1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Таким образом, если (Х, Ях) и (У, П,) — топологическис пространства, а 1: Х-~ У— отображение, то 1 непрерывно, если и =-Пт= (-'(и) их. Примеры. 1 Тождественное отображение любого топологического пространства Х в себя непрерывно. Оно обозначается Иль 1дх. Х вЂ” Х, х х. 2. Постоянное отображение всегда непрерывно. Пусть Х, У вЂ” топологические пространства, уе ~ У— точка, а 1 — постоянное отображение: 1:Х вЂ” У, х у,. Тогда прообраз любого открытого множества ис:.
У совпадает с Х, если уа ен и, и пуст в противном случае. 3. Любое отображение дискретного пространства в любое топологическое пространство непрерывно, 4. Любое отображение любого топологического пространства в анткдискретнос пространство непрерывно. 5. Отображение включения в топологическое пространство Х любого его надпространства А. Оно обозначается через ьпл'.
(пль А -» Х, а а, Е 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ При Отображении включения прообраз любого множества В с: Х совпадает с пересечением этого множества и подпространства А: !пл'(В) =ВП А. Поэтому прообраз любого открытого множества в Х открыт в подпространстве А по определению индуцированиой топологии в А, Это доказывает, что отображение !пл непрерывно. Непрерывность отображения в целом можно определить и при помогци замкнутых множеств.
Теорема 1. Отображение ~: Х вЂ” !- У непрерывно в целом тогда и только тогда, когда при этом отображении прообраз любого замкнутого множества А замкнут Доказательство. Пусть отображение ~ непрерывно. Чтобы доказать, что множество )-! (А) замкнуто, проверим, что его дополнение Х' )-!(А) открыто. Действительно, оио совпадает с прообразом дополнения множества А: Х '~ )' ' (А) = ( ' (У ', А). А множество (-!(У~,А) открыто как прообраз открытого множества У' А при непрерывном отображе. нии (. В обратную сторону доказательство проводится аналогично.
П Замечание. Важно отметить, что, в отличие от прообразов, прн непрерывных в целом отображениях образы открытых (замкнутых) множеств вовсе не обязательно будут открытыми (замкнутыми). Чтобы убедиться в этом, вернитесь к примерам 3 и 4. Отметим простое, но очень важное свойство непрерывных отображений. Теорема 2. Композиция непрерывнык отображений непрерывна. Более подробно, если Х, У, Л вЂ” топологические пространства, а ): Х-ь У и а; У-~-к — непрерывныв отображения, то ик композиция й~!': Х вЂ” Х есть непрерывное отображение.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Ь сквозное отображение: й = и ~(. Для проверки его непрерывности требуется доказать„что если Ус=.Х вЂ” произ. ЧАСТЬ 5. ТОПОЛОГИЯ 490 вольное открытое множество, то его прообраз Ь-'(У) открыт в Х. В самом деле, множество й-'(0) открыто в У в силу непрерывности отображения а, а его прообраз ~-'(й — '(У)) открыт в Х в силу непрерывности отображения 1. Осталось заметить, что Ь-'(0) = = 1-'(а '(())). Следствие. Сужение непрерывного отображения непрерывно. Доказательство.
Если 1: Х- У вЂ” непрерыв. ное отображение, а А — подмножество пространства Х, то сужекие отображения 1 на А непрерывно как композиция непрерывных отображений — включения А-~Хи(: ш„. О Определение. Образ топологического пространства при непрерывном в целом отображении часто называется непрерывным образом этого пространства. Непрерывность в точке. Технически непрерывность конкретного отображения проще проверять в отдельных точках. Определение.
Отображение 1: Х- У называется непрерывным в точке хе~ Х, если для всякой окрестности 1/ образа 1(хе) этой точки существует окрестность У самой точки хо. образ которой содержится в выбранной окрестности У, )(и) = у. В случае, когда Х и У в метрические пространства, в качестве У и У достаточно рассматривать шаровые окрестности; поэтому в этом случае наше определение непрерывности в точке равносильно классическому определению из математического анализа; Отображение 1: Х- У непрерывно в точке хаенХ, если для любого положительного числа е существует такое положительное число б, что образ любой точки х ~ Х, удаленной от хе менее, чем на б, удален от образа точки хо менее, чем на е: б 151 (х, х,) < Ь =~- б(51 (Г' (х), 1 (хе)) < е.
Вернемся к топологическим пространствам. 491 1. О. ГОМЕОМОНОИЗМЫ Теорема 3. Отображение (: Х- У непрерывно в целом тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке пространства Х. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть отображение ( непрерывно в целом, а хо оп Х вЂ” произвольная точка. Проверим определение непрерывности в точке. Для произвольной окрестности У точки Цхо) в качестве искомой окрестности 0 можно взять множество ) '(У): оно содержит точку хо и открыто в силу непрерывности в целом отображения (. Наконец, включение )(У)с: У очевидно.
