1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 73
Текст из файла (страница 73)
67, 68). Точка Р эллиптического типа называется точкой округления или омбилической, если г — параболоид вращения (рис. 66) Наконец, точка Р параболического типа называется точкой уплощеняя, если à — плоскость. Рис. 66 Рис. 65 Рнс. 6? Рис, 68 Рис, 69 Можно показать, что в окрестности точки эллиптического типа поверхность лежит по одну сторону от своей касательной плоскости (рис. 69, а), а в окрестиости точки гиперболического типа поверхность пересекается с касательной плоскостью по двум кривым (рис.
69, б). В окрестности точки параболического типа ничего определенного про расположение поверхности относительно касательиой плоскости заранее сказать нельзя, И.О. ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ И ФОРМУЛА ВИЛЕРА 441 5 8. Главные кривизны и формула Эйлера Пусть Р— соприкасающийся параболоид поверхности Ф в точке Р, Из аналитической геометрии известно, что поворотом осей уравнение параболоида Р можно привести к виду 2 = — (й~х + ЯАУ"1. Рассмотрим касательную прямую 1, проходящую через точки Р и (хь,уь).
Нормальную кривизну по. верхности Ф в точке Р в направлении прямой 1 можно вычислить по формуле (см. 5 6) и (хь УО) АРО+ АОУО 2 ХО 2 2 й„ вЂ” 2+Д вЂ”. ("О УО) "О+ УО "О+ УО хс+ УО Если обозначить через 0 угол между осью х и прямой 1, то формулу можно записать в виде (рис. 70): й (О) = й| соз20+ й2 з2п20.
Из зтой формулы следует, что если й, ( к2, то й, = 72, созз 0 + 12, и!и' 0 (~ й„(0) » Кй, соз'0 + йи ы п' 0 = йм причем равенство в одном из неравенств может иметь место только в том случае, когда соз 0 = О или з)п 0 = О, т. е. когда прямая 1 совпадает с одной из координатных осей. Если же й, = й2, тО й„(0) =- йь Таким образом, мы доказали следующую теорему Эйлера.
Теорема ! (Эйлер). 8 каждой точке гладкой поверхности существуют две перпендикулярные касательные прямые 1~ и 12О в на- Рис. 70 правлении которых нормальная кривизна поверхности принимает наибольшее и наименьшее значения я2 и я2. Если 1 — произвольная касательная прямая, образующая угол 0 с прямой 1ь то нормальная кривизна в направлении 1 вь числяется по формуле Эйлера 12„= й, соз'О+ йх з(п'О. П 44В ~!ЛСТЬ Е ДИФФЕРЕИЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Наибольшую и наименьшую нормальные кривизны поверхности в точке Р называют ее главными кривизнами в этой точке, а направления, в которых достигаются главные кривизны, называются главными направлениями.
1(ак мы видели, если главные кривизны в точке Р различны: й! Ф йь то главные направления определены однозначно и они перпендикулярны друг другу. Если же главные кривизны равны: й! — — й,, то любое направление будет главным. Гауссова кривизна и средняя кривизна. Произведение главных кривизн й!, йч обозначается через К и называстси гауссовой кривизной поверхности в точке Р; к =й В то время как сам соприкасающийся параболоид Р определяется главными кривизнами й!, йе и главными направлениями !ь !м его тип полностью определяется произведением главных кривизн й!йч — — К: если й,йч ) О, то Р— эллиптический параболоид; если й!йч ( О, то Р— гиперболический параболоид; если й!йт = О, то Р— параболический цилиндр или плоскость. ги//е » О Рис 7! во Ее< О Риг 72 Таким образок!, тип точки Р на поверхности полностью определяется гауссовой кривизной К поверхности в этой точке: если К ) О, то Р— точка эллиптического типа (рис.
