1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Отношение гомеоморфности является отношением эквивалентности. Для этого надо проверить три свойства, входящие в определение отношения эквивалентности. а) Р е ф л е к с и в н о с т ь. Всякое топологическое пространство гомеоморфиа самому себе: Хж Х. б) С и м м е т р и ч н о с т ь. Если пространство Х гомеоморфно пространству У, то и пространство У, в свою очередь, гомеоморфно пространству Х: Х = У =«У ак Х.
в) Тра из и т и в ность. Если пространство Х гомеоморфно пространству У, а пространство У гомеоморфно пространству Х, то пространство Х гомеоморфно пространству Х: Хыу, УыХ =ь ХжХ Д о к а з а т е л ь с т во. Достаточно указать соответствующие гомеоморфизмы. В случае а) это тождественное отображение 1бх. В случае б) это )-'. У- — «Х, где ): Х-«У — исходный гомеоморфизм. Наконец, в случае в) это а ° ): Х«Х, где ): Х- У и йч У- Х вЂ” исходные гомеоморфизмы. При помощи символики это записывается так: а) ХжыХ; б) Хигу=~уы,Х; в) Хы!У, Уеи 7 ~ Хы~.!Х. П Топологический тнп. Таким образом, все топологические пространства разбиваются на классы эквивалентности относительна отношения гомеоморфности.
Зги классы называются топологическими типами. Топологические пространства имеют один и тот же топологический тип в том и только в том случае, если оии гомеоморфны. ь к гомеомоРФизмы Важной (особенно в методологическом отношении) является проблема гомеоморфизма. Она заключается в том, чтобы определить, гомеоморфны ли два данных топологических пространства.
Такая постановка вопроса приобретает смысл, если речь идет о пространствах из какого-нибудь обозримого класса топологических пространств. Идеальное се решение заключается в том, чтобы перечислить все топологические типы, встречающиеся в этом классе, и указать способ, позволяющий отнести каждое пространство к своему типу. Первое составляет содержание классификации, второе — алгоритмической классификиции пространств данного класса.
Топологические свойства. В случае двух пространств положительный ответ на вопрос об их гомеоморфности часто дать проще, чем отрицательный: в простых случаях обычно можно указать конкретный гомеоморфизм одного пространства в другое. Доказать негомеоморфность двух пространств сложнее: для этого надо доказать, что искомого гомсоморфизма пе существует, На помощь приходят топологические свойства. Так называются свойства топологических пространств, которыми гомеоморфиые пространства обладают или не обладают одновременно.
Примеры топологнческих свойств: конечность и счетность топологического пространства н топологии, метризуемость, дискретность и антидискретность. Вообще, топологическим будет любое свойство, которое можно сформулировать исключительно в терминах топологической структуры: открытых и замкнутых множеств. Топология как раздел геометрии.
В Х!Х веке, когда предмет топологии ограничивался множествами в евклидовом пространстве, Ф. Клейн определил топологию как часть геометрии, изучающую свойства фигур, сохраняющиеся при гомеоморфизмах. Это ставило ее в один ряд с другими разделами геометрии, такими как евклидова, гиперболическая, круговая, проективная, аффиниая и сферическая. Их задача, по Клейну, состояла в изучении тех свойств фигур, которые сохраняются соответственно при движениях евклидова и неевклидова пространства и круговых, проективных, аффинных и сферических преобразованиях.
часть а топология Глава Н ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОИСТВА 496 5 !. Связность Определение. Топологическое пространство называется связным, если его нельзя разбить на два не- пустых открытых множества. В противном случае оно называется несвязным. Таким образом, пространство Х несвязно, если в нем найдутся два непустых открытых множества у и )г, которые не пересекаются, а в объединении дают все пространство Х * ....' '' . ° . (рис. 5): П, )> ~ О», У П У = !с!, в П0 у =Х. '! Срл саязнос нзло>ксннс чего-лабо, связный рассказ.
Не путать со словом «саязанный»! Можно сказать, что связное пространство «состоит Рнс. 5 нз одного цельного куска» '). Поскольку, очевидно, разбиение на два непустых открытых множества одновременно является разбиением на два непустых замкнутых множества, то связность можно переформулировать в терминах замкнутых множеств: Пространство связно тогда и только тогда, когда его нельзя разбить на два непустых замкнуть>х множества. Так как дополнение к множеству непусто тогда и только тогда, когда само множество не совпадает со всем пространством, а дополнение к открытому множеству замкнуто, то мы получаем еще одно полезное определение связности: Пространство Х связно в том и только в том случае, когда в нем имеется только два открыто-замкнутых множества; все пространство Х н пустое мио>кество Я.
