1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Пустое множество кт также принадлежит совокупности ()(М). Теорема ! доказана. П Итак, мы проверили, что совокупность (г(М) задает топологию в множестве М, которая называется метрической топологией. О метрической топологии часто говорят, как о топологии, которую порождает метрика. Множества, входящие в совокупность И(М), называются открытыми подмножествами метрического пространства М. Таким образом, открытыми в метрическом пространстве называются множества, которые вместе с каждой своей точкой содержат все достаточно близкие к ней точки, Докажем, что всякий открытый шар В,(а) является открытым множеством, Пусть Ь вЂ” произвольная точка этого шара. Тогда СВз((а, Ь) ( г.
Положим е = à — й(з((а, Ь). Достаточно убедиться в том, что точка Ь содержится в шаре В,(а! вместе со своей е-окрестностью В,(Ь). Для этого проверим, что в шаре В,(а) содержится каждая 1.3. Внугренность, замыкание, Гплница лвз точка хан В,(Ь), Но это следует из неравенства треугольника и того, что гйз1(х, Ь)( п: б!з1(х, а):и г))з((х, Ь)+ й(з((Ь, а) < а+ г)(з((Ь, а) =г. В частности, всякая е;окрестность точки метрического пространства является ее топологической окрестностью (в метрической топологии). Пусть (Х, (г) — топологическое пространство.
Если топологическая структура зг порождается некоторой метрикой в множестве Х, то топологическое пространство (Х, аг) называется метризуемым. Две метрики, порождающие одну и ту же топологию, называются эквивалентными. В 3. Внутренность, замыкание, граница Пусть А — подмножество топологичсского пространства Х. Среди открытых множеств, содержащихся в множестве А, есть наибольшее: это объединение всех таких множеств. Оно называется внутренней частью или внутренностью множества Л и обозначается символом гп1А или, подробнее, (п1хА '). Например, в случае когда Х = К вЂ” числовая прямая, имеем )п1[0, ![=(О, !).
Всякое открытое множество, очевидно, совпадает со своей внутренней частью, и наоборот, если множество совпадает со своей внутренностью, то оио открыто: А = !п1 А о:о. А ен (). Подобным образом среди всех замкнутых множеств, содержащих множество Л, есть наименьшее: это пересечение всех таких множеств. Оно называется замьгканием множества Л и обозначается символом с)А или, подробнее, с)хАа). Например, когда Х= К вЂ” числовая прямая, получаем с1(0, !) = [О, !].
Всякое замкнутое множество, очевидно, совпадает со своим замыканием, н наоборот, если множество ') От 1п(ег1спг (фр.) н !п1егюг (англ.). другое распространенное обозначение длн ннутренностн — А. т) От сююге (фр.) н с1оанге (англ.). Другое распространенное обозначение длн замыкания — А.
484 часть 5 топОлОГия совпадает со своим замыканием, то оно замкнуто: А = с! Л вЂ” - А замкнуто. Очевидно, что внутренность множества А содержится в его замыкании: !п1 А с: с! А. Точки, принадлежащие замьисанию множества А, но не принадлежащие его внутренности, образуют грани>(у множества А. Граница обозначается символом 1гА илн, подробнее, 1гх >! '): 1г А = с! А '~ !п! А. Например, в случае, когда Х = К вЂ” числовая прямая, имеем 1г[0, !]=1Г(0, !)=[О, !), т. е.
граница интервала состоит из двух точек. — его концов, Так как разность двух множеств равна пересечению первого множества с дополнением второго множества, то (г А = — с! А ~, >п! А =- с! А П (Х ', >п1 А). Следовательно, граница !гА замкнута как пересечение двух замкнутых множеств. Расположение точки относительно множества. Г!рипадлежность произвольной точки пространства замыканию, внутренности или границе множества может О. 4 быть описана иа языке окрестностей. Определение.
Пусть х ен о и' ~ Х вЂ” произвольная точка. х Я Точка х называется (рис. 2); а) внутренней точкой множества А, если она леРнс. 2 жит в А вместе с некоторой своей окрестностью; б) граничноа точкой множества А, если всякая ее окрестность пересекается и с множеством А, и с его дополнением Х',А; в) внешней точкой множества А, если она лежит в дополнении множества Л вместе с некоторой своей окрестностью. ') От )гопиеге (фр.) н (гоп!!ег (англ.).
Другое распростра- ненное обозначение для границы — дА. ! 3. Внутвюн!Ость. Зкмыккн!!Г. Гахн!!пх 485 Ясно, что каждая точка х е— = Х является по отношению к множеству А либо внутренней, либо граничной, либо внешней. Внутренние и граничные точкп называются точками прикосновения множества А. Таким образом, точка х ~ Х является точкой прикосновения множества А, если всякая се окрестность пересекается с множеством А. Теорема 1. а) Внутренность пй Л всякого множ!- ства А есть множество его внутренних точек.
б) Земь!копие с!А всякого множества А сеть л!ножество его точек прикосновения. в) Граница 1гА всякого множества А есть лзножество его грани !ных точек. Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Так как внутренность и!1Л открыта, то она является окрестностью для всякой своей точки. Поэтому все ее точки — внутрепннс для множества А, Следовательно, множество !п1 А содержится в множестве внутренних точек множества Л.
