1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Если угол а составлен из углов аь аг, то его величина равна сумме нх величин, чАсть а. ОснОВАния Геометьин ба2 Следует оговорить, что величина угла — это величина «с ограничением»: она не может быть больше величины развернутого угла или, при другом взгляде, больше двух развернутых углов. Поэтому здесь аксиомы сложения должны быть дополнены: существует такая величина д, что сумма а+ Ь определена лишь тогда, когда а - 2д — Ь, где 2д — величина развернутого угла.
Величины всегда относятся к каким-либо объектам, как «величина объекта данного класса», как длина, относящаяся к отрезкам (или вообще— к спрямляемым кривым), площадь к многоугольникам (или более общим фигурам с внутренностью), как в обыденной жизни и в физике масса или вес относится к телам н т. п. Величина — это свойство объекта данного класса, которое в каком-то отношении может быть больше или меньше и притом так, что позволяет точное сравнение, называемое измерением. Поэтому говорят, что величина — это то, что можно измерить. Сложение же определяется не для любых величин. Но в математике имеют в виду только аддитивные величины.
Глава П ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ й 1. Определение площади Площадь многоугольных фигур. Мы будем рассматривать только ограниченные фигуры, н слово «фигура» будет всегда обозначать плоскую ограниченную фигуру, т. е. такую, которая содержится в каком-нибудь круге. Будем говорить, что фигура составлена из нескольких фигур, если она служит их объединением и никакие две из них не имеют общих внутренних точек.
Под многоугольной фигурой будем всюду ниже понимать многоугольную площадку (см. $4 гл. И ч. 2), рис. 18. Проще говоря, многоугольная фигура— это объединение конечного числа треугольников. Площадью многоугольной фигуры называется величина, обладающая следующими двумя свойствами: 1) равные фигуры имеют равные площади; 2) если фигура составлена из несколькия много- и, ь оптеделаниа площади угольных фигур, то ее плои1адь равна сумме плов(адей этих фигур. Первое свойство — инвариантность, неизменяемость при перемещениях, второе — аддитивносттн его достаточно требовать для того случая, когда фигура слагается из двух фигур.
Удобно ввести следующие обозначения. Равенство фигур обозначим так: Р см Р'. То, что фигура Р составлена из фигур Рь Рт н т. д., будем обозначать как сумму: Р = Р1 + Р» Площадь будем обозначать буквой 5. Вместо самой площади как величины удобно рассматривать ее численное значение при данной единице измерения и дать следующее определение. «Численной площадью» — чис- Рис.
18 ленным значением площади фигуры Р при данной «единнчной» фигуре Š— называется число 5(Р), относимое многоугольной фигуре, каждой — свое, так что выполнены условия: 1) 5(Р) ) О, 2) если Ры Р', то 3(Р)= 8(Р'), 3) 5(Р~ + Рх)= 5(Р~)+ Я(Рх), 4) 3(Е)=1. Последнее условие означает, что единичная фигура — это та многоугольная фигура Е, которой отнесено численное значение площади, равное единице. В качестве такой фигуры берут«единичный квадрат», т. е. квадрат со стороной, равной выбранной единице длины Но это совершенно не обязательно: единичной фигурой может быть, а принципе, любая многоугольная фигура. Заметим, что из аддитивности площади (свойства 2)) следует: если фигура Р содержит Р~ и не совпадает с Рь то 5(Р) » Я(Рю) . Действительно, если Р ~ Р, и Р чь Рь то очевидно Р = Р + Р,, где Р, — тоже многоугольная фигура (рис.
19). По аддитивности 5(Р)= 5(Р~)+ Я(Рз), и поэтому ЧАСТЬ К ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ Дальше мы будем говорить о площади, допуская, что под «плошадью» можно разуметь как саму величину, так и ее численное значение при какой-нибудь единице измерения, которую можно для дальнейшего выбрать раз навсегда. В большинстве случаев удобнее иметь в виду именно численное значение, когда говорится о сложении и сравнении площадей (но не об их измерении: измеряется величина, а ее численное значение — это результат измерения). То, что у каждон многоуголь- ной фигуры, в частности у квад- Г рата, есть определенная площадь, представляется, в общем, как нечто само собой разумеющееся.
Но можно задать следующий вопрос. Представим себе, что, разбив квадрат или другой многоугольник на какие-то многоугольники, мы перемешаем их так, чтобы они не налегали друг на друга. Мы будем получать различные новые фигуры. Не может ли при этом получиться такая фигура, которая уместится внутри первоначального многоугольника или внутри одной из полученных из него новых фигур? Если бы это случилось, то мы имели бы две фигуры, у которых, с одной стороны, площади должны быть равны, так как они составлены из попарно равных фигур. С другой стороны, у фигуры, умещающейся внутри другой, площадь меньше. То есть получалось бы противоречие.