Примеры. !. Любое антидискретное пространство св яз но. н. 1. связность 497 2. Дискретное пространство, в котором больше одной точки, несвязно. 3. Вещественная прямая К связна (см, ниже следствие нз теоремы 2). Определение. Подмножество А топологического пространства Х называется связным, если оно связно в нндуцированной топологии как подпространство т. е. если топологическое пространство (А, Ял) связно. Другими словами, множество А в топологическом пространстве Х связно, если его нельзя покрыть двумя открытыми в Х множествами У и У так, чтобы каждое из них пересекалось с множеством А, а пересечение всех трех множеств 1>', У и А было пусто: и, У =а,, У()АМО, УПАРЯ, У(]УПА=О.
Примеры. 1. Любое множество в антидискретном пространстве связно. 2. Любое множество в дискретном пространстве, состоящее по крайней мере из двух точек, несвязно. 3. Интервал (О, 1)» К связен. (Доказательство будет дано ниже.) 4. Следующие множества несвязны в К: ]О, 1)(] ()12,3], 1Ч, (г, любое конечное множество. Вообще, если множество А» К содержит точки а и Ь, но не содержит некоторой промежуточной точки с: а ( ( с ( Ь, то оно несвязно. Достаточно положить 0 = ( — со, с), У = (с, +со). Таким образом, если множество в К не является интервалом, оно несвязно. (Напомним, что интервалом называется подмножество прямой К, которое с каждыми своими двумя точками содержит все промежуточные точки. Бывают открытые интервалы, или промежутки, конечные вида (а, Ь) н бесконечные вида ( — оо, а), (а, +ы>), замкичтые интервалы, или отрезки (сегменты), вида ]а, Ь] и полуоткрытые интервалы вида (а, Ь), (а,Ь].
( — ьь,а] и [а, +со). Для полноты к интервалам еле. дует отнести еще пустое множество Я, точки — одноточечные множества и всю прямую ( — со, оо).) Критерий связности. Достаточный запас связных множеств в топологическом пространстве иногда позволяет судить и о связности всего пространства. Теорема 1 (критерий связности). Для того чтобы топологическое пространство было связно, необходимо 498 чхсть к тОпОлОГия и достаточно, чтобьс каждые две его точки содержались в некотором связном множестве. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Необходимость этого условия очевидна. Докажем его достаточность. Пусть Х вЂ” топологическое пространство, каждые две точки которого лежат в некотором связном множестве. Предположим, что пространство Х несвязно: Х = = уо )т, где Ь и р — непустые открытые множества, пересечение которых пусто: и~и. у ° о, опт=о. Выберем в этих множествах по точке: пусть а еи К Ь еи )т. Пусть К ~ Х вЂ” связное множество, содержащее выбранные точки а и Ь. Тогда множества 0 и покрывают, очевидно, множество К, их пересечения с К непусты, а пересечения всех трех множеств У, )т и К.у-: иПРПК ПП Р= В.
М. - учи 'р.- тиворечие со связностью множества К Теорема ! доказана. П Связность интервалов. Применим полученный критерий связности к вопросу О связных множествах на прямой. Лемма. Всякий отрезок [а, Ь[ связен. Доказательство. Пусть отрезок разбит на два открытых в нем множества: [а, Ь[= А [) В. Докажем, что если, например, а ~ А, то множество В пусто. Для этого рассмотрим правый конец а самого большого полуоткрытого интервала [а, а), содержащегося в множестве А. Поскольку множество В открыто, то нетрудно видеть, что а Ф В. Следовательно, а си А. Но это означает в силу открытости множества А, что а = Ь и А = [а, Ь[, а В = м). Лемма доказана. Теорема 2.
Подмножество А числовой прямой связно в том и только в том случае, когда А — интервал. Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость этого условия нам уже известна. Чтобы доказать его достаточность, воспользуемся критерием связности и леммой. Действительно, если А — интервал, то каждые две его точки а, Ь содержатся в связном множестве [а, Ь[. Следствие. Вещественная прямая 5[ связка. Б Связные множества.
Рассмотрим теперь некоторые свойства связных множеств. н. !. связность Теорема 3. Замыкание связного множества связно. Д о к а з а тел ь с т в о. Рассмотрим в топологнческом пространстве Х связное множество А. Предположим, что его замыкание с! А несвязно. Пусть с!Л ~ иЦ У, где и и !г — открытые множества, которые имеют непустые пересечения с множеством с! А, причем пересечение всех трех множеств и, н с! А пусто: иПС!А~И, уПС!Л~И, иПРПС!Л=И. Так как множество А связно, то его пересечение с одним из двух множеств и н к' пусто.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
