1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 98
Текст из файла (страница 98)
П Лемма 4. Площадь объединения конечного числа фигур нулевой площади равна нулю. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если фигура Р служит объединением фигур Р,,Рм ..., Р, то по лемме ! $3 5, (Р) ( 5, (Р,) + 5, (Рэ) + ... + 5, (Р ). Поэтому если все фигуры Рь ..., Р нулевой площади, то и 5,(Р) = О. П Доказательство теорем ы ! получается теперь сразу. Граница многоугольной фигуры состоит нз конечного числа отрезков, а потому, как следует пз лемм 4, 3, плошадь ее равна нулю. Следовательно, согласно теореме 2, многоугольная фигура имеет определенную площадь. П 3 б. Площади равных многоугольных фигур Теорема 1. У равных многоугольнык фигур площади равны.
Дока за тел ь ство проходит в три этапа. Н. Ь ПЛОЩАДИ РАВНЫХ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР 59В Равенство площадей для параллельно перенесенных фигур. Лемма 1. Ллощадь прямоугольника со сторонами, параллельными линиям квадратной сетки, равна произведению длин его сторон. До к а з а тел ь ст в о получаем обычным путем, как в школьном курсе, беря квадраты, содержащиеся в данном прямоугольнике Р и покрывающие его, т. е. беря фигуры Р1 и Р'„, (Правда, в школьном курсе квадраты «накладываютэ от двух сторон прямоугольника, тут же они, вообще говоря, располагаются иначе.
Но это несущественно.) П Лемма 2. Фигуры, составленные из равныл прямоугольников со сторонами, параллельными линиям сетки, имеют равные. площади. Доказательство. Из леммы 1 следует, что равные прямоугольники, о которых тут говорится, имеют равные площади.
Следовательно, по аддитивности площади, и фигуры, составленные из них, имеют равные площади, что и требовалось доказать. С) Лемма 3. Для многоугольнь1х фигур Р всегда Р„' с: Р с: Р'„. Это очевидно. С) Замечание. Совершенно Рис. 25 так же имеет место общее утверждение: Если фигура Р состоит из внутренности и ее границы (т. е. фигуру Р ограничивает ее граница дР, см. ч. 11, гл. 2, $2), то Р' ~рс: Р„'. Но если фигура имеет другое строение, то зти включения могут не выполняться. Простейший пример: если Р— внутренность квадрата Я и-й сетки с добавлен- « ной стороной другого квадрата, то ,Р, = Р, = Я, по Я (й Р и Р (й Я (рис.
25). Лемма 4. Если одна многоугольная фигура получается из другой параллельным переносом, то ик площади равны. Доказательство. Пусть Р, Р' — многоугольные фигуры, и пусть Р'= 1Р, где 1 — параллельный перенос. Возьмем в и-й сетке фигуры Р, Р'„. По аоо ЧАСТЬ 6.
ОСИОВАИИЯ ГЕОМЕТРИИ лемме 3, Р! ~ Р с Рл. Поэтому также 1Р,' ~(Р с ~Р'„. Отсюда по монотонности площади 5 (~Р'„):= 5 УР):= 5 (~Р'„). Фигуры Рл, Р состоят из прямоугольников со сто! л ранами на прямых сетки, поэтому согласно лемме 2 5 (~Рл) = 5 (Рл), 5 (ЕРл) = 5 (Рл). Благодаря этому предыдущие неравенства можно переписать так: 5(Р!) ==5РР) ~5(Р'„). При и- со здесь крайние члены сходятся к 5(Р), стало быть, 5 (! Р) = 5 (Р), что и требовалось доказать.
П Квадраты каждой из наших сеток имеют одну и ту же определенную площадь и получаются друг из друга параллельными переносами. Если подвергнуть их какому либо перемещению, то получатся опять сетки из равных и параллельно расположенных квадратов. Поэтому из леммы 4 вытекает: Следствие. Квадратные сетки, получаемые из данных путем какого угодно перемещения, состоят каждая из квадратов одной и той же площади, Площадь каждого квадрата составляет поэтому такую же долю основного квадрата, как в данных сетках.
