1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 92
Текст из файла (страница 92)
П Теорема 3. Выполняется утверждение аксиомы деления плоскости Чь Доказательство. Пусть а — данная прямая. По аксиоме Ч, есть точка, не лежащая на а. Соеди- часть ь. основания гаометгин ним эту точку А с какой-либо точкой Р еп а и продолжим отрезок АР за точку Р. Получаем отрезок АВ, пересекающий прямую а. Точки М такие, что АМ не имеет с а общих точек, относим в класс Рл, остальные точки, не принадлежащие а,— в класс Рв, в этом классе точка В.
Если М, М'еп Рь то ММ' не пересекается с а (так как иначе, по аксиоме Паша, а должна была бы пересекать АМ илн АМ'). Пусть )ч', )ч'еп Рр., это значит, что АУ и АФ' пересекают а, а следовательно, по теореме 2, Уй(' не пересекает а. Таким образом, все точки, не принадлежащие прямой а, разделены на два класса, как и требуется аксиомой деления плоскости. Б ф 5. Алгебра углов. Измерение углов Для углов имеет место «алгебра», аналогичная алгебре отрезков, с той, однако, разницей, что углы ограничены развернутым углом, а отрезки не ограничены. Теорема 1. Отноигение равенства углов рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенство углов определяется равенством соответственных поперечин, т. е. через равенство отрезков. Поэтому оно так же реф лекснвно, симметрично н транзнтивно, как равенство отрезков (проследите это заключение в деталях). П Дальнейшие выводы, относящиеся к алгебре углов, основаны на теоремах о равенстве треугольников. Эти теоремы доказаны в гл. 11 ч. 2 на основе аксиомы о равенствах углов, так что мы можем и теперь нми пользоваться, прежде всего, в следующей теореме о смежных углах.
Теорема 2. Углы, смежные равным углам, равньп Доказательство. Пусть О, О~ — равные углы (обозначаемые их вершинами). На их сторонах отложим равные отрезки: ОА = 01А, — на общих сторонах этих углов и им смежных, и ОВ = О,В1 — на других сторонах. На продолжении этих сторон отложим также отрезки ОС=О,С1 (рнс. 1!), так что вс=в с. Треугольники ОАВ, 0141В~ равны по двум сторонам н углу между ними (так как с.'О ==- ~0, по уст !.к клгивга тглов. измагания тглов аат ловию). Поэтому ~В= г.В! и АВ= А,Вь И треугольники АВС, А!В!С, равны по двум сторонам и углу между ними (г. В = ~В!).
Поэтому АС = А!С!. Таким образом, у треугольников ОАС, О,А,С! стороны равны, а значит, равны их углы при вершинах О, О!, что и требовалось доказать. 0 л л! в с, Рис. 1! Из теоремы 2 выводится обратная ей Теорема 3. Пусть углы аЬ, а,Ь, равньь угол Ьс— смежный с аЬ и к углу а,Ь, саристроень угол Ь,с<, равный Ьс.
Тогда этот угол оказывается смежным с углом а!Ь| (рис. 12), (кПристроеиэ — значит, а с Рис. 12 сторона 6! у них общая, а а, и с! лежат по разные стороны от нее.) Доказательство. Пусть выполнены высказанные условия. Продолжив сторону а! угла а!Ь! за вер'- шину, получаем угол Ь|см смежный с а!Ь!. И так как ~а!Ь! — — г'.аЬ, то, по теореме 2, л'.Ь|сз — — г.
Ьс. Но, по аксиоме откладывания угла, от отрезка Ь, от данного его конца можно отлоисить по одну сторону от Ь! только один угол, равный данному л'.Ьс. Следовательно, ~Ь|с! совпадает с ~Ь!сз, т. е, он смежный с а!Ь|, что и требовалось доказать. П Мы говорим, что угол аЬ составлен из углов ас, Ьс, если отрезок с проходит в угле аЬ; а этом случае мы также говорим, что л.аЬ слагается из л.ас, г'.Ьс или является их суммой (рис.
!3). ЧАСТЬ Е ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ ива Если угол аЬ развернутый, то каждый отрезок е с концом в его вершине (не налегающий иа его стороны) условимся считать проходящим внутри угла аЬ н угол аЬ считать составленным из углов ас и Ьс. Углы эти, как было определено, смежны. Для сложения углов выполняется теорема, аналогичная аксиоме сложения отрезков. Теорема 4 (о сложении углов). Рис 13 Углы, составленные из равных иглов, равны, т.
е. если отрезки с, с, проходят внутри углов аЬ, а1Ь1 и при этом г' ос = =х ась ~ Ьс=х Ь|сь то также лаЬ =.~ а Ь, (рнс. 14). До к а з а тел ь с т в о. Проведем доказательство для случая, когда «сумм໠— настоящий (не развернутый) угол. Пусть даны углы аЬ, а|Ь1 с вершинами Рие. !4 О, Оь причем угол аЬ вЂ” настоящий. Пусть отрезки с, с~ проходят внутри углов аЬ и а~ЬН причем ~ос: = ~а~си ~ЬС= ~Ь,СН Так как угол аЬ вЂ” настоящий, то отрезок е пересекает какую-то его поперечину АВ (А на а, В на Ь). Пусть С вЂ” точка пересечения отрезка с и поперечины АВ (рис. 15).
