1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 77

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 77)

в) Пустое множество и все пространство замкнуты. Пз утверждения б) следует по индукции, что б') Объединение любого конечного числа замкнутых множеств замкнуто. До к а з а тел ьст во. Начнем со свойства в). Оно вытекает из аксиомы в) топологической структуры: пустое множество й7 замкнуто, поскольку открыто его дополнение — все пространство Х; а все пространство Х замкнуто, поскольку открыто его дополнение — пустое множество И. ь ь ТОполОГия В мнО)кестве ч77 Перейдем к свойству б).

Пусть г", 6 с: Х вЂ” замкнутые множества. Это значит, что их дополнения Х'чР и Х',6 открыты. Чтобы доказать, что объединение гп() 6 тоже замкнуто, нужно проверить, что дополнение множества Р О 6 открыто. Но дополнение объединения двух множеств совпадает с пересечением их дополнений: Х , (Р () 6) = (Х ; Г) Г)(Х ; 6) ). Поэтому множество Х', (Р () 6) открыто как пересечение двух открытых множеств (аксиома б) топологической структуры).

Докажем, наконец, свойство а). Г!усть (Р,)„ произвольное семейство замкнутых множеств пространства. Это значит, что открыты нх дополнснин— множества Х'.Гп, а ~ /. Чтобы доказать, что пересечение ) ) Ги тоже замкнуто, нужно проверить, что а мl дополнение множества ) ) тт„открыто. Но дополне. ам/ пис пересечения нескольких множеств совпадает с объединением их дополнений: Х' П Р,= Ц (Хч,Р,). Поэтому множество Х~ () г,открыто как объедиа счт пенис нескольких открытых множеств (аксиома а) топологической структуры).

П На примере дискретного и антндискретного пространств видно, что множество может быть одновременно открытым и замкнутым, а может не быть ни замкнутым, ни открытым (как закрытая, но нс запертая дверь!). Свойства замкнутых и открытых множеств в чемто похожи, Важное различие между ними в том, что пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно открыто, а пересечение бесконечного семейства замкнутых множеств всегда замкнуто; в то жс время объединение бесконечного ') Для обозначения дополнения множества иногда нсполь.

зуется значок С (стилизованная первая буква слова соп1р)егпеп) — дополнение), Тогда запись становится симметричной: С(Р)) 6) = СР ДСО, 47В чАсть к топология семейства замкнутых кнуто, а объединение тых множеств всегда множеств не обязательно замбесконечного семейства открыоткрыто, Например, на числовой прямой К! имеем 1) =[ — 1, 1[, ! «! =( — 1, 1)! Наконец, дадим еше одно определение.

Топологи-. ческой окрестностью точки х топологического пространства Х называется всякое открытое множество Ь, содержашее эту точку х (рис. !). Часто мы будем опускать слово «топологическая» и говорить просто «окрестность». % 2. Метрика в множестве р: М Х М вЂ « 1(, (х, у) ~ — ~ р (х, у), что выполнены четыре условия; а) функция и принимает только неотрицательные значения: р(х,у) ) О для любых х, у из М; б) р(х, х) =О для любого элемента х из М, и если р(х, у) = О, то обязательно х = у; в) р(х,у)=р(у,х) для любых х, у из М; г) р(х, х) ( р(х,у)+ р(у,г) для любых х, у, из М. Множество М с фиксированной метрикой р называется метрическим пространством и обозначается (М, р) или просто М, если ясно, о какой метрике идет речь.

Элементы множества М называются точками пространства (М, р). Значение метрической функции р на паре элементов х, у называется расстоянием между точками х и у и обозначается обычно симво- Пусть М вЂ” произвольное множество. Метрикой в множестве М называется такая вешественная функция р, определенная на множестве всевозможных пар элементов множества М: е т. метРикА в мнОжестВе лом с))з((х,у)'): СВз1(х,у) = р(х,у). Это обозначение позволяет ие указывать явно метрическую функцию.

Условия а) — г) называются аксиомами метрики. Оии выражают основные свойства расстояния: а) Неотрицательность: расстояние между двумя точками всегда неотрицательно. б) Аксиома тождества: расстояние между точками равно нулю тогда и только тогда, когда точки совладают, в) Симметричность: расстояние от точки х до точки у равно 'расстоянию от точки у до точки х.

Условие г) называется неравенством треугольника, поскольку оио аналогично тому факту, что длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон. Рассмотрим примеры метрических пространств. !. Возьмем в качестве множества М ироизвольиое множество и для любых х, у из М положим р(х,у)=1, если х чьу, и р(х,у) =О, если х= у.

Такая метрика называется симллициальной. В яростраистве с симялициальиой метрикой расстояние между любыми двумя различными точками равно 1. 2. Возьмем в качестве множества М множество всех вещественных чисел )с. Определим метрику р по формуле р(х, у) =(х — у). Это стандартная метрика иа прямой. 3. Возьмем в качестве М л-мериое евклидово простраиство К", а в качестве метрики р — обычное евклидова расстояние между точками: если х = (хь хл), у =(уь ..., у,) — точки пространства В", то р (х, у) = ~/(х, — у,)'+ (х, — удт+ ...

+ (х„— у„)'. 4. Рассмотрим в качестве М н-мериое проективиое пространство, т. е. множество всех прямых в (л+!)- мерном евклидовом пространстве Кле', проходящих через начало ноордииат. При н = 2 зто проективиая плоскость, а при и =3 — обычное проективное пространство. Расстояние между двумя «точками» вЂ” прямыми А и 1, положим равным углу между 1~ и 1т. ') От оца)апсе (фр., англ.) Ср.

