1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Среди таких требоваиий одно из важнейших — аксиома Хаусдорфа (ииогда ее даже включают и число аксиом топологической структуры). Определение. Топологическое пространство иазывается хаусдорфовым, если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями. Таким образом, если Х вЂ” хаусдорфово топологическое простраиство, то для любых двух точек а, Ь ~ Х, а Ф Ь, найдутся такие множества К )г ~ Ох, что а еп Ьг, Ь е )г, и У П Р = Я (рис.
15). (Окрестности У и )г отделяют точки а и Ь друг от друга. Поэтому аксиому Хаусдорфа относят к числу аксиом отде- що ЧАСТЬ К ТОПОЛОГИЯ лимости: другое ее название — вторая аксиома отделимости или аксиома Тв) Примеры. !. Антидискретное пространство, в котором больше одной точки, не хаусдорфово, 2. Дискретное пространство хаусдорфово.
3. Всякое метрическое пространство М хаусдорфово. Если а, Ь ~ М вЂ” две его точки, то в качестве отделяющих окрестностей можно взять шаровые окрестности радиусом о а а ° — дЫ (а, Ь). ! з Первые следствия из аксиомы Хаусдорфа. Из хаусдорфовости следуют некоторые очень естественные Рне !5 свойства топологического пространства. Теорема 1 (замкнутость точек). В хаусдорфовом топологическом пространстве Х одноточечные подмножества замкнуты. Доказательство. Пусть хч АХ. Чтобы доказать, что множество (ха) замкнуто, достаточно проверить, что его дополнение Х" (ха) открыто. Действительно, любая точка у ен Х",(ха) обладает окрестностью т', не содержащей точки ха (в силу хаусдорфовости пространства Х), н, следовательно, является внутренней для множества Х'~(ха).
П Следствие. В хаусдорфовом пространстве конечные множества замкнуты. Доказательство. Очевидно. П Пределы последовательностей. Другое важное следствие хаусдорфовости касается сходящихся последовательностей. Определение. Пусть в топологическом пространстве Х дана последовательность точек а!, а,, ... ..., а„, ... Точка а называется (топологическим) пределом последовательности (а„), если для любой окрестности У точки а найдется такой номер К, что если л > К, то а„ е У.
В таком случае говорят, что последовательность (а„) сходится к точке а. Примеры. Е В антидискретном пространстве любая последовательность сходится к любой точке. п.з. ххтсдотьовость 2. Чтобы последовательность (а„) в дискретном пространстве сходилась к точке а, нужно чтобы все ее члены, начиная с некоторого, совпадали с точкой а. Как обычно, дискретное и антидискретиое пространства демонстрируют две крайности. Вообще же, во многих случаях при помощи пределов можно описать большинство топологических явлений, таких, как открытость и замкнутость множеств, непрерывность отображений и др.
Мы не будем этим заниматься, а ограничимся доказательством следующей теоремы. Теорема 2 (едннственность предела). В хаусдорфовом пространстве Х последовательность (а„) имеет не более одного предела. Доказательство. Предположим противное. Пусть а и Ь вЂ” пределы последовательности (а.), а У и У вЂ” их непересекающиеся окрестности.
Тогда, начиная с некоторого достаточно большого номера М, все члены последовательности (а ) будут лежать в сГ и в У, что, очевидно, невозможно. О Наследственные топологическне свойства. Нетрудно показать, что хаусдорфовость «передается по наследству» от пространства ко всем его надпространства м. Теорема 3. Подпросгранство А хаусдорфова а ь пространства Х само является хаусдорфовым.
л' Доказательство. Если а, Ь еи А — две различные точки, а У, У ~ ~ Х вЂ” их непересекающиеся окрестности в пространстве Х, то множества У () А и У() А будут непересекающимися окрестностями этих же точек в подпространстве А (рис. !6). О Топологические свойства, которые передаются таким образом от пространства кето подпространствам, называются наследственными. Пример. Конечность, счетность и метризуемость— наследственные свойства, в отличие, например, от связности и линейной связности. ЧАСТЬ К ТОПОЛОГИЯ 5!2 $4. Компактность Определение. Топологичсское пространство называется компактным, если всякое покрытие этого пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытне.
Покрытия открытыми множествами будем в дальнейшем называть открыгымп. Пусть Х вЂ” топологическое пространство, а ((/'„), / — некоторое его открытое покрытие: У, ея О„, Ц !/„=Х. Тогда наше определение означает, аеl что если пространство Х компактно, то среди множеств (/„найдутся несколько множеств: (/'„, У,,, ... ..., 0„А (для некоторого я ~ й!), уже покрывающих его: Х= Ц (/',/ Множества (/',и ..., с/,, и образуют /-/ конечное подпокрытие открытого покрытия ((/',) Очевидно, для того чтобы пространство не было компактным, у него должно существовать открытое покрытие (заведомо бесконечное), никакая конечная часть которого не является покрытием. Примеры.
