1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 100
Текст из файла (страница 100)
27), и доказывается, что их плогцади имеют общий предел, когда промежутки, на которые разбивается промежуток !а, Ь], безгранично измельчаются. Разность таких фигур образует многоугольную фигуру, заключающую ту кривую, которая вместе с осью х ограничн- У вает Т, и доказательство сводится к тому, что площади таких фигур стремятся к нулю, т.
е. площадь кривои г равна нулю. Именно это и было доказано выше в лемме !. Таким образом, сущеРис. 27 ствованис интеграла непре- рывной функции и существование площади у соответствующей фигуры Т вЂ” это одно и то жс, и, доказав выше существование ес площади, мы фактически доказали существование интеграла непрерывной функции. $9. Объем Здесь мы будем рассматривать ограниченные фигуры в пространстве любого числа измерений, Будем говорить, как о фигурах на плоскости, что фигура составлена из нескольких фигур, сели она служит их объединением и никакие две из них не имеют общих внутренних точек. Пишем г = Р~+ Рб+ ... Под многогранной фигурой будем здесь понимать многогранное тело (см, $ 4 гл. П ч.
2) или, проще говоря, объединение конечного числа тетраэдров (симплексов). Понятие объема определяется так же, как понятие площади, с той лишь разницей, что на место многоугольных фигур ставятся многогранные фигуры; при этом вес выводы, какие были сделаны дли площади, переносятся на объем. Объемом многогранной Григуры называется величина со свойствами инвариантности и аддитивности, т. е.; !) разные фигуры имеют один и тот же объем; 2) если фнгура составлена из нескольких многогранных фигур, то ее объем равен сумме их объемов. Соответственно опрсделястся численный объем (7(Р) при данной единичной фигуре Е. Это такое чис- п.к овъем ло, что: 1) У(Р) ) 0; 2) если Р ак Р', то У(Р) = У(Р'): 3) У(Р~ + Рт) = У(Р~)+ У(Рз)' 4) У(Е)= 1.
За Е принимают единичный куб. Аналогично теореме ! $1 о площади выполняется Теорема 1. При заданной единичной фигуре Е каждой многогранной фигуре отвечает, и притом единственное, число со свойствами 1 — 4, Если фигуру Е заменить на Е', то все численные объемы умножатся на один и тот же множительк Для любых фигур принимают определение. Объемом фигуры Р называется величина, которая не больше объемов многогранных фигур, содержащих Р, и не меньше объемов многогранных фигур, содержащихся в Р, при условии, что разности этих объемов могут быть сколь угодно малыми.
Тогда говорим, что фигура имеет определенный объем; иначе у нее нет определенного объема. Теорема 2. Фигура имеет определенный объем тогда и только тогда, когда объем ее границы равен нулю, Для таких фигур объем обладает всеми свойствами объемов многогранных фигур, указанными в теореме 1, Доказательство теорем 1, 2 может быть построено совершенно так же, как доказательство соответствующих теорем для площади, исходи из определения объемов по способу его измерения. Именно, объем можно определить как величину, измеряемую объемом кубов решетки, заключающихся в фигуре и покрывающих фигуру, если у этих чисел есть общий предел. Пространство разбивается на единичные кубы Еь примыкающие друг к другу целыми гранями, так что они образуют кубическую решетку.
Этим кубам приписывается значение У(Е,)= 1. Эти кубы делятся на равные кубы Е,, и получается вторая решетка; если при этом каждый куб Е~ делится на Ага кубов Еы то этим кубам приписывается объем У(Ез)= 1/Агв Затем кубы Е, делятся на равные и т. д. Получаем последовательность неограниченно измельчающихся кубических решеток. часть а основания геометгии Объем фигуры определяется с помощью этих решеток буквально так же, как определялась площадь с помощью квадратных клеток. Последующие доказательства свойств объема происходят почти дословно так же, как для площади, лишь с тремя отличиями; 1) вместо квадратов нужно говорить о кубах; 2) вместо доказательства того, что площадь отрезка равна нулю, нужно доказывать, что объем квадрата равен нулю (поскольку любой многоугольник можно заключить в квадрат); 3) вместо отражения в прямой нужно прн доказательстве инвариантностн объема воспользоваться отражением в плоскости.
В остальном все выводы проходят так же, как для площади. Они будут те же и в и-мерном пространстве — для п-мерного объема. Тогда в пункте 2) нужно рассматривать не квадрат, а (и — 1)-мерный куб. Читатель сможет сам проделать все эти выводы с немалой для себя пользой. Достоинство проведенного выше доказательства существования площади состоит, между прочим, как раз в том, что оно без изменений переносится на объем любого числа измерений. Глава ГИ ДРУГИЕ ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ В 1. Координаты Наши аксиомы обеспечивают возможность ввести прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве и тем опереть аналитическую геометрию на аксиоматическое основание. В том, как при этом вводятся координаты, нет ничего нового в сравнении с тем, как это делается в аналитической геометрии; новое — в том, что нужно проследить, как это основывается на аксиомах н выводах из них, сделанных в гл.