71, 72); если К ( О, то Р— точка гиперболического типа (рис. 73); если К = О, то Р— точка параболического типа (рис. 74). 1!.О. ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ И ФОРМУЛА 9ЙЛЕРА 449 Полусумма главных кривизн йь йе обозначается через Н и называется средней кривизной поверхности в точке Р: й,+яа 2 (Из формулы Эйлера следует, что число Н равняется нормальной кривизне в направлении биссектрисы угла, образованного главными направлениями.) «,ео, «,-о Рис.
74 «а в,к;о Рис. 73 Главные кривизны йь йо в точке Р полностью определяются гауссовой кривизной К и средней кривизной Н: по теореме Виета й, и йо являются корнями уравнения хо — 2Нх + К = О. Заметим еще, что Р является точкой округления тогда и только тогда, когда Н = К, а точкой уплощения— тогда и только тогда, когда Н = К = О. Наконец, отметим одно важное свойство главных направлений.
Мы сформупируем его в том виде, в котором оно будет нами исаа пользоваться в $ 1!. Теорема 2 (Родриг). Рис. 75 Лусть 7(и, о) — параметри- заЦиЯ гладкой повеРхности Ф, и Р = 7(ио, оо) — точка на поверхности, Если направления координатных линий в точке Р являются главными, то выполняются равенства лн (ио оо) Мн (ио оо) л„(ио оо) = йА (ио оо) где яа и яо — главные кривизны в точке Р (рис. 75).
15 А. Д, Аееасандрев, Н. Ю. Нецветаев щ) чАсть А диФФеРенциАльнАЛ геометРия Доказательство. Нетрудно видеть, что справедливость доказываемых равенств зависит не от конкретного выбора системы внутренних координат и, о, а только от направлений координатных линий в точке Р. Поэтому достаточно проверить доказываемые равенства непосредственно, воспользовавшись для этого, например, явным заданием поверхности е=ф(х, р), при котором ф(0, 0) = фк(0, 0) =фи(0, 0) =фи„(0, 0) =О, а точка Р имеет координаты О, О, О. Соответствующая параметризация имеет вид Г(и, о) = (и, о, ф(и, о)). Рассмотрим вектор-функцию й((и, о) = ги(и, о)Х Хг„(и, о).
Тогда а( (и, и) л(и о)= ' ) Лги (и, и) )М (и, и)( — У (и, и) ди 1 аг(и, и)1 л„(и, о)— 1У (и и) (к Поскольку )и(и, о) = (1,0, фк(и, о))~ кгк(и, о) = (О, 1, ф„(и, о)), то нетрудно видеть, что й) (и о) = ( — Ь. — ф„)) й)„(и, о) =( — ф„, О, О), Рки, )В-кизякам, ()к( )1 Фк Фкк ~/Ф', + Ф'„+ ) где для краткости опущены аргументы и, о у функций Ф . фи, ф, фии. Далее, ясно, что йг(О, О) = (О, О, 1), йг„(о, о)=( йь о, о), )й)(о 0))=1 и что фУнкциа дк(й)(и, о)) в точке (О, 0) обращается в нуль. Подставляя, получаем требуемое равенство: = — гг, у„ (о, 0). Равенство л.
(О, 0) = — 44,(0, О) проверяется анало- гично. П п.д. нахождение главных кгивизн 45! $9. Нахождение главных направлений и главных кривизн Пусть Ф вЂ” гладкая поверхность, заданная векторным уравнением г =1(и, п), а Р = )(ид, ид) — точка на ней. Рассмотрим в касательной плоскости ТгФ аффннную систему координат 5, тн в которой векторы Га(0, 0» И (о(0, 0) будут НаПраВЛяЮщИМИ ВЕКтОраМИ осей $ и т). В такой системе точка с радиус-вектором а (ид пд) + Ио(0, 0) + т)д(о(0, 0) будет иметь координаты $д, т)д. Будем рассматривать первую и вторую квадратичную формы как функции на плоскости ТгФ: ! (ь т)) = Е$а -)- 2Рьт) + тана П($, т)) =Яд+ 2М$т)+ Лот)т.
