1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 88
Текст из файла (страница 88)
47 Р. Удобно стороны, образующие отмеченную пару, обозначать одной буквой, а ориентацию указывать стрелкой. Выкройку, состоящуЮ из одного многоугольника, назовем разверткой поверхности Р. Примеры. На рис. 47 приведена выкройка тетраэдра, соответствующая его триангуляции, на рис. 48 — выкройка сферы с тремя дырами. На Рис. 4В рис, 49 изображены развертки известных правильных многогранников, на рис. 50 — развертки трубки, листа Л1сбиуса, тора, бутылки Клейна,, проективной плоскости (2 штуки).
На рис. 51 — развертка сферы с двумя ручками. Аналогично выглядит развертка сферы с произвольным числом ручек. Такая развертка называется канонической. На рис, 52 изображена развертка сферы с тремя дырами. Так же выглядит развертка сферы с большим числом дыр. ЧАСТЬ 6. ТОПОЛОГИЯ Замечании. 1. В случае триангуляции удобнее отмечать одной буквой не пары сторон, а вершины, соответствующие одной н той же вершине триангуляции. 2. Можно показать, что всякая выкройка определяет некоторую поверхность с краем — так сказать, результат склеивания (или сшивания) кусков выкройки по сторонам, объединснным в пары.
Рие. 51 Рис. 52 Приступим к доказательству теоремы. Пусть г"— произвольная ориеитируемая замкнутая поверхность. Рассмотрим какую-нибудь ее выкройку (например, выкройку из треугольников, соответствующую какой- нибудь триангуляции этой поверхности).
Занумеруем произвольным образом отмеченные пары сторон многоугольников, образующих выкройку. Рассмотрим первую отмеченную пару сторон. Если это стороны разных многоугольников выкройки, то выбросим соответствующую им одномерную клетку из разбиения поверхности.
При этом две двумерные клетки сливаются в одну. Новому разбиению будет отвечать выкройка, в которой вместо двух прежних многоугольников участвует один, соответствующий новой двумерной клетке, см. рис. 53. Если же эти стороны принадлежат одному и тому же многоугольнику выкройки, то изменим разбиение следующим образом. 1!1. Ф КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Эаэ Разобьем одномерную клетку, соответствующую нашей паре сторон, на трн.
При этом придется добавить к разбиению н две одномерные клетки, каждая нз которых «начинается н оканчивается» в одной нз новых нульмерных клеток. Прн этом прежняя двумерная клетка разобьется на трн новых. Чтобы получить соответствующую выкройку, надо заменить и+ а — а Рис. ЗЗ рассматриваемый многоугольник на тс три, которые получаются нз него прн разрезания вдоль двух непересекающихся отрезков, соединяющих отмеченные стороны.
Прн этом образуются пять новых отмеченных пар сторон вместо одной исходной; см. рис. 54. а2 аз а1 а2 аз Рнс. 54 Наш выбор ориентации для сторон, обозначенных буквой а, требует пояснений. Если бы одна из них была ориентирована в другую сторону, то средний четырехугольник, входящий в новую выкройку (на рнс.
54 заштриховав) давал бы нам развертку листа Мебиуса, содержащегося в поверхности г. А это невозможно в силу ее ориентнруемостн. В частности, отдельно взятый средний четырехугольник образует развертку кольца. Теперь проделаем то же самое со второй отмеченной ларой сторон, потом с третьей и т.
д. (При этом мы не будем затрагивать пары сторон, образовавшиеся на предыдущих этапах. Речь идет лишь об ЧАСТЬ В. ТОПОЛОГИЯ исходно занумерованных парах.) По Окончании этой процедуры мы получим выкройку исходной поверхности, в которой каждый многоугольник будет либо четырехугольником вида либо иметь вид Соответствующие замкнутые клетки будут гомеоморфны либо кольцу, либо сфере с дырами, причем Рис.
55 клетки последнего типа будут пересекаться только с кольцевыми клетками, т. е. с трубками. Таким образом, мы нашли несколько трубок, замыкание дополнения к которым состоит из нескольких сфер с дырами. Для окончания доказательства нам потребуется еще одно описание сфер с ручками. Предположим, что в ориентируемой поверхности г можно выделить несколько попарно непересекающихся трубок, так чтобы замыкание дополнения к ним состояло нз и компонент, каждая из которых была бы гомеоморфна сфере с дырами (рис.
55). Тогда индукцией по и можно показать (как это намечено и!. е. кльссиеикьция повегхностси ниже), что поверхность р гомеоморфна сфере с ручками. Для и =1 это выполняется по определению. Если н ) 2. то всегда найдутся две компоненты (на рисунке 55 это компоненты А и В) и «соединяющая нх» трубка (на рис.
55 — трубка С), объединение которых гомеоморфно сфере с дырами (рис. 56). Ясно, м м г- д чьев чь мю Рвс. ББ далее, что замыкание дополнения к остальным трубкам (кроме трубки С) состоит уже из и — ! компонент, каждая из которых по-прежнему гомеоморфна сфере с дырами, Осталось воспользоваться индуктивным предположением. Теорема доказана. П В качестве очень полезного и интересного упражнения предлагаем читателю проследить все детали доказательства на примере многогранников, как онн определены в 5 4 гл. 11 ч. 2. А именно, докажите, что всякая замкнутая многогранная поверхность гомеоморфна.сфере с несколькими ручками.
$3 А. д. Алекса!арок и. Ю. нецеетеев Часть 6 ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ В заключительной части, во-первых, даются более глубокие, чем во второй части, основания евклидовой геометрии. А именно, приводится ее аксиоматика, в которой отсутствуют аксиомы о геометрических величинах (длине отрезка, мере угла, площади, объеме). Эта аксиоматика уже не опирается на понятие действительного числа. Решению проблемы измерения геометрических величин посвящены, в основном, первые две главы атой части.