!. Мы начинаем с того, что выбираем какой-либо отрезок и принимаем его за масштаб длин. Тогда согласно выводам $3 гл. 1, каждому отрезку относится численная длина с известными свойствами, указан- Н1 !. КООРДИНАТЫ ными там же, н для каждого действительного числа х существуют отрезки с численной длиной х. Введем координаты на прямой. Для этого докажсм: Каждая точка 0 любой прямой а делит ве (за вычетом самой точки 0) на две полупрямые, т.
е. на две такие фигуры, что отрезок, соединяющий точки одной полупрямой, не содержит точку О, а соединяющий точки из разных полупрямых — содержит точку 0 внутри себя (т. с. точка 0 лежит на нем). Доказательство. Пусть дана прямая а и на ней точка 0 (рис, 28). Возьмем на а еще точку А ч в о А Рве 28 и, продолжив отрезок АО за точку О, получим отрезок АВ, на котором лежит О.
Прямая а представляет собою объединение отрезков МЖ, содержащих точки А, В. И так как точка 0 лежит на отрезке АВ, то оиа лежит на каждом из отрезков М1ч' (теорема 2 2 ! гл. 1) и делит их нв отрезки ОМ, Оо( (по аксиомам Пхз); считаем, что А ~ОМ, Вен ОУ. Объединения этих отрезков за вычетом точки 0 и дают полу- прямые, на которые точка 0 делит прямую а. Действительно, если, например, точки Р, О лежат на ОМ, то отрезок РО не содержит 0; напротив, если Р на ОМ и О на ОУ, то О нв РО (по теореме 5 в 1 гл.
1). Теперь вводим координаты на прямой. На данной прямой берем какую-либо точку 0; она делит прямую на две полупрямые; одну из них а+ называем положительной, другую а — — отрицательной. Точке М нв прямой а относим числохм — «координатуточки ̻— по известному правилу: 1) если М ~ а+, то хм = = ~ОМ~, т.
е. равно численной длине отрезка ОМ; 2) если М ен а —, то хм = — ] ОМ ]; 3) если М = О, то хм =О. Так между точками прямой и вещественными числами устанавливается взаимно однозначное соответствие. При этом отрезкам соответствуют числовые промежутки (замкнутые интервалы): точкам отрезка МФ отвечают — если хм < хя — числв хеи]хм, хя],т. е. хм (х(хя, При этом ]М1»'1= хв — хм ЧАСТЬ К ООЮВАИИЯ ГЕОМЕТРИИ 616 Эти известные утверждения доказываются на основе теорем из «алгебры отрезков» и доказанной здесь теоремы о разбиении прямой на полупрямые, Проведите эти доказательства (например, если Мед еи а-, Феи а+, то О на ММ по доказанной теореме; МФ(=(МО1+1ОУ( по аксиоме сложения; так как ~ а+, М я а-, то по определению хи = — 1ОМ), х = ( ОУ (.
Поэтому ) ММ ) = хх — хи) . Координаты иа плоскости вводят известным путем как в аналитической геометрии, используи проведе- ние перпендикуляров и аксиом му параллельных отрезков (проделайте соответствующие выводы с должными ссылками). Координаты точки М— это координаты х, у ее проекций М, МР на взаимно перпендикулярные оси х, р (рис, 29). Рис. 29 Таким образом, между точ- ками плоскости и парами координат устанавливается взаимно однозначное соответствие. Точка представляется своими координатамих,у.
Длина отрезка АВ выражается через координаты его концов известной формулой (АВ(=~(хл — хв)э+(ул ув)« ° (!) Эта формула выводится, как это сделано еще в $3 гл. 1, ч. ! из теоремы Пифагора, доказательство которой указано в $ 2, гл. П, ч. 2. Координаты в пространстве. В пространстве есть, по крайней мере, 4 точки, не лежащие в одной плоскости (по аксиоме 1Х1 $6 гл. 1). Берем какую-нибудь точку О и еще две точки А, В. По аксиоме АГП11 через них проходит плоскость. В этой плоскости а проводим через точку О две взаимно перпендикулярные прямые а, Ь и вводим координаты х, у как описано выше. Прямые а, Ь становятся осями х и у. Далее, проводим через точку О прямую с„перпендикулярную прямым а и Ь, и вводим на ней координату г с тем же началом О.
Прямая с становится ОСЬЮ Е. г!!. !. коондинлты 81т Теперь каждой точке М сопоставляются в качестве ее координат хм, ум, гм координаты ее проекций М„, М„, М, нв оси х, у, г. Однако нужно обосновать последние построения, начиная с проведения прямой с. Сделаем это (рис. 30). По аксиоме!Х! существует точка С, не лежащая в плоскости а. Через нее и прямую а проходит плоскость (). В этой плоскости проводим через точку О прямую с(, перпендикулярную прямой а.
Через прямые Ь, с( проводим плоскость у. хг Твк квк прямые Ь, г4 пер-,й пендикулярны а, то всякая прямая, проходящая в плоскости у через точку О, пер. .с пендикулярнв а '). Г!оэтому прямая с, проходящая д а!, в этой плоскости перпен- а дикулярно прямой Ь, будет перпендикулярна и а, и Ь. Итак, каждой точке М сопоставляется тройка (упорядоченная тройка) вещественных чисел хм, ум, гм — координаты ее проекций М„,М„,М, на оси х, у, г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
