаем, когда точка Р принадлежит к эллиптическому или гиперболическому типу. В этом случае отображение Г взаимно однозначно на У и имеет место равенство 5(Г(Ц) = ~ ~ ! п„(и, о) Х п„(и, е)(с(исЬ, где )р' — координатная окрестность, соответствующая окрестности (): %' = (-'(У) (где Г парамстризует Ф). С другой стороны, всегда 5 (()) = ~ ~ ! 1. (и, е) Х ), (и, о) ! ди сЬ.
По теореме о среднем значении получаем 5(Г(и))=~~! „Хп,)би и= = — ! п„(и'„о') Х п«(и', о') ! ° 5(В'), 5 (0) = $ $ ! ~„Х ~, ! о(и аЬ = = ! 7„(и", о») Х 7„(и", о") ! . 5 (Ж'), где (и', о')оп ))т, (и", о")я ))7 — некоторые точки. При стягивании области У к точке Р эти точки стремятся к (ио, оо). Поэтому 8(Г(У)) . )и„(и', о')Хп„(и', о') ! л(и)-ьо 3(У) (», «ч а»,, «в )г»(и", о») ХЬ(и", о") ! ! и» (иа, «а) Х я«(ио, оа) ! ! )» (иь оа) Х («(иа оа) ! Значение полученного выражения проще всего подсчитать, воспользовавшись теоремой Родрига.
Если внутренние координаты выбраны так, что координатные линии проходят через точку Р в главных направлениях, то и» ("о оо) = )оА (ио "о) ° п«(ио оо) = Ю~ (ио оо) и. и. внттаанняя гаоматгия поввгхности 888 где й1 н йт — главные кривизны в точке Р. Поэтому )и»(иа, »а)Хиа(ии»а)( (й й ( ((((Р)) )аа» (иа»а) Хаа» (иа. »а) ( что н требовалось доказать. Е) $ )2. Внутренняя геометрия поверхности Определение. Пусть даны две поверхности — Ф н Ф. Предположим, что задано непрерывное бнективное отображение й Ф вЂ” а-Ф одной нз ннх в другую. Такое отображение устанавливает взанмно однознач ное соответствие между точками обеих поверхностей. Прн этом соответствии каждой кривой С на поверхности Ф отвечает некоторая кривая С на поверхности Ф, и наоборот: С = ( (С), С = а ' (С). Если при этом длина каждой кривой С равна длине соответствующей кривой д, то говорят, что Ф полу- Рис.
8! Рис. 82 чается нз Ф прн помощн изгибания, а само отображение ( называется изгибанием нлн изометрией (рнс. 8!, 82). Внутренняя геометрия поверхности изучает те свойства поверхностей н фигур на ннх, которые не меняются при изгибаниях. С этой точки зрения вся планиметрня представляет собой внутреннюю геометрию 460 ЧАСТЬ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ плоскости. Это вполне согласуется с тем обычным представлен !ем, что в планимстрии нзуча!Отса свойства фигур, не меняющиеся при нзометриях плоскости, т. с. нало ксннях. Главным для нас будет следующий пример изгибания.
!!усть поверхности Ф н 44! Иараметризуются вектор-функциями )(и, о) и ~(и, о), заданными в одной и той жс области )Г, и пусть отображение ! ставит в соответствие точке Р на поверхности Ф точку Р Р Ф Рик 83 на поверхности Ф, имеющую такие жс внутренние координаты (рис. 83); 4(г(и, о)) =~(и, о). Если при этом в соответствующих точках будут совпадать коэффициенты первой квадратичной формы поверхностей Ф и Ф: Е(и, о) =— Е(и, о), Е(и, о) =.— — Р(и, о), 0(и, о) == 6(и, о), то, как это следует из формулы длины кривой на поверхности, отображение !' будет изгибанием. Обратное утверждение тоже верно.
Его доказательство мы оставляем читателю в виде упражнения. Таким образом, можно сказать, что к внутренней геометрии относятся те свойства и величины, которые могут быть охарактеризованы или вычислены в тер- Н. 1Е ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ 4Щ минах первой квадратичной формы поверхности. Помимо длин кривых, это углы между кривыми н площади фигур на поверхности. В следующем параграфе мы докажем, что к внутренней геометрии относится и такая важнейшая характеристика поверхности, как ее гауссова кривизна.
Затем мы изучим еще некоторые объекты внутренней геометрии. Замечание. Точно так же, как наложение (первого рода) плоскости является результатом перемен(ения, изометрию поверхности часто можно представить в виде результата некоторого процесса. Для более точной формулировки введем понятие нспрерывного изгибания. Пусть поверхности Ф и Ф обладают параметризациями 1(и, О) и Г(и, в), заданными в одной и той жс области У. Пусть задана гладкая вектор-функция трех переменных Р(1, и, О), определенная при ген[0,1] и (и,с)~ К Пусть для каждого )с ~ [О, 1] отображение Р(ЬЕ, и, О»: 'у'- й~ является Рис. 84 регулярной параметрнзацией некоторой гладкой поверхности Ф1„, причем Р(0, и, и) =1(и, О) и Р(1, и, О)— =— Ци, О).
(В частности, Фс = Ф, Ф1 — — Ф.) Если при этом для любого 1с ен [О,!] отображение поверхности Ф в повсрхность Ф1„заданное формулой 1(~, ) Р(1с, и, ), является изгибанием, то говорят, что Р задает непрерывное изгибание поверхности Ф в поверхность Ф. Из опрсдслсния видно, что в этом случае'отображение 1 поверхности Ф в Ф, заданное формулой ти, .)) = ( . ) = йи, О), является изгибанием (рис. 84). дав чАсть е диФФеРенциАльнгет ГеометРия 5 13. Формула для гауссовой кривизны н следствия из нее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