!. Всякое антидискретное пространство компактно. 2. Всякое конечное топологическое пространство компактно. 3. Вообще, всякое пространство, в котором конечное число открытых множеств, компактно. 4. Дискретное пространство с бесконечным числом точек не компактно. Пример открытого покрытия, не обладающего конечным подпокрытием, дается покрытием одноточечными множествами. 5. Числовая прямая Й не компактна. Конечным подпокрытием не обладает покрытие всевозможными открытыми промежутками вида (а,6), а, (/ ~ Р Другой пример — покрытие лучами вида (а, + со), где а е= и. С другой стороны, покрытие всеми открытыми лучами (а, + ОО), (- —, а) заведомо содержит конечное подпокрытие: ( — ОО,!)()(О, + оо)= й.
Определение. Множество А в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно компактно в индуцированной топологии, как подпро- Н. А КОМПАКТНОСТЬ странство, т. е. если топологическое пространство (А, Ял) компактно. Теорема 1. Подмножество А топологического про- странства Х компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в Х. можно выбрать конечное подпокрытие, Доказательство. Начнем с необходимости этого условия. Пусть множество А компактно, а ела) .
— Произвольное его покрытие открытыми в пространстве Х множествами: А~ Ц Уа, У ~ ввх. аа! Выделим в покрытии (У ) конечное подпокрытие. Для этого рассмотрим пересечения множеств Оа с множеством А: положим У = ~/„ПА, Множества У„открыты в подпространстве А и, очевидно, обра- зуют его покрытие: Л =АД Ц У = !) У . В силу ае Г аа! компактности множества А, из покрытия (У,) можно выделить некоторое конечное подпокрытие У,е ..., У, . Но тогда множества Уа,, ..., К,ь, оче- видно, образуют искомое подпокрытпе исходного по- А А крытия множества А: Л= Ц У,, с Ц У,! ! ! ' ! ! Достаточность доказывается аналогично.
П Компактность и замкнутость. Рассмотрим некото- рые свойства компактных множеств и пространств. Теорема 2. Замкнутое подмножество Л компакт- ного пространства Х компактно. Доказательство. В силу теоремы ! доста- точно из произвольного покрытия (О,),, множества А открытыми в Х множествами выбрать конечное подпокрытие. Для этого добавим к этим множествам открытое множество Х",А и получим открытое по- крытие всего пространства Х. В силу компактности пространства Х, из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причем мы всегда можем счи- тать, что в это подпокрытие входит множество Х',А. Пусть, ийпримср, Очевидно, что множества П,, ..., П образуют ис!' комов конечное подпокрытне множества А. П !7 А. Д. Алекееклрев, Н. Ю.
Нецвеееев чхсть з. топология Однако из компактности множества его замкнутость, вообще говоря, не следует (достаточно вспомнить об антидискретном пространстве, где компактны все множества, а замкнутых — только два). Чтобы это выполнялось, достаточно потребовать хаусдорфовости пространства. Теорема 3. Компактное подмножество А хаусдорфова пространства Х зимкнуто. Дока за тел ь ство. Докажем, что Х';А открыто.
Для этого достаточно найти для произвольной точки хе из дополнения к множеству А окрестность„ которая не пересекалась бы с множеством А. В силу хаусдорфовости пространства Х у каждой точки хвиА найдется окрестность У, не пересекающаяся с некоторой окрестностью рк точки хв (рис. 17).
Всевозможные окрестности У„, очевидно, образуют открытое покрыРкс. 17 тие множества А: А с: Ц У„. кмА В силу компактности множества А у этого покрытия найдется некоторое конечное подпокрытие: А— ~ Ц, () ...() У, для каких-то точек х„ ..., хн еи А. Теперь в качестве искомой окрестности точки хв можно взять открытое множество ук, П... П )ткк; оно не пересекается не только с множеством А, но даже с ббльшим множеством У, ()... () У„. (Действительно, пусть х ен П )к,, — произвольная точка. Так ю-~ как она принадлежит каждому из множеств ..., )',„, то она не принадлежит нн одному из множеств Ук, ..., (7к . Значит, она не принадлежит и н их объединению.) ГЛ Следствие. Компактное множество в метрическом пространстве замкнуто.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно воспользоваться предыдущей теоремой и тем, что всякое метрическое пространство хаусдорфово. Ь Компактные множества в метрических пространствах, кроме замкнутости, обладают многими другими специфическими свойствами. и. «КОМПАКТНОСТЬ 616 Теорема 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
