1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Произведение путей обозначается через 5~ 5а и определяется фор- мулой если 1(~ —, ! 2 ' 1 если 1 㻠—. 2' 5, (21), 51 зз (1) = зв (21 — !), Можно сказать, что пУть зызз состоит из двУх половин — путей 51 и зт, каждый из которых проходится с удвоенной скоростью (рис. 10). Теорема 1. Объединение семейства линейно связных множеств, имеющих общую точку, само линейно связно.
') Название «обратный путь» и обозначение з-' несколько двусмысленны, поскольку путь — зто отображение, а обратный путь обратным отображением не является. Мы надеемся, что зто не вызовет недоразумений. линейно связных множеств очень похожи на свойства связных множеств. Для доказательства этих свойств нам потребуются следующие простейшие свойства путей.
Если точку а можно соединить путем 5 с точкой Ь, то и, наоборот, точку Ь можно соединить с точкой а, Это можно сделать при помощи пути, обратного пути 5. Он обозначается через 5-' и определяется формулой ') !1. К ЛИНЕПНАЯ СВЯЗНОССЬ 50б До к аз а тельство, Хотя зто утверждение н достаточно очевидно, мы его докажем во всех деталях. Пусть 1А,),, — произвольное семейство линейно связных множеств в топологнческом пространстве Х„ а точка ха — общаядля всех множеств А„: х, ев П А,. а аl Как мы знаем, чтобы доказать линейную связность множества ) ) А„нужно для произвольных двух аа! его точек а и Ь указать соединяющий их путь, который лежал бы в этом множестве.
Если, например, а ев А н Ь ~ Ав для некоторых индексов а, р е= 1, то в силу линейной связности множеств Аа н Ав точку а можно соединить в А„с точкой ха некоторым путем з5, а точку ха можно соединить в Ав с точкой Ь некоторым путем зь Тогда путь з! зь лежащий в А,0 Аа с: ) ) А„соедн- аа! няет точку а с точкой Ь И ЯВЛЯЕТСЯ ИСКОМЫМ а ага А 1р5!с. 11). П АО Компоненты линейной л АЛ связности топологнческого пространства. Особый интерес представляют Рис. 11 максимальные линейно связные подмножества топологнческого пространства. Для ннх имеется специальное название. Компонентой линейной связности пространства Х называется всякое его линейно связное подмножество, не содержащееся нн в каком строго большем линейно связном подмножестве пространства Х.
Теорема 2. Две компоненты линейной связности либо не пересекаются, либо совпадают. Д о к а з а т е л ь с т в о. Объединение двух пересекающихся компонент линейной связности, в силу теоремы 1, есть линейно связное множество, которое к тому же содержит обе исходные компоненты. По определению, они должны совпадать с этим множеством и, значит, друг с другом.
П Теорема 3. Каждая точка пространства содержится в некоторой его компоненте линейной связности. ЧАСТЪ 5. ТОПОЛОГИЯ Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что среди всех линейно связных множеств, которые содержат данную точку, имеется наибольшее: им является объединение всех этих множеств. Оно линейно связно в силу доказанной ранее теоремы !. П Теоремы 2, 3 означают в совокупности, что всякое топологическое пространство является объединением своих попарно непересекающихся компонент линейной связности.
Другое название для компонент линейной связности — линейно связные компоненты. Линейная связность и отображения. Вернемся к линейно связным пространствам. Нетрудно убедиться, что линейная связность — топологическое свойство. Это естественно, поскольку она определяется чисто в топологических терминах. Мы получим это в качествс следствия из некоторого более сильного утверждения. Теорема 4. Ггепрерывг ный образ линейно связного пространства линейно связен. То есть если — Ь Г- ~ — ° р.р.- йх! Г*' отображение и пространство Х линейно связно, то Рис.
!2 и множество [(Х) линей- но связно. Д о к а з а т е л ь с т а о. Докажем, что две произвольные точки а, Ьеи[(Х) можно соединить в [(Х) путем. Пусть а = ((х), Ь = [(у), где х, у ~ Х, Тогда если з — путь, соединяющий в Х точки х и у, то путь ) ° з, соединяющий, очевидно, точки а и Ь, искомый (рис.
!2). Е) Пример. Окружность В' линейно связна, поскольку она является образом отрезка [О, 2п] при стандартной параметризации [: [О, 2п1 — К', [(Г) = (соз (, з(п (), Следствие. Топологическое пространство, гомеоморфное линейно связному пространству, само является линейно связным. Таким образом, линейная связность есть топологическое свойство. Доказательство. Если 1: Х- У есть гомсоморфизм линейно связного пространства Х на пространство у, то пространство у линейно связно, как н. я линеЙнАя связность 507 образ линейно связного пространства Х при непрерывном отображении 7. П Связность н линейная связность.
