1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 68
Текст из файла (страница 68)
25). (Другие названия: '<АСТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ натуральная параметризация или параметризация длиной дуги.) Параметром в этой параметризации служит з — длина отрезка кривой. Это и есть так называемый естественнь<й параметр. Параметрнзация у(г) получается из й(з) при обратной замене параметра з = ф(!). у(о) Рис. 26 Рис. 25 Важное свойство естественной параметризации состоит в том, что касательный вектор при такой параметризации имеет единичную длину (рис. 26) )й" (з) )== !. Действительно, поскольку — ! ! ч(')=(' ) (') = ч .«» =!((.(.))! то ! й' (з) ! = ! Г (ч (з)) ч' (з) ! = ( ,', " ")' ( = — ! .
Этим своим свойством и тем, что а(0) совпадает с началом кривой, естественная параметризация определена однозначно. Пример. Уравнения х = соз й у = к(п < при еи (О, и) задают естественную пара метризацию верхней единичной полуокружности. В дальнейшем мы будем обозначать вектор и'(з) через т и называть его едина <ным вектором касательной или е<)инниным касательным вектором кривой в точке и(з). 5 5. Кривизна кривой.
Сопрнкасаи шаяся плоскость Пусть С вЂ” гладкая кривая, а д(Ф) — ее естественная параметризация. Рассмотрим произвольную точку Р = а(зс) на кривой С и вектор а" (зс) второй производной функции й в этой точке. Этот вектор 1 5. КРИВИЗНА КРИВОЙ называется вектором кривизны кривой С в точке Р и обозначается через й (рис. 2?): й = и' (зо). Его длина й = (й~ называется кривизной кривой С в точке Р.
Поскольку (й'(з) ( = — !, то вектор й = й«(зь) ортогонален вектору и'(зь) и„следовательно, лежит Рис 27 Рис 28 в нормальной плоскости. Если й ни О, то й Ф О и пря. мая. проходящая через точку Р в направлении вектора й. называется главной нормалью кривой С в точке Р. В этом случае единичный вектор п = й/и называется единичным вектором главной нормали !рис. 28).
Таким образом, имеет место равенство лс — =Ф.н. Это тал называется «первая формула Фрсне». Кривизна позволяет определить, насколько данная кривая отличается от прямой. Так, кривизна прямой во всех точках равна нулю. Верно и обратное: если кривизна кривой равна нулю во всех точлах, то кривая является отрезком прямой. (Докажите.) Пример. Кривизна дуги окружности радиуса )г во всех точках равняется 1/сг, (Проверьте.) Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны кривой в данной точке. Пусть ?(г) — произвольная параметризация кривой С.
Пусть она связана с естественной параметризацией й(з) при помощи замены параметра: 4Е4 часть о. диееееенцикльнля геометеия с з = ф(Е) = ~ ! Е'(т) !о(т, причем ао = ф(Ео). Вектор о ~'(Ео) может не быть коллинеарным вектору кривизны й = йо" (зо), но его проекция [~" (Ео)]" на нормальную плоскость коллинеарна вектору й. Действительно, Е (Ео) = й' (зо) ор (Ео) Следовательно, ©и (Ео) = У" (ао) ' И" (Ео))" + К' (зо) ' ойи (Ео). Так как первое слагаемое лежит в нормальной плоскости, а второе — на касательной прямой, то первое слагаемое и равняется нормальной составляющей вектора Е" (Ео) (рис.
29): и- (Ео))г = ! ~ (Е.) !о - й. 1 (Механический смысл с этой формулы заключается в том, что нормальное ускорение материальРис. 29 ной точки, движущейся по кривой С, зависит только от скорости: оно прямо пропорционально квадрату скорости, а коэффициентом пропорциональности служит вектор кривизны,) В нашем определении кривизна й является функцией точки Р, но часто удобно считать, что она зависит от естественного параметра з или от того же параметра Е, что и функция Е. Найдем выражение кривизны через первую и вторую производные функции ~. Ясно, что й(Ео)=! )Е,(' (о ~. Обозначим через а ! Е' (Ео! !' угол между векторами Е'(Еь) и Е'(Ео).
Тогда ! (Е" (Ео)) ~ ! = ! Еи (Ео) ! з ! и а = Е (Ео) ! Окончательно получаем ! Е" Ро! Х Е' (Ео! ! или, короче, (Е-ХЕ ! — (Е )о (.К КРИВИЗНА КРИВОИ Пример. Кривизна плоской кривой, заданной уравнением в явном виде у = )(х), вычисляется по формуле я =- ,, , Отметим, что в тех точках, где 1Г'! () + Г')и' первая производная обращается в нуль, кривизна гросто равна модулю второй производной: й =(Г'(. Пусть в точке Р кривая С имеет ненулевую кривизну. Как мы видели, векторы Г((ь) и Г'((ь) всегда лежат в плоскости, натянутой на векторы ~ и и. Эта плоскость называется соприкасающейся плоскостью кривой С в точке Р (рис. 30, 3().
