1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 85
Текст из файла (страница 85)
21). Таким образом, в окрестности 0 точки х, можно ввести систему координат, в которой положение точек, близких к хс, будет описываться и параметрами. Допуская вольность речи, можно сказать, что вблизи точки х, пространство Х «имеет а измерений». Поскольку и-мерное г Иг Рис. М' Рис. 21 евклидова пространство гомеоморфно открытому евклидову шару: й" си В', то в приведенном определении вместо Й" и Й+ можно говорить об открытом шаре и полушаре или просто об открытом множестве в Р»" Примеры. 1, Топологнческое пространство является локально евклидовым размерности 0 в том и только в том случае, если оно дискретно.
2. Числовая примая К', окружность Ь', луч [О, -1- Оь), интервал [О, !), отрезок [О, !) являются одномерными локально евклпдовымн. 3. Локально евклидовымн размерности а являются сами пространство !!" н полупространство й+, произвольные пх открытые подмножества, а.мерная сфера 5" и п«мерный шар Р", а также и-мерное проективное пространство. 4. Любое открытое подмножество а-мерного локально евклидова топологического пространства само является и-мерным локально евклидовым. ць ь хпюгоовгхзия с кРАем и Без кРАя 521 Локальная евклндовость — очень сильное требование, но само по себе оно не гарантирует выполнения других довольно естественных топологнческих свойств.
Приведем пример, который показывает, что локально евклидова пространство может не быть хаусдорфовым. Пример. Рассмотрим множество Х на плоскости, состоящее из всех точек оси абсцисс и еще одной точки — например, точки с координатамн (О, 1), рис. 22: Х=К'() ((0,1))с= 11' '). Введем в множестве Х топологическую структуру: обьявим открытыми те множества в Х, образы которых при проекции р: Х- К' множества Х на ось абсцисс открыты в»('.
В этой топологии пространство Х локально евклидова размерности 1, поскольку его можно но- рис. 22 крыть двумя открытыми множествами, гомеоморфными числовой прямой: Х= = и'0(Х',((0,0))). В то же время пространство Х не хаусдорфово: точки (О, 0) и (О, 1) не обладают в нем непересекающимися окрестностями. Действительно, пусть () и У вЂ” произвольные окрестности этих точек. Тогда р(()) и р(У) — окрестности точки 0 ~ К'.
Поскольку множества р(У) н р(У) заведомо имеют общие точки, отличные от О, а прообраз любой такой точки должен содержаться в ()() У, то н (Г() ДУФИ, В следующем основном определении нам будет удобно воспользоваться термином «евклидова множество»: открытое множество в и-мерном локально евклидовом пространстве назовем евклидовым, если оно гомеоморфно открытому множеству в полупространстве Й~ (т. е.
пересечению с й+ открытого множества в К"). Основное определение. Типологическое пространстство Х называется и-мерным типологическим многообразием, если оно: а) локально евклидова размерности и; ') Здесь и' = ((х, у) ~н Кь(у = О). 52» чАсть к топологич б) хаусдорфово; в) обладает покрытием, состоящим из не более чем счетного числа евклидовых открытых множеств. Условие в) означает, что пространство Х неслишком велико. Часто его заменяют другими условиями: так называемыми сепарабельностью или второй акояомвй счетности.
Условие в) автоматически выполнено, например, для компактных локально евклидовых пространств. Без доказательства отметим, что вно гарантирует метризуемость пространства Х и даже вложимость его в евклидово пространство достаточно большой размерности. В дальнейшем мы часто будем называть топологическне многообразия просто многообразиями. Примеры.
1. Всякое не более чем счетное дискретное пространство является нульмерным топологическнм многообразнем. В то же время несчетное дискретное пространство (например, множество вещественных чисел, наделенное дискретной топологией) топологическим многообразием не является, Для него выполнены условия а) н б) определения, но не выполнено условие в): всякое евклидово открытое множество в дискретном пространстве состоит из одной точки, и в силу несчетности пространства никакой счетный набор таких множеств покрытия не образует. 2. Пространство )«", полупросгранство м+, их открытые подмножества, сфера $", шар 0" — все являются л-мерными топологическими многообразиями. То, что они локально евклидовы, мы уже отмечали.
Хаусдорфовость их очевидна. Наконец, что касается их евклидовых покрытий, то Й", Й+ и нх открытые подмножества сами образуют одноэлементные такие покрытия, а сфера 5" и шар Р" могут быть покрыты двумя евклидовыми множествамн: дополнениями«северного полюса» и «южного полюса» соответственно. 3. Открытое множество в и-мерном топологическом многообразии само является и-мерным топологическим многообразием. Компоненты топологических многообразий. Поскольку всякое многообразие локально евклидово, то оно очевидным образом локально линейно связно.
