1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 67
Текст из файла (страница 67)
тэ). Нетрудно доказать, что вектор-функция э(т) дифферснцируема в точке тт ~ [а, Ь] тогда и только тогда, когда в этой точке дифференцируемы координатные функции э1(т), эт(т), эт(т). При этом е (1)=с,(г)т+э (г~)!+э'(г~)Ь. Если с(г) лифференцируема на всем отрезке [а,Ь]„ то ее координатные функции также днфференцируемы. Верно и обратное утверждение. При этом если )(т), и(т), э(т), тэ(т) диффереицируемы на [а, Ь], то (е+ в)'=е'+ в', (э — в)'= э' — и', д . эт' = /'е + ]е', (е ° в)' = э' ° в + э в', (е Х в)' = э' Х в+ э Х в', (и, э, тс) = (и, э, и) + (и, э, в) + (и, э, в').
Аналогично обстоит дело с пнтегрируемостью. Вектор-функция э(т) интегрируема тогда и только тогда, когда интегрируемы ее координатные функции эь эь эт. При этом (г) (т=) ~,ят(г+]1ь,(т) (т+Ь ~„(т)а. Ясно теперь, что всякая непрерывная вектор-функция интегрируема. 404 часть 4. днфетеенцняльнля гвомвттия Если функция о(1) имеет непрерывную производную, то справедлива формула Ньютона — Лейбница Векторные уравнения кривых.
Как мы скоро убедимся, вектор-функции очень удобны для описания и исследования кривых. Если Е: [а, Ь]- Вз — параг(т) метризация некоторой кри- вой С, то ей соответствует С вектор-функция 1, определенная по формуле 1 (1) = О~. (1).
Функция Р однозначно восстанавливается по вектор- функции 1. Координатные функции у Т и Г, как видно Рис. 14 из определения, совпадают. Вектор-функция Т называется векторной параметризацией кривой С (рис.!4). Если радиус-вектор Ог"(1) обозначать через г, то равенство г =Т(1) называется векторным уравнением кривой С. Кривую С при этом можно рассматривать как годограф вектор-функции 1(1) . Вектор-функция 1 непрерывна в силу непрерывности отображения Р.
Если кривая С гладкая, а т— ее регулярная параметризация, то функция 1 непрерывно дифференцпруема на отрезке [а, Ь], причем се производная нигде не обращается в нуль: 1'(1) =А О. Закончим параграф одной леммой о вектор. функциях, которой мы часто будем пользоваться при изучении кривых. Лемма. Пусть о(1) — вектор-функция, дифференцируемая всюду на отрезке [а, Ь]. Тогда для того, стобы ь 3. КАсктельнья коивои 40я ее модуль )о(Е) ~ был постоянной функцией, необходимо и достаточно, чтобы о(Е) была всюду ортогональна своей производной т!'(Е): о(Е) о'(Е) — О Лок а за тел ьство.
Ясно, что (о(Е) / — постоянная функция тогда и только тогда, когда оо(Е) — постоянная функция. Но производная этой функции как раз и совпадает с 2о(Е) о'(Е) = О. Осталось заметить, что равенство нулю производной равносильно постоянству самой функции. П В дальнейшем все параметризации у нас будут только векторными. При этом мы позволим себе отождествлять точку с ее радиус-вектором и писать е(Е) = Р вместо Е(Е) = ОР.
и 3. Касательная кривой Пусть С вЂ” гладкая элементарная кривая, а-Е(Е)— вектор-функция, задающая ее регулярную параметризацию. Если Р = Е(Ео) — точка кривой, то вектор Е (Е! ! называется касательны.ч векторол! кривой С в точке Р <рис )з! Ес.:и вект р-функция уФ 711! списывает перемещение материальноп точки вдоль Р гЕго ле/ел кривой С, то вектор Е'(Ео) будет вектором скорости этсй точки в момент време- с ии ! !р:..