Е) (Но пока еще неизвестно, равны ли их плошади плошадям квадратов исходной сетки. Это надо доказать.) Равенство площадей многоугольных фигур, получаемых отражением. Лемма б, Если фигура Р' получается из многоугольной фигуры Р отражением в прямой, то она имеет ту же площадь, что и Р Д о к а з а т ел ь с т в о. Пусть Р— данная многоугольная фигура. Произведем отражение в какой-нибудь прямой; обозначая его т, имеем фигуру Р'= ГР. Вместе с фигурой Р подвергнем тому же отражению все наши квадратные сетки. Получим, как указано в следствии леммы 4, такие же сетки, только неиз.
вестно, будет ли основной квадрат единичным. Если 11, 5. ПЛОЩАДИ РАВНЫХ МНОГОУГОЛЫ1ЫХ ФИГУР 9Ц его площадь равна й, то все квадраты отраженных сеток будут тоже отличаться в й раз от площади соответствующих квадратов исходных сеток. Фигуры Р„Р, перейдут при этом в фигуры ГРР, гР'„, построенные по п-й отраженной сетке так же, в как Р„, Р„построены по исходной сетке. Поэтому от- ношения их площадей к площадям основных квад- ратов будут одни и те же, так что 5 (ГР,) =- я5 (Р,'), 5 (ГЮ = 'я5 (Р,). Так как, по лемме 3, Р„' ~ Р с: Р„то точно так же ГР1 с ГР с ГР'.
Поэтому для площадей получаем: 5(ГР!) (5(ГР) ==5 (.Р.'), или, принимая во внимание предыдущие равенства: «5 (Р„'):= 5 (ГР):= й5 (Р.'). При переходе к пределу при и - ОО площади 5 (Р„), 5(Р ) сходятся к 5(Р), и потому получаем: й5 (Р) 5(ГР) (~ й5(Р). Следовательно, 5(гР) = й5(Р). (!) Весь этот вывод прнменйм к любой многоугольной фигуре и, значит, к гР. Поэтому, подставляя в последнее равенство ГР вместо Р, получим 5(ггР) =й5(гР) =йт5(Р) Но повторное отражение дает тождественное преобразование, так что ГГР = Р.
Поэтому й1 = (, и из (!) получаем, что 5(гР) =5(Р), что и требовалось доказать. П Доказательство теоремы !. Теорема 1 о равенстве площадей равных многоугольных фигур непосредственно следует из доказанной леммы 5. Действительно, фигура, равная данной, получается из нее некоторым перемещением, а всякое перемещение может быть получено как результат нескольких (не более 3) последовательных отражений (теорема чАсть 6.
ОснОВАния геометеин 1.3.5, ч. 3). При каждом отражении многоугольная фигура, согласно лемме 5, переходит в многоугольную фигуру с той же площадью. Поэтому то же будет и при нескольких отражениях. Тем самым фигура, равная данной, имеет ту же площадь, что и требовалось доказать. (:1 $ 8. Окончание доказательства теоремы ! В 2 ! была высказана теорема 1: Пусть выбран некоторый квадрат Е. Тогда каж- дой многоугольной фигуре Р может быть отнесена, и притом единственная, численная площадь, т, е. та- кое число 5(Р), что будут выполнены следующие че- тыре условия: !) 5(Р)) О, 2) если Рак Р', то 5(Р) =5(Р') (инаариантность), 3) 5(Р~+ Рг) = 5(Р~)+ 5(Рз) (аддитивность), 4) 5(Е) = !.
Если вместо квадрата Е взять другой Е', то соответ- ствующие числа 5' отличаются от 5 только общим и ножи гелем: 5' (Р) = я5 (Р); й = 5' (Е) = В $2 — 5 мы определили численные площади— числа 5(Р),— в частности для многоугольных фигур, и доказали, что они действительно обладают свойствами 2, 3, Тем самым доказано существование численной площади у многоугольных фигур.