Докажем обратное включение. Пусть а ~ А— произвольная внутренняя точка. Опа содержится в л! вместе с некоторой своей окрестностью К Так как !п1А — наибольшее открытое множество, содержащееся в А, то окрестность У, а с ней и сама точка а содержится в множестве )п1А. Следовательно, множество !п1А содержит множество внутренних точек множества А, а значит, в силу доказанного выше, и совпадает с ним. б) Чтобы доказать, что множество с1А совпадает с множеством точек прикосновения множества Л, проверим, что совпадают их дополнения, Дополнение к множеству точек прикосновения совпадает с множеством внутренних точек множества Х ° А, т.
е. с множеством !п((Х',А), Но нетрудно показать, что и Х '~ с! А = — !п1(Х'; А). в) С очевидностью следует из а) и б) и того, что, во-первых, 1гА = с!А',!п1А, и, во-вторых, граничные точки множества — это те точки прикосновения, которые не являются внутреннимн. Теорема 1 доказана П чАсть а тОпОлОГия $ 4. Подпространства топологического пространства Подобно тому как всякое подмножество метрического пространства наделяется метрикой, так всякое подмножество топологического пространства может быть наделено естественной топологической' структурой.
(Сравните с тем, что далеко не всякое подмно>кество группы является ее подгруппой, подмножество и линейного пространства— его подпространством.) е А Пусть А — произвольное подмножество топологнчел ского пространства (Х, И) (рис. 3). Обозначим через Рис. 3 йл совокупность всех под- множеств множества А, которые являются пересечениями открытых множеств пространства Х с множеством А: Ил=(УПА: 1>~й). Теорема 1. Совокупность Ил удовлетворяет аксиомам топологической структуры.
Дока за тельство. Начнем с аксиомы а). Пусть (У,) — семейство множеств, принадлежащих совокупности ИА. Это значит, что каждое множество У является пересечением некоторого открытого в Х множества 1>' с множеством А: У,=(Г' () А. Чтобы доказать, что их объединение Ц 1' тоже ают принадлежит совокупности ИА, представим множество ( ) У, в виде пересечения некоторого открытого мно- АЯ Г жества с множеством А.
Действительно, Ц У.= Ц (и.ПА)=(Ц и.)ПА, где множество () 1>, открыто как объединение не- аог скольких открытых множеств. Перейдем к аксиоме б). Пусть Уь Уз — два множества из совокупности ИА. Чтобы доказать, что нх пересечение У>() Уз также принадлежит совокупности ь с подпгостРАнствА 487 Я, представим множество У, П Уз в виде пересечения множества А с некоторым открытым множеством про. странства Х. Пусть У, =(7,ПА н У~= (7гП г, где Оь (7,— открытые множества.
Тогда У, П У,=((7, П А) П((7 ПА) =-((7, П(7) П А, где множество (71 П Оз открыто как пересечение двух открытых множеств. Наконец, аксиома в) очевидна: множества А н И тривиальным образом представляются в виде пересечения открытых множеств пространства Х с множеством А: А=ХПА, О=ОПА. П Итак, мы проверили, что совокупность Ял задает топологию в множестве А.
Говорят, что топология ьгл индуцируется топологией И, и называют ее индуцированной топологией. Множество А, снабженное индуцированной топологией, называется топологическим подпроетранством топологического пространства (Х,(Т) и обозначается (А, Ил), или просто А, если ясно, что речь идет именно об индуцированной топологической структуре. Множества, входящие в совокупность 44л, называются открытыми в множестве А. Итак, открытыми в А являются множества, высекаемые н нем множествами, открытыми в пространстве Х. Кзк обычно, множество 6 ~ А называется замкнутым в множестве А, если его дополнение А' 6 открыто в А. Теорема 2. В множестве А замкнуты те и только те множества, которые являются пересечениями замкнугык множеств пространства Х с множеством А.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Р— замкнутое множество пространства Х. Чтобы доказать, что множество РПА замкнуто в А, нужно проверить, что его дополнение А~,(РПА)=А',Р открыто в множестве А. Для этого представим множество А,Р в виде пересечения множества А с некоторым открытым множеством пространства Х: А ~ Р = А П (Х ~ Р), где множество Х',Р открыто как дополнение замкну- того множества Р.
чае часть з топология Наоборот, пусть множество а с: Л замкнуто в А. Это значит, что его дополнение А' а открыто в Л. Это, в свою очередь, означает, что А',а =А П и для некоторого множества и, открытого в Х. Множество Х',и, замкнутое в пространстве Х, и дает в пересечении с множеством А множество а. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся цепочкой равенств: А П (х; и) = А, (А и и) = А; (А, а) = а и $5. Непрерывные отображения Непрерывность ев целом», Отображение одного топологичсского пространства в другое называется нсььрерььвнььм в целом (илн просто — непрерывным), если при этом отображении прообраз .чюбого открытого множества открыт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