Теперь из теоремы 6 $2, гл. П следует такой результат. Н!. !. МНОГООБРАЗИЯ С КРАЕМ И БЕЗ КРАЯ 523 Теорема 1. а) Компоненты топологического многообразия являются одновременно его линейно связным и компонентам и. б) Компоненты п-мерного многообразия открыты в нем и, следовательно, являются и-мерными многообразиями. П Следующая теорема ограничивает возможное число компонент.
Теорема 2. Многообразие Х состоит из не более чем счетного числа компонент. Компактное многообразие имеет лишь конечное число компонент. Доказательство. По определению, Х можно покрыть счетным числом евклидовых открытых множести: Х= Ц У!. Каждое из открытых множеств И!, ! ! будучи евклидовым, имеет, самое большее, счетное число компонент (см. гл.
11, $2, второе следствие из теоремы 6). Поскольку объединение счетного числа не более чем счетных множеств счетно, то мы получаем, что Х можно покрыть счетным числом связных множеств: Х= Ц АР Далее, так как каждая компо- У ! пента пространства Х содержит по крайней мере одно нз множеств Аь причем разные компоненты, очевидно, содержат разные множества, то компонент не может быть больше, чем множеств Аб т. е. число компонент не более чем счетно. Пусть теперь многообразие Х компактно. Поскольку его компоненты образуют, очевидно, открытое покрытие пространства Х, то Х можно, в силу компактности, покрыть конечным числом компонент.
С другой стороны, в таком подпокрытии должны участвовать все компоненты. Следовательно, их число конечно. П Информация без доказательства. Существуют связные (заведомо некомпактные) локально евклидовы хаусдорфовы пространства, не являющиеся многообразиями (они не допускают счетного покрытия открытыми евклидовыми множествами). Инвариантность размерности многообразия. Остановимся подробнее на понятии размерности многообразия. Вполне осмысленным является вопрос: моясет ли многообразие размерности и быть одновре- чхсть э.
Топология менно многообразием размерности и при и чь и? Ответ на него отрицательный. Таким образом, размерность многообразия является его топологнчсскнм ннварнантом. Для доказательства надо заметить, что в противном случае мы нашли бы у некоторой точки многообразия окрестность, гомеоморфную одновременно открытому множеству в К и открытому множеству в К".
Это невозможно в силу следующей теоремы. Брауэра, которую также называют «теоремой об ннвариантности области>. Она утверждает, что свойство множества в евклидовом пространстне быть областью топологически инвариантно, другими словами — это топологическое свойство. Теорема 3 (Брауэрв об инвариантности области). Если множества А и В в евклидовом пространстве К" гомеоморфны и множество А открасто, то и множество В открыто. Следствие. Евклидовы пространства разных размерностей негомеоморфны: если и Ф и, то К ф К". Теорема Брауэра бессодержательна при п =О и несложно доказывается при и=1.
Уже при а=2, а тем более при и ) 3 ее доказательство представляет значительные трудности, хотя и может бытьсделано совершенно элементарным. Доказательство следствия. Пусть, для определенности, и ( п. Положим, в условиях теоремы 3, А = К" и В = К"'. Тогда теорема 3 утверждает; что К открыто в К" (?1). О Край топологического многообразия. Точка х, в и- мерном многообразии называется внутренней, если она обладает окрестностью, гомеоморфной евклидову пространству К" (не путать с внутренними точками множества в топологическом пространстве!).
Точка к, называстся краевой, если у нее существует окрестность (l, гомеоморфная полупространству К".„причем связывающий пх гомсоморфизм 1. Ц вЂ” а К~ переводит точку х„на границу полупространства К.а (ср. рис. 21). Краевые точки многообразия Х образуют его край, который обозначается через дХ. Многообразия, все точки которых являются внутрсниими, называются многообразиями без края, а многообразия, у которых есть краевые точки, называются многообразиями с краем. Многообразие без края называется !!!. !. м(югооагхзия с килем !! вгз кРАя 525 замкнутым, если оно компактно, н называется открытым, если у него пст компактных компонент.
Примеры. 1. Все точки в К" и 5" являются внутренними. В К! и с! точки, не лежащие на границе, являются внутреннимн, а точки, лежащие на границе — краевыми. Таким образом, К" и Ь" — многообразия без края, причем Ь!! — замкнутое, а К" — открытое, а К+ и Р" — многообразия с краем. 2. Примерами двумерных многообразий без края являются поверхности в К": кроме сферы это тор, крендель (все это замкнутые многообразия), однополостный и двуполостный гиперболоиды (это открытые многообразия) и т.
и. (рис. 23). Особо стоит отметить выпуклые многогранные поверхности, такие как куб, призма, пирамида и т. д. Все они гомеоморфны сфере и тем самым являются замкнутыми двумерными многообразиями (рис. 24). 3. Примерами двумерных многообразий с краем служат: а) замыкания различных плоских областей: кроме круга это кольцо, круг с дырами и т. п. (рис. 25); б) замыкания различных открытых множеств в двумерных многообразиях без края: «сфера с дырами», «тор с дырами», «крендель с дырой» и т. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