В качестве нормального вектора к ней можно взять едииич- л иый вектор Ь = т Х и, который называется вектором бинормали в точке Р. Нетрудно видеть, что в каждой точке кривой С, где кривизна отлична от нуля, векторы т, и. Ь образуют прав>ю тройку взаимно ортогоиальных векторов. Эта тройка векторов называется базисом Френс (Другие названия: репер Френе, трехвекторник Френе, сопровождающий трехвекторник и т. п.) (рис.
32). Очевидно, что Г () ь) Х Г ((ь) !Г(ы) Х Г(г,) ! ' Сопрпласающаяся плоскость плоской кривой всегда совпадает с той плоскостью, в которой лежит кривая. Соприкасающаяся плоскость обладает одним важным свойством, которое можно взять за основу при геометрическом ес определении: Теорема. Пусть Я вЂ” точка кривой С, близкая к точке Р, При стремлении точки Я к точке Р отношение расстояния 6 от точки О до соприкасающейся плоскости в точке Р к квадрату расстояния й от (( до Р стремится к нулю: )!гп —,=О. б о.+Р и' Еь. КРУЧЕНИЕ КРИВОН. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ 4)7 Егин кривизна кривой С в точке Р отлична аг нуля, то единственной плоскостью, обладающей таким свойством, будет соприкасающаяся плоскость (рис.
33). (Сформулированная теорема означает, что в каачдой точке кривая с точностью до величин второго порядка малости приближается плоской кривой— своей проекцией на соприкасающуюся плоскость в этой точке.) Этот факт мы оставим без доказательства, тем более что нигде не будем его использовать. С) Плоскость, проходящая через точку Р и содержащая векторы Ь и Г, называется епрямляюи(ей плоскостью кривой С в точке Р (рис.
34). % 6. Кручение кривой. Формулы Фреие Пусть С вЂ” гладкая кривая, а п(з) — ее естественная параметризация. В этом и двух следующих параграфах мы будем предполагать, что во всех своих точках кривая С имеет ненулевую кривизну. В частности, в любой ее точке Р = й(зь) определены соприкасающаяся плоскость и вектор бинормалн и' (»в) )~ Яв <»в) ь (вв) Рассмотрим вектор Ь'(зь) первой производной от функции Ь(з). Ои ортогонален вектору Г(зв), поскольку Ь' (з) = [г (з) Х л (з)]' = г' (з) Х л (я) + г (з) Х л' (з) = = Г (з) )4, л' (з). (Поясним третье равенство.
Первое слагаемое в левой его части равно нулю, поскольку векторы Г' и л коллинеарны (первая формула Френе).) Далее, вектор Ь'(зь) ортогонален вектору Ь(зь) ввиду постоянства мод)ля вектор-функции Ь(з). Следовательно, вектор Ь'(ев) коллинеарен вектору л(зь). Поэтому вы. полняется равенство вида Ь (зв) = х ' л (зо) Число х называется кручением кривой С в точке Р. Выписанное равенство носит название «третьей формулы Френе».
Абсолютным кручением ]х] в точке Р 14 А Ц. Авекпвпвзпв, Н. КВ Неко твев А1в ЧАСТЬ А ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ называется абсолютная величина вектора Ь'(зс). (к(=(Ь'(зс) (. Кручение характеризует отличие пространственной кривой от плоской, поскольку, очевидно, кручение плоской кривой в каждой точке равно нулю. Нетрудно видеть, что если кручение кривой в каждой точке равно нулю, то эта кривая лежит в некоторой плоскости (рнс. 35). Абсолютное кручение можно определить более геометрически. Если 9 — близкая к Р точка кривой С, а 9 — угол между соприкасающимися плоскостями Ь=ГСАМ Рвс. Зв Ряс.
ЗВ кривой С в точках Р н А), то при стремлении точки СГ к точке Р отноигение угла 9 к рисстоянию между и Р стремится к определенному пределу, который и равен абсолютному кручению кривой С в точке Р (рнс. 39): !'Вп — = ! к !. в В,Р Ф' Кручение допускает и несложное кинематическое истолкование.
Представим себе, что некоторая плоскость перемещается в пространстве, причем ее фиксированная точка с единичной скоростью движется по кривой, фиксированная прямая в каждый момент времени касается кривой в этой точке, а сама плоскость все время является соприкасающейся плоскостью кривой. Тогда такое перемещение будет результатом поступательного движения и двух вращений — вращения этой плоскости вокруг бннормали и ее вращения вокруг касательной.
Угловая скорость первого вращения равна кривизне кривой, а второго — абсолютному кручению кривой в точке соприкосновения. Знак кручения связан с направлением !. х вычисление кггчания 4!9 вращения: в случае, когда вращение прои ходит против часовой стрелки, если смотреть из конца касательного вектора, то зто плюс, а если по часовой стрелке — то минус (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