Остается доказать ее единственность при данном квадрате Е и правило ее пересчета (!) для другого квадрата Е'. Единственность численной площади. Теорема !. При данном единичном квадрате Е численная площадь многоугольных фигур определяется однознично. То есть если многоугольным фигурам сопоставлены числа 5 со свойствами 1 — 4 теоремы 1, то они представляют собою численные площади, определенные с помощью квадратнык сеток.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, многоугольным фигурам отнесены числа 5'(Р) со свойствами 1 — 4. Нужно доказать, что 5'(Р)= 5(Р). По свойству 4, 5'(Е) =1, и из инварнаитности следует, что в каж- и.к окончание доказательства теогемы 1 аев дой нашей сетке квадратам отвечает одно и то же значение 5'(Е„). Если в единичном квадрате их У„ штук, то М,5'(Е )= 5'(Е)= 1. Но точно так же, по нашему определению численной площади, И„5(Е„) = =!. Стало быть, 5' (Е„) = 5 (Е„). Поэтому при любой фигуре Р 5' (Р„') = 5(Р,'), 5'(Р'„) = 5 (Р'„). (2) Для многоугольной фигуры Р Р„'с= Рс Рп, и «разности» Р вЂ” Р„' и Р' — Р представляют собою миогоугольные фигуры (ияи пустое множество, если Р = Р,); по аддитивности 5' (Р) = 5' (Р,') + 5' (Р— Р,'), а по свойству 1 5'(Р— Р„')) О. Поэтому 5'(Р) ) ~5'(Р„').
Аналогично заключаем, что 5'(Р) ~5'(Р',). Таким образом, в силу равенств (2) получаем, что 5(Р.') ==5'(Р) ~5(Р„'). При и- сь крайние члены сходятся к 5(Р) и, стало быть, 5'(Р)= 5(Р), что и требовалось доказать. Сз Замена единицы плащики. Теорема 2. При замене единицы площади все численные ее значения для многоугольныя фигур умножаются на один и тот же множитель. Если Е' — «новый» единичный квадрат и 5' — определенная по нему численная площадь (т. е. когда 5'(Е')=1), то для фигуры Р 5'(Р)=й5(Р), й=5'(Е)= (,! .
До к аз а тел ьств о. Пусть Е' — «новый» единичный квадрат и й = 5'(Е) — численная площадь, какую получает при этом «первоначальный» единичный квадрат Е. «Новая» численная площадь всякой фигуры 6, состоящей из квадратов и-й сетки, построенной по Е, будет равна сумме площадей 5' составляющих ее квадратов (согласно доказанным свойствам численной площади). Если квадрат Е„п-й ЧАСТЬ К ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ сетки составляет 1/Ф„ квадрата Е, а число квадратов в фигуре 6 равно М„, то 5' (6) = ̄— = 5 (6) 5' (Е), Я' (Е! Ал так как М /Дг = 5(6) (по определению). л Поэтому для фигур Р„Р, построенных для любой фигуры Р, 5'(Р!) =5(Р!) 5'(Е), 5'(Р'.) =5(Р'.) 5 (Е).
Для многоугольной фигуры (по лемме 3 йб) Р~ с: с= Р ~ Р,',. Поэтому 5'(Р!) ~5'(Р) ==5'(Р„'), н из предыдущих равенств 5(Р.') 5'(Е) (5'(Р) ~5(Р'„) 5'(Е). При и- со величины 5(Р~), 5(Р„) сходятся к 5(Р). Поэтому в пределе получаем 5(Р)5'(Е)~5'(Р) ь5(Р)5'(Е), т. е. 5'(Р)= 5(Р)5'(Е), что и требовалось доказать. П С доказательством теорем 1„2 теорема 1 доказана полностью. П и 7. Площадь немногоугольных фигур: теоремы П, Па В й ! были высказаны две теоремы о площади любых фигур, у которых площадь границы равна нулю. Теорема Па говорит, что численная площадь таких фигур удовлетворяет тем же условиям, что и площадь многоугольных фигур, Теорема П утверждает, что плошади этих фигур можно находить, как находят площадь круга, по площадям «вписанных» и «описанных» многоугольных фигур, Здесь мы докажем сначала теорему Па, а потом — теорему П, и установим еще одно важное свойство фигур с определенной площадью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