русское «днстапцнн». ЧАСТЬ Б. ТОПОЛОГИЯ Первые три аксиомы метрики, очевидно, выполнены, Четвертая аксиома — неравенство треугольника — выражает тот факт, что в трехгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух остальных (см. ч, 2, гл. 1П, $4, теорема 1). Евклидово и-мерное пространство, — в первую очередь, плоскость и обычное трехмерное пространство— будут для нас основными примерами метрических пространств. Теорию метрических пространств можно считать разновидностью геометрии, построенной исключительно на понятии расстояния. Всякое подмножество А метрического пространства М можно рассматривать как самостоятельное метрическое пространство. Для этого нужно определить расстояние между каждыми двумя его точками как расстояние между этими же точками в исходном пространстве М. Такая метрика называется индуцированной.

Подмножество А, наделенное индуцированной метрикой, называется метрическим подпросгрансгвом метрического пространства М. Пусть М вЂ” метрическое пространство, а — его точка, г — положительное число. Множество точек пространства М, удаленных от точки а на расстояние, не большее г, называется замкнутым шаром пространства М с центром в точке а и радиусом г и обозначается символом Р,(а) '). Множество точек, удаленных от точки а на расстояние, меньшее г, называется Открытым шаром и обозначается В,(а)т). Наконец, множество точек, расположенных на расстоянии г от точки а, называется сферой и обозначается 8,(а) ').

Таким образом, Р, (а) = (х ~ М: й з( (а, х) ( г), В, (а) = (х е= М: йз((а, х) < г), Бг(а) =(х ~ М: Й)з((а, х) = г). Единичные замкнутый шар и сферу в евклидовом пространстве Ке обозначим через Р" и В"-г. В случае когда М вЂ” обычное евклндово пространство, метрические сферы и замкнутые шары представляют собой ') От спас — диск.

т) От Ва(! (ием.), Ьан (англ.), Ьапе (фр.). т) От зрЛаге (ием.), арЬегс (аигл.), арьеге (фр.». ЕЕ МЕТРИКА В МНОЖЕСТВЕ 48! хорошо знакомые нам геометрические фцгуры— обычные сферы и шары. Открытый шар радиуса е ) О с центром в данной точке часто также называется е-окрестностью этой точки. Подмножество А метрического пространства М называют ограниченным, если Всевозможные попарные расстояния между его точками не превосходят некоторого фиксированного числа й.

Ясно, что в этом случае все множество А содержится в шаре радиуса с( с центром в произвольной точке множества А '). Наоборот, если множество А содержится в некотором шаре радиуса г с центром в некоторой точке а, то оно ограничено в силу неравенства треугольника. Действительно, пусть х, у — две точки из А. Тогда с)езт(х, у):к с))з1(х, а)+ с)ез((а, у) (2г.

Поэтому в качестве с( можно взять число 2г. Опишем теперь некоторую выделенную топологическую структуру, которая существует во всяком метрическом пространстве М. Пусть (4(М) — семейство всех множеств с/, которые вместе с каждой своей точкой х содержат некоторуго ее шаровую окрестность, т. е. (/ я Ы(М) «=: Ух ен У Лг > О: В,(х) с(/. Пустое множество тоже считается принадлежащим семейству 24(М). (Пустое множество И никаких точек не содержит, и потому, как принято считать, «все его точкив обладают любым наперед заданным свойством. В частности, они содержатся в пустом множестве вместе со всеми своими шаровыми окрестностями.) Теорема 1.

Для совокупности (4 (М) выполнены аксиомы топологической структуры, Д о к а з а т е л ь с т в о. Начнем с аксиомы а) . Пусть ((/ ), т — произвольное семейство множеств, принадлежащих совокупности 14(М). Чтобы доказать, что их объединение Ц с/, также принадлежит совокупна! ности 24(М), найдем для произвольной точки !) Разумеется, если множество А непусто. Пустое множе. ство считается ограниченным по определению. )В А.

Д. Алеееенлрое, и Ю Ненеетееа ЧАСТЬ К ТОПОЛОГИЯ а ен Ц й, некоторую ее шаровую окрестность У, соаат держащуюся в множестве Ц У, Воспользуемся тем, ааГ что а~0, для некоторого индекса а' из Г' В множестве У„вместе с точкой а содержится некоторая ее шаровая окрестность У. Тем более, У содержится в множестве Ц (Г„и, значит, окрестность У искомая. а ОС Перейдем к аксиоме б).

Пусть (/ь Уя — два множества, принадлежащие совокупности (г(М). Чтобы доказать, что их пересечение У~ Д Ут тоже принадлежит совокупности ь)(М). найдем для произвольной точки а из У~Я Ут некоторую ее шаровую окрестность, содержащуюся в множестве У~ П Уе. Пусть множество О, содержит е,-окрестность точки а, а множество Ут содержит екокрестность точки а, причем еьеа)0. Обозначим через е меньшее из чисел еь еь Тогда, очевидно, е-окрестность точки а содержится в каждом из множеств У~ н 0м а значит, и в их пересечеи,пи,. Наконен, проверим аксиому в). Все пространство М заведомо принадлежит совокупности й, поскольку с каждой своей точкой содержит все ее шаровые окрестности.

Характеристики

Список файлов книги