Тогда нормальная кривизна поверхности Ф в точке Р в направлении прямой, проходящей через точку Р и точку с координатами ($д,т)д), вычисляется по формуле й (ое ) )! (до Чо) ! (Ь Чо! Главные направления. Следовательно, весь вопрос о нахождении главных направлений сводится к нахождению точек максимума и минимума функции й(5, т)).
Пусть й($д,т)д) — главная кривизна, причем т)дчьб. Положим тд= — '. Тогда йа чо " (од т)д)— )! (йо Чд) Етд+ 2Д(д+ 0 ! ($д, т)д) (.(',+ 2М)д+ К Введем обозначения: (р~ (!) = ЕР + 2Р( + 6 ор (!) = 1,(т + 2Щ + )!т. Тогда й (аь ) та ((а) Ф~ (та) Поскольку, по предположению, функция — доя (О ог (т) стнгает в точке тд максимума или минимума, то ее производная должна обращаться в этой точке в нуль. 452 ЧАСТЬ Е ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Так как Ч е (О Ф, (О Ф, О) — Ф, (О Ч'т (() ( Ф,(0 ) Ф~ (4) то, приравнивая числитель нулю, получаем (2Е(+ 2М) (Е(т + 2Е(+ О)— — (2Е(+ 2Е) (и'+ 2М(+ Л() = О.
Сокращая на 2, раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим окончательно Я-Е МЕ) + (а (Е() А(Е) + (МО )()Е) = О Если ~ч ФО, то мы можем положить ее= — "' и расВо смотреть функции 4Р,(з) =-Е+ 2ЕЕ+ 6з-', фч(з) = Е+ 2МЕ+ Л(з-'. Тогда Й(ее Чо) = Так же как в случае функций ф( и 4р,, получаем, что зч ЯвлЯетсЯ коРнем УРавнениЯ 4Р',(з) ф,(е) — 4Р',(з)Х Х ф, (з) = О. Подставляя вместо чри 4р,, 4р'„ф,' их выражения через з, деля на 2, раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим (МŠ— ЕЕ) + 3 (Л(Š— 1 а) + (МŠ— МС) 3"; = О.
~ч (Е" — МЕ) + 1АЧЕ(Е~ — Д(Е) + Чо (Мб — Д(") = О. Его удобно записывать при помощи определителя: чо еочч ей е е б д м н Таким образом, решена задача отыскания главных направлений. Главные кривизны. Чтобы найти главные кривизны, можно было бы теперь решить одно из полу- Если первое уравнение домножить на Ч', или второе домножить на — $,', получится однородное уравнение относительно 5А и Чьс и, гц площлдь повегхиости 453 ченных уравнений, а затем найти кривизну по общей формуле. Мы поступим иначе. Предположим, что мы хотим найти направление, в котором нормальная кривизна принимает данное значение й.
Для этого нам надо было бы решить уравнение )) (ч, и) = ) (5, и) й, или, что равносильно, (Š— йЕ) Р + й (М вЂ” йР) И + (М вЂ” й0) 2) = О. Это уравнение можно рассматривать как квадратное, например, относительно $/П. Если й — главная кривизна, то у него есть единственное решение и следовательно, дискриминаит равен нулю: (Š— 'яЕ) (М вЂ” й0) — (2)( — АР)2 = О. Отсюда получаем квадратное уравнение для нахождения главных кривизн Аь йэ в точке Р: (Е0 — Р2) я2+ (2МР— ЕЛ( — Е0) я + (1.л( — М') = О Кроме того, из этого уравнения, в силу формул Виета, получаем важное следствие — выражение гауссовой и средней кривизн через коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности в данной точке: 2'.22' — М' ло — я + е2т — яма + т.а ЕО Е2 В 10. Площадь поверхности Дадим определение площади гладкой поверхности, исходя из того, что определение площади нам известно для замкнутых плоских областей, ограниченных конечным числом гладких кривых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