Докажем обратное утверждение. Пусть отображение ( непрерывно в каждой точке. Нам нужно проверить, что прообраз произвольного открытого множества Рс: У открыт в Х. Для этого заметим, что каждая точка хо множества 1 '(У) внутренняя, т. е. лежит в нем вместе с некоторой своей окрестностью К Наличие такой окрестности следует из непрерывности отображения 1 в точке хо и того, что У является окрестностью точки хо.
П Всюду в дальнейшем мы будем называть непрерывные в целом отображения просто непрерывными. $6. Гомеоморфизмы Определение. Отображение одного топологического пространства в другое называется гомгоморфиэмом, если оно непрерывно, обратимо и обратное к нему отображение тоже непрерывно '). Таким образом, если Х и У вЂ” топологнческие пространства, то непрерывное отображение 1: Х- У является гомеоморфизмом, если 1 обратимо (т. е. 1— биекция) и отображение (-': У-»Х также непрерывно. Из непрерывности и обратимости отображения еще не следует непрерывность обратимого отображения. Контрпримеры.
Е Пусть Х = (а, Ь) и У = (с, д)— двухточечные топологические пространства. Еслн пространство Х дискретно, а пространство У амтидисе кретно, то отображенме (: Х-» У, а ь-» с, Ь»-» с(, ') Иногда, особенно в старых кингах, используется терман етопологнчесное отображение». ЧАСТЬ 5.
ТОПОЛОГИЯ 492 очевидно, является непрерывным и обратимым. В то же время обратное отображение не будет непрерывным. 2. Рассмотрим хорошо знакомое нам отображение 10, 2п) — Я' с: )сь полуоткрытого интервала в единичную окружность, заданное формулой /(1) = = (сов 1, з1п 1). Оно непрерывно и биективно. Но обратное отображение терпит разрыв в точке (1, 0)а=Я'. Примеры гомеоморфизмов. !. Биективное отображение дискретного пространства в дискретное всегда является гомеоморфизмом. Это очевидно. 2. Точно так же биективное отображение антидискретного пространства в антидискретное всегда является гомеоморфизмом.
3. Менее тривиальный пример гомеоморфизма: Обратное отображение здесь — агс1д: )4 — ( —, — 1. 2' 2/' Сужение этого гомеоморфизма на интервал 10, — 1 2т дает нам гомеоморфизм )О, — )-ь[0, + СО), а сужение его на интервал (О, л/2) дает нам гомеоморфизм (о,ф) (о, + ).
Свойства. Перечислим простейшие, но очень важные свойства гомеоморфизмов. Теорема 1. а) Тождественное отображение любого топологического пространства в себя есть гомеоморфизм. б) Отображение, обратное гомеоморфизму, есть гомеоморфизм. в) Композиция двух гомеоморфизмов есть гомеоморфизм. Дока за тельство. Пункты а) и б) очевидны.
Докажем пункт в). Пусть /: Х- У и д: У- Š— гомеоморфизмы. Тогда их композиция /г = д ° /: Х вЂ” ~-Х непрерывна, так как отображения / и д' непрерывны; отображение и — биекция, так как / и д — биекции; наконец, обратное отображение 6-' = /-' ° ГГ-': У- Х непрерывно, так как /-' и д-' непрерывны. П 493 ь к гомеомоеьнзмы Вот еще некоторые свойства гомеоморфизмов. 11ри гомеоморфизме образ любого открытого мноскества открыт, а образ замкнутого множества замкнут.
Действительно, пусть 1: Х- У вЂ” гомеоморфизм, у = )-'. У вЂ” Х вЂ” обратное отображение и (1 ~ Х— открытое множество. Тогда множество 1'(Щ = у — '((1) открыто в силу непрерывности отображения а (рис. 4). Рхс. 4 Замкнутость образа замкнутого множества проверяется аналогично. Д Тем самым гомеоморфизм 1. Х-~ )' опрсделчет взаимно однозничное соответствие между топологическими структурами пространств Х и У. Пользуясь этим, нетрудно показать, что если А ~ Х вЂ” произвольное множество, то 1(с! Л) = с! (1(А)), 1(!п! Л) = )п! (! (А)), 7 (!г А) = (г (1(А)), а если А есть окрестность точки хс ~Х, то 1(А) есть окрестность точки ((хв) е= У, и т. д. Таким образом, с топологической точки зрения гомеоморфные пространства устроены совершенно одинаконо — гомеоморфизм Х- У отождествляет все явления в пространствах Х и У, определяемые в терминах топологической структуры. Здесь мы подошли к одному нз важнейших определений курса.
Определение. Говорят, что пространство Х гомеоморфно пространству У, если существует гомеоморфизм 1: Х- У. Гомеоморфность мы будем обозначать ЧАСТЬ К ТОПОЛОГИЯ 494 значком м или, подробнее, ж~: Хму, Предыдущая теорема 1 позволяет доказать, что: Теорема 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