На отрезках аь Ьь с, возьмем точки А„ВН С, так, что О,А, = ОА, О,В, = ОВ, О,С, = ОС (если отрезки а„ Ьь е, «не дотягивают» до этого, то их можно продолжить). Тогда, по равенству углов при О и Оь будет Л ОАС=ЛО,А,СО ГРОВС=.СьО,В,СН (1) Тем самым углы при С и С| в этих треугольниках равны. |.а хлгеввх вглов. измаввнив вглов 669 Но углы при С вЂ” смежные. Поэтому углы при С| тоже смежные, как следует из теоремы 3. Стало быть, отрезки А|С|, В,С, образуют один отрезок А|В|. И так как, ввиду (!), А,С| =АС, В|С| — — ВС, то, по аксиоме сложения, также А|В| — — АВ. Таким образом, у треугольников ОАВ, О|А|В| все стороны равны, а 01 Рас. !6 л, а, -а значит, л'.О = л'.Оь т. е.
л'.аЬ = ~а|Ьь что и тре- бовалось доказать. П Теорема 4 сложения углов доказана, когда хотя бы один составной угол — настоящий. Тогда выходит, что и другой — настоящий. Случай, когда оба угла развернутые, решается следующей теоремой„ Теорема 5. Все развернутые угли равна|. Доказательство. На сторонах двух развер- нутых углов О, О| возьмем точки А, В и А|, В, так, что ОА = О|А|, ОВ =О|В|. Тогда, по теореме 1 $6 гл, 1, л О, в, ч. 2 о расположении отрезков, р ОА,ОВ О,А,,О,В, ,, „р, Ав, А,в, (рис.
16). Поэтому, согласно Рве. 16 аксиоме сложения отрезков, АВ =А|Вь т. е. поперечины равны, и, стало быть, г.' О = .~ О|, что и требовалось доказать. П Теперь мы обобщим понятие о сложении углов буквально так же, как мы обобщили в начале 5 2 понятие о сложении отрезков. Определение. Мы говорим, что угол а представ- ляет сумму углов 1) и т, и пишем а = р+ т, если угол а составлен из углов, равных р и Т, нлн, вообще, ра- вен углу, составленному из таких углов. чАсть к ОснОВАния гаомвтгин 570 Операцию сложення даяных углов () н у можно представнть так.
Строим угол ас, равный й, н пристраиваем к нему угол сЬ, равный Т, т. е. строим угол, равный у, со стороной с — той же, что у угла ас, но с другой стороны от нее (рнс. 17). Прн этом может оказаться, что сторона с уже не будет проходить между и и Ь: суммарный угол получится больше развернутого. Рис 17 Дальше мы определим н рассмотрим такие углы, но пока мы этого делать не будем, ограничиваясь сложением углов, когда сумма оказывается, самое большее, развернутым углом.
Так же, как для отрезков, определяем прн нату- 1 ральном н угол ла н угол — а (помня, что угол ла должен быть не больше развернутого). Далее, так же, как для отрезков, определяем вычитание углов: называем нх разностью у =а — р такой угол, что й+ у = а, если есть такой Т. Точно так же определяем: а'- р, если есть такой угол Т, что а=()+ у (рнс. 17). Как н для отрезков, доказывается Теорема б. Если а» р и а~ =а, й1 =(), то а, ) )~ьа,— й,=а — й.
Эта теорема отличается от соответствующей леммы нз ф 2 для отрезков лишь тем, что вместо концов А, В н подобных отрезков появляются стороны углов а, Ь н т. п, (большие буквы заменяются на строчные) н вместо откладывания отрезка вдоль данного отрезка появляется откладывание угла с той же стороны, где данный угол. !. К АЛГЕБРА УГЛОВ. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ 67! Соответственно и доказательство получается такой заменой в доказательстве для отрезков, а вместо ссылки на аксиому сложения отрезков ссылаемся на доказанную теорему о сложении углов. Читателю полезно самому провести получающееся доказательство.
П В итоге получаем: Теорема 7 (об алгебре углов). Для углов наряду с основным понятием равенства определены операции сложения и вычитания и отношение <больше— меныиг». При этом оказывается, что эти операции и отношение обладают такими же свойствами, как для положительных чисел, нг превосходящих какого-либо данного числа (соответственно тому, что углы не болыие развернутого).
Именно, прежде всего выполняется следующее: 1. Для любых двух углов а, () таких, что й ( Р', где р' — угол, смежный с оь определена их сумма. 2. Выполняются переместитгльный и сочгтатгль ный законы сложения. П Выполняются также пять свойств, какие для отрезков сформулированы в конце $2. Доказательства всех этих свойств получаются точно так же. Проследить все этн выводы мы предоставляем читателю в качестве очень полезного упражнения, когда доказательство не просто повторяется, а повторяется с некоторыми небольшими изменениями в других условиях. В частности, прн натуральном и, если а = р, то 1 — и = — й.
Это включает, что половины равных углов и и равны (и так как угол равен самому себе, то его половины равны; соответственно биссектриса угла только одна). Применяя зто к прямому углу, т. е, к половине развернутого угла, получаем: (1) Всг прямые угль! равны. (2) Через данную точку на отрезке проходит только один перпендикуляр (один с точностью до удлинения и укорочения) . Саерхтупые углы. Прибавляя какой-нибудь угол к развернутому углу, получим <сверхтупой угол».Два неналегающих отрезка с общим концом определяют два угла, либо развернутые, либо если один не развернутый, то другой сверхтупой. Он отличается тем, 572 чАсть к ОснОВАния Геомнттии что если продолжить сторону угла за вершину, то он представится как сумма развернутого и настоящего угла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