В них же обсуждается важное понятие величины и дается его аксиоматическое определение. Третья глава посвящена так называемым общим вопросам аксиоматики. Кроме того, в ней даются и сравниваются различные аксиоматикн евклидовой геометрии. Наконец в последней главе дается обзор различных геометрий, начиная с геометрии Лобачевского и кончая псевдоримановой геометрией — математической основой общей теории относительности. Глава ! ОЕИОВАиия Геометрии Теперь мы войдем в основания геометрии глубже, чем это было сделано в гл. 1 ч.
2. Там результаты измерения отрезков и углов — численная длина и мера угла — были введены прямо в аксиомах. Здесь же будут даны аксиомы, которые обеспечивают саму возможность измерения отрезков и углов. Кроме того, некоторые аксиомы, сформулированные в гл. 1 ч, 2, будут заменены другими, содержащими более слабые требования, или разделены на части так, чтобы каждая аксиома выражала только одно условие. (Например аксиома, что две точки соединимы отрезком, и притом только одним, содержит ь ь лнненные аксиомы Ь4Ч два условия: существование отрезка и его единственность.) Основные объекты и отношения будут те же что в гл.
1 ч. 2. ф 1. Линейные аксиомы Основные объекты: 1) точки, 2) отрезки. Основ н ые отношения: 1) точка является концом отрезка, 2) точка лежит на отрезке, 3) два отрезка равны друг другу (обозначенне: а = Ь). Если точка М лежит на отрезке а нлн является его концом, то мы говорим, что она принадлежит отрезку, и применяем обычную запись М ~ а. Соответственно применяем обычные обозначения; ос= Ь, с = а Ц Ь, где а, Ь, с — отрезки, и т. и. 1. Аксиомы связи отрезков и концов. 1ь Для каждого отрезка существуют двг тачки, являющиеся гго концами. ! ь Для каждого отрезка существует не более двух точек, являющихся его концами.
1,. Для каждых двух точек существует отрезок, концами которого они являются. 1,. Существует не более одного отрезка с данными концами. Этн аксиомы дают основание к тому, чтобы обозначать отрезок его концами: АВ и т. и. П. Аксиомы о точках на отрезках. Пь Для каждого отрезка существует хотя бы одна лежащая на нем точка. и. Е С АВ, АВ=АСЦВС. Пм Если С на АВ, то АС П ВС = С. Пч. Если один отрезок содержит конец и еще одну точку другого, то они образуют один отрезок. Отрезок не мыслятся как множество точек, и потому, строго говоря, нельзя сказать, что объеднненне А С Ц ВС есть отрезок. Равенство А В = А С Ц ВС означает, что; (1) каждая точка отрезка АВ прннадлежит АС нлн ВС, (2) точки отрезков АС, ВС прннадлежат АВ. Такой же смысл имеет утверждение аксиомы Пч. если отрезкн а, Ь удовлетворяют ее условиям, то существует такой отрезок с, что с= аЦЬ в указанном выше смысле. Равенство АСПВС С означает, что у отрезков АС, ВС есть единственная общая точка С.
ЧАСТЬ 6. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ 54в Аксиомы Пз, П, выражают, что если С на АВ, то отрезок АВ составлен из отрезков ЛС, ВС, как это сформулировано в гл. 1 ч. 2. Понятно, что аксиомы Па, Пз выражают разные условия и поэтому разде- лены '). Условие аксиомы П, является частным случаем требования аксиомы 1г в гл. ! ч. 2. Там говорится об отрезках, у которых есть, вообще, две общие точ- ки, здесь же одна из них является концом одного из отрезков. Сказанное в аксиоме 1, гл. 1 ч. 2 будет доказано в качестве теоремы. Укажем основные следствия из высказанных ак- сном. Прежде всего напомним три теоремы, доказан ные в гл.
1 ч. 2; их доказательства сохраняются поскольку основаны на тех же аксиомах. Теорема 1. Точка, лежащая на отрезке, не яв- ляется его концом (а потому и конец не лежат на отрезке). П Теорема 2. Если точки С и 0 принадлежат от- резку АВ, то всякая гочка, лежащая на СР, лежит также на АВ. П Теорема 3. Отрезок определяется принадлежа- щими ему точками. П Теперь две новые теоремы.
Теорема 4. Если С и 0 на АВ, С~ О, то либо С на АР, либо Р на АС (иначе говоря, если С не на АР, го 0 на АС), Доказательство. Пусть С, 0 на АВ, и пусть прн этом С не на АР. Докажем, что тогда 0 на АС. Так как С не на ЛР, то, по аксиоме деления Пз, С на ВО. Допустим, что 0 на ВС, и тем самым, по аксиоме П,, ВС = ВО () РС. Но это противоречит тому, что С на В0. Следовательно, не может быть 0 на ВС, н, значит, по аксиоме Птн 1) на АС, что и тре- бовалось доказать. П Теорема 5. Если С на ЛВ, а А( на АС и Аг на ВС, то С на МА(.
') Собственно Говоря, равенство АВ = АС() ВС, т. е. что отрезок служит объединением двух, выражает два условия: (1) ЛВ э ЛС () ВС (2)АВ с ЛС () ВС. Поэтому аксиому 11з надо бм еще разделить на две: (а) если С на АВ и М иа АС, ао МЧАВ и, меняя обозначения, еслм М на ВС, то М гнЛВ, (б) если С на АВ и М на АВ, то М енАС или М ен ВС. ь ь лииениые АксиОмы Доказательство. Так как У на ВС, то, по теореме 4, С на Л)ч'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