Выходило бы, что понятие о равенстве или неравенстве площадей и, стало быть, само понятие о площади оказались лишенными смысла. Мы скажем: «не может быть, чтобы одна фигура уместилась внутри другой, ведь у них площадь одна н та же». Но именно об этом и стоит вопрос: имеет ли смысл понятие площади? Иначе говоря: существует ли в самом деле такая величина, как площадь, у многоугольных фигур? Можно поставить и другой вопрос. Площадь пря* моугольника определяют, покрывая его квадратамн (рис. 20, а), и квадраты эти берутся такими, что стороны их параллельны сторонам прямоугольника. П.!.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ А что будет, если брать квадраты, повернутые относительно прямоугольника или, что равносильно, повернуть прямоугольник, как на рис.
20,б? Будет ли подсчет таких квадратов давать то же самое (в пределе, когда квадраты уменьшаются)? Иначе говоря, будет ли (в пределе) площадь маленьких квадратов, укладывающихся на прямоугольнике, той же самой, с точностью до квадратов, которые пересекаются со сторонами прямоугольника? Рис 20 Мы уверены, что результат будет тот жс, потому что у фигуры есть определенная площадь, так что ее измерение должно давать всегда один и тот жс результат.
Но именно об этом и идет речь: существует ли у фигуры определенная площадь, независимая от того, как мы ее измеряем? Приведенные рассуждения показывают, что существование площади, т. е, существование величины со свойствами 1, 2, вовсе не так очевидно, как кажется на первый взгляд. Существование ее нужно доказать !). Доказательство может быть дано. Именно, доказывается следующая теорема.
Теорема !. Каждая многоугольная фигура имеет Определенную ллои1адь. Для численных значений это можно выразить так При заданной единичной фигуре Е каждой многоугольной фигуре отвечает, и притом единственная, численная площадь со свойствами 1, 2, 3, 4. ') На этот вопрос обратил вннманне итальянский математик Де.целы (в 1881 г.) н пытался решить его, но только потом вто было строго сделано профессором уннверснтета в Одессе С. О. Шатуновсннм, Д.
Гнльбертом н др. ЧАсть к ОснОВАния гаометгни Если фигура Е заменяется другой Е', то все численные площади изменяются на один и тот же множитель: я=5'(Е)= 1,1. Е'(Р) =но(Р), Ту же теорему можно высказать иначе. Существует, и притом единственная, функция со свойствами ! — 4, определенная на множестве много- угольных фигур.
Функции, соответствующие разным «единичным» фигурам Е, отличаются множителем. Площади общих фигур. Вслед за определением площади многоугольных фигур встает вопрос об определении площади для других фигур. Ее определяют, обобщая тот способ, каким в школьном курсе находят площадь круга. Пусть Р— какая угодно данная фигура. Будем рассматривать многоугольные фигуры — содержащие Р и содержащиеся в Р; первые обозначим 6 и их площади — 8(6); вторые обозначим Н и их плоРис.
21 щади 5(Н) (рис. 21). (Если многоугольных фигур И, содержащихся в данной фигуре Р„нет, то считаем 8(Н) = = 0.) Если многоугольная фигура 6 содержит Р, а Р ~ :э И, то, очевидно, 6 ~ И, и, значит, Ю(6) ) 3(Н) (при этом 5(0)=5(Н) возможно только в том случае, когда обе фигуры 6 и Н совпадают и, значит, совпадают с Р, так что сама фигура Р— многоугольная).
В качестве площади фигуры Р можно взять такую величину 5(Р), что для всех фигур 6 и Н 5 (О) ) 5 (Р) ) о (Н). То есть за площадь фигуры Р принимается величина, которая не больше площадей многоугольных фигур, содержащих Р, и не меньше площадей много- угольных фигур, содержащихся в Р. Однако площади фигур 0 и Н могут отличаться так, что между ними будет целый интервал величин, и. ь опееделение плопгхди и, стало быть, величина 5(Р) не будет единственной.
Площадь оказывается неопределенной. Она будет определенной, если разность площадей 5(6), 5(Н) может быть сколь угодно малой. Таким образом, мы приходим к окончательному определению, которое, как легко видеть, воспроизводит в общем виде школьное определение площади круга. Площадью фигуры Р называется величина, которая не больше площадей многоугольных фигур, содержащих Р, н не меньше площадей многоугольных фигур, содержащихся в Р, при условии, что разности этих площадей могут быть сколь угодно малыми. Мы говорим тогда, что фигура Р имеет определенную площадь. Всякая многоугольная фигура Р попадает под это определение, поскольку тогда сама Р оказывается многоугольной фигурой, содержащей Р и содержащейся в Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