Выясним теперь соотношение между связностью и линейной связностью. Теорема 5. Пинейно связное топологическое пространство связно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Х вЂ” линейно связное топологическое пространство. Чтобы доказать, что оно связно, воспользуемся критерием связности. Для этого нужно для произвольных точек а, Ь еи Х найти содержащее их связное множество. Если з: [О, 1[- Х— у=з1ппуть, соединяющий точки а и Ь, то таким множеством 1/в будет множество в([О, 1[) — [ «траектория» пути в, — которое связно как образ связного пространства [О, 1[ при непрерывном отображе- Рис.
13 нии е. П Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: существуют связные, но ие линейно связные пространства. Пример. Рассмотрим непрерывную функцию 1т 1 1: (О, — з1 — » 1«,заданную формулой 7(к) = э)п-. Пусть А с: К' — ее график. Множество А связно н даже линейно связно. Поэтому его замыкание с!А (рис. 13) тоже связно. Но нетрудно видеть, что оно — зто замыкание — не линейно связно: точки отрезка с1А'~А нельзя соединить путем с точками из А (наглядно это довольно очевидно, но мы не будем этого доказывать, а оставим читателю в качестве ие очень трудного упражнения). Заметим, что попутно мы получили пример линейно связного множества, замыкание которого ужа не линейно связно. Это еще одно различие между связностью и линейной связностью.
Критерий линейной связности. Бросается в глаза некоторая экзотичность приведенного примерз (для пространства Х = с! А есть даже специальное название — «польский отрезок»). Это не случайно. 808 ЧЛСТЬ 5 ТОПОЛОГИЯ Во многих важных ситуациях связность и линейная связность равносильны. Например, поскольку все интервалы на прямой линейно связин, а все остальные подмножества прямой несвязны, то для подмножеств прямой эти свойства равносильны. Еше более широкий критерий линейной связности связных пространств и множеств дается пунктом в) следующей теоремы (пункты а) и б) понадобятся нам в й 1 гл.
П1). Теорема 6. Пусть а топологичгском пространстве Х каавдая точка обладает линейно связной окрестностью, Тогда а) компонента< пространства Х являются Одновременно его линейно связными компонентами; б) компоненты пространства Х открыты в нем; и) если пространство Х связно, то Оно и линейно ЕВЯЛНО. Доказательство основано на слсдуюшсй лемме. Лемма. Всякая линейно связная компонента пространства Х открь<та.
Действительно, все точки множества (. внутренние, поскольку с каждой своей точкой множество Е содержит ее линейно связную окрестность. П Доказательство теоремы 6. Начнем с пунктов а) и б). Каждая компонента С пространства Х очевидным образом разбивается на линейно связные компоненты. Все они, в силу леммы, открыты.
Следовательно, компонента С также открыта, и пункт б) доказан. Далее, если бы этих линейно связных компонент было больше одной, то мы получили бы противоречие со связностью компоненты С. Следовательно, в разбиении участвует только одна линейно связная компонента Е, и она, очевидно, совпадает со всей компонентой С. Этим доказан пункт а). Пункт в) легко следует из пункта а), Если пространство Х связно, то Х является (единственной) своей компонентой. Тогда в силу пункта а) пространство Х является также своей линейно связной компонентой и, следовательно, линейно связно.
Теорема 6 полностью доказана. П Следствие 1. Для открытых множеств в евклидоеом пространстве связность и линейная связность равносильны. гг.з хкусдОРФОВОсть 509 Доказательство. Пусть (/~ К" — пропзвольиое связное открытое множество. Чтобы доказать его линейную связность, достаточно, в силу теоремы 6, у каждой его точки найти линейно связную окрестность. Такой окрестностью будет, например, любая остаточно малая ша о ая д в окрестность этой точки.
(Л Напомним, открытое связиое множество в евклидовом пространстве называется областью (рис. 14). Следствие 2. Открытое множество в евклидоаом ггространстае имеет не более чем счет- Ряс. 14 ное число компонент. Д о к а з а т е л ь с т в о в качестве упражнения. (Надо воспользоваться, например, тем, что в каждой компоненте должна содержаться точка, у которой все координаты — рациональные числа, а всего таких точек — счетное число.) П $ 3.
Хаусдорфовость В определении топологпческого пространства участвуют три аксиомы, Их уже достаточно для довольно содержательной теории Но запас топологических пространств очень велик. Важнейшие из иих— метризуемые — составляют лишь небольшую часть этого запаса. Поэтому часто ограничиваются рассмотрением пространств, удовлетворяющих различиым дополнительным требованиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