)б! Е' с'аггльн..г векторы в Рчс. 15 оово.; и той мч точке, соответствуюсцио различны.ч параметризацинм, коллинеарны и, значит, могут отличаться только множителем. Действительно, если д (т) = Е (ц! (т) ) — другая п а- раметризапня той же кривой, причем Ео= гр(то), то вектор у (то) = Е (! (то)) !р (то) очсвидно коллинеарен вектоРУ Е"'(Ео) = Е'(Ч!(то)), Ц Прямая, проходящая через точку Р в направлении касательного вектора Е'(Ео), называется касательной прямой в точке Р (рис. 17). Параметрическое уравнение касательной прямой имеет вид г(т) =1(Ео)+ тГ(Е) Ь 3. КАСАТЕЛЬНАЯ КРИВОП 407 Примеры. !.
Касательная прямая к отрезку в любой точке совпадает с прямой, иа которой лежит этот отрезок (рис. 18, а). 2. Касательная к дуге окружности совпадает с обычной касательной к самой окружности (в той же точке, рист 18, б). 3. Касательная к графину гладкой функции )(х) в точке (хо,1(хо)) имеет уравнение (рис. 18, в) у = 1 (хо) + !" (хо) ° (х — х,). Наше определение касательной не очень геометрична, хотя удобно на практике. За основу другого определения можно взять следующее важное свойство касательной. Пусть Π— точка кривой С, близкая к точке Р. Рис. Рв Рос. 20 Теорема. При стремлении точки Я кривой С к точке Р предел отношения расстояния 6 ог точки Я до касательной прямой в точке Р к расстоянию с( ог Я до Р равен нулю; 1пп — = О.
0 0+Р Каса тел оная является единственной прямой, обладающей этим свойством (рис. ! 9) . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Я = 7(1). Положим Ы = ! — 1о, Л7 = РЯ = 7(1) — 7(1о) (рис. 20). Расстояние д от точки Я до точки Р равняется !Л11, а расстояние 6 от точки Я до касательной в точке Р 408 ЧАСТЬ 4. ДПФФСРЕПЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЬ1РНЯ равняется [Л/ Х/'(/о) [: [/ (/с) [. Наконец, б .
б/Л1 1пп — = (пп — = о и 4/ 1, с//А1 б л/ Пю — ! [ — ' Х /' (бй ~ „ЛП,, [Л1 !Р«!ХР(/!! О ! Р (1 ! !' ! л( Ню — (ии ! — ~ ° ! Р (1„! 1 1 -+ 1~ Л 1 .+ 1, [ Первая часть теоремы доказана . Пусть теперь ( — про из вол ьн а я прямая, проходящая через точку Р, а Ь вЂ” ее направляющий вектор. Рис. 22 Рис. 2! Обозначим через 61 расстояние от точки (;! ло прямой ! (рис, 21). Воспроизводя для прямой ( предыдущие выкладки, получаем, что б !Р(/ )ха! / ! Р (1.! ! ! Ы ' Осталось заметить, что этот предел равен нулю в том и только в том случае, когда векторы /'(/с) и Ь коллинеарны, т.
е. когда прямая ( является касательной. Теорема доказана. П Плоскость, содержащая точку Р и ортогональная касательной прямой, называется нормальной плоскостью кривой С в точке Р (рис. 22). 5 4. Длина кривой Пусть элементарная кривая С параметрнзована вектор-функцией /! [а, Ь[ - (с"'. Выберем на отрезке [а, Ь[ и — 1 точек, разбивающие его на и частей: а < (1 < (т « ... /„, < Ь. Для удобства обозначений положим /и = а, /„= Ь. Ломаная с вершинами ~ Е ДЛИНЛ КРИВОИ 409 в точках ((гь), ~((~),, (((„) называется вписанной в кривую С (рис. 23).
Интуитивно кажется ясным, что длина кривой С (если о ией вообще можно говорить) не должна сильно отличаться от длины вписанной ломаной при условии, что у ломаной достаточно много звеньев и все они достаточно малы (рис. 24). Это приводит Рне 24 ! лс. 23 нас к следующем> определению. Длиной кривой С называется предел, к которому стремится данна вписанны~ в иее ломаных при неограниченном возрастании числа звеньев ломаной и неограниченном убывании их длин.
Отметим, что условие убывания длин звеньев можно заменить другим, равносильным ему условием: надо потребовать, чтобы гпах ((, ~ — !~)- О. Негр)дно видеть. что этот предел (конечный или бсслонс ный) всегда существует: это есть не что иное, как супремум длин ломаных, вписанных в кривую. Кривая С называется спрямляелюй, есян ее длина конечна. Теорема. Всякая элементарная гладкая кривая С спрямляема. Ее длина 5 может быть найдена по вюрмуле ь 5 = ~ ) (' ()) ) Ж, а где ): [а, Ь) -~. ((з — произвольная регулярная параметризация кривой С.
Л о к а з а т ел ь ст во. Оценим разность между длиной ломаной и интегралом модуля производной. 41О часть 4 диефегенциальиая гвоматяия Для этого введем обозначения: Л!1=1(Г!) — [(!! !), (! =~'(1,.), Л!(=1, — 1!, Тогда имеем ! в ь ~ ! Л,Ц вЂ” ~1Г (Г) 1г(! !=! й л В - ~~',1Л,Р[ — ~~, )Р,'[Л,г + ! !=! ! ь ~,([;[л,г — ~ ~['(1)1(1 =1+ и. Второе слагаемое по мсрс уменьшения звеньев ломаной стремится к нулю по определению интеграла.
Осталось доказать, что к нулю стремится и первое слагаемое. Преобразовывая, получаем неравенство: а й ! = ~:(1Л,[( — '[',(Л!!) ~,'"„[Л/ — ~;Ы!. Оценим отдельно каждое слагаемое в этой сумме: ( Л/ — [',Л!г [ = ! ! †! 1 (1(1) — У;) (г ! 4-! Так как функция ['(1) непрерывна на замкнутом ин- тервале [а, Ь), то она и равномерно непрерывна.
Это значит, что для любого ь ) 0 найдется такое 6) О, что если х, у еп [а, Ь) и [х — у[ ~ 6, то [((х)— — ~(у) ~ ( е. Поэтому если все отрезки [(! сй) по длине меньше 6, то ~['(1) — ~',[<е для любого 1еи ~ [й ь Ц, и, следовательно, ~Л!1 — !'Л,11( ~ а М=а Л!Л ! — ! Окончательно получаем, что для достаточно мелких разбиений В ю 1 <» ~~' (а Л!1) = е ~ Л!1 = а (1„ — Г!). ! ! ! ! 1.4. ДЛИНЬ КЕИВОП 411 Отсюда в силу произвольности выбора числа е следует, что первое слагаемое стремится к нулю. Е) Примеры.
1. Если [1, [и (ь — координатные функции вектор-функции 1, то формула длины кривой примет вид Ь = ~.зф',(1))'+ ([', (1))'+ ()',(1))' 1 О или, короче, ь З =1 4/[" ,+ [ + [ й. а 2. Если кривая С плоская и явно задана уравнением у = Г(х), то, подставляя н предыдущую форму- лУ 1 = х, ~~ (х) = х, [ь (х) = 1(х), [ь (х) = О, полУчаем ь 5 = ~ 1/! + ~'* ь(х. Естественная параметризация. Длину дуги можно есло.зьзовать для введения одной очень удобной параиетризацни кривой С.
Зададим на промежутке [а,Ь[ функцию ц.(1) по формуле ьР (1) = ~ [ [' (т) [йт. ь Ясно, чтз е(1) равняется длине дуги с началом в )1о1 и ь ииоч 1111. Функция ~((Г) гладкая: очевидно, ч'11) =[1'(111. Она монотонно возрастает (поскольку ее производная [['(1) [ положительна) и отображает отрезок [а, Ь[ в отрезок [О, Я. Рассмотрим обратную функцию ф = ф ': [0,5[-~- — [а, Ь[, ф(з) = ф (5), и парамстризацию я(з) кривой С, получающуюся из параметризации /(() прн замене параметра 1 = ф(з): а (з) = ь (т (з)). Такая параметризация называется естественной лараметризацией кривой С (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
