1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Таким образом, точки, прямые, плоскости — это какие.то мыслимые вещи или, как более принято у нас говорить, объекты, находящиеся в некоторых отношениях, все необходимые для геометрии свойства которых описываются аксиомами. Как бы подчеркивая это отвлечение от наглядных представлений, Гильберт говорит: «точка принадлежит прямой» и «прямая принадлежит точке».
Первая аксиома у него звучит так: «Для любых двух точек А, В существует прямая а, принадлежащая каждой из этих двух точек А, В». Нн прямая, ни плоскость не мыслятся «состоящими нз точек». Отвлечение от наглядности в исходных формулировках обеспечивает уверенность, что все необходимое для логического построения геометрии действительно выражено в аксиомах. Также с отвлечением от наглядности понимаются при абстрактном взгляде основные объекты и отношения нашей, да и всякой другой аксиоматики. Поэтому на вопрос, что такое прямая в системе Гильберта, нлн отрезок — в нашей аксиоматике, так же как отношение «лежит на» и т. п., следует ответ: это то, о чем говорится в аксиомах.
Таким образом, в отвлеченном понимании аксиомы представляют собой определение основных объектов ') Г и а »берт Д. Основания геометрии.— Л14 Л., ОГИЗ, 1948. С. 56. ~п. з. хксиомхтнкх в отвлеченном понимании взв и отношений. Отрезком называется то, что под таким названием фигурирует в аксиомах. И так же можно определить другие основные понятия. Такие определения называются аксиоматическими. Обычное определение понятия состоит в том, что оно разъясняется через другие.
В отличие от этого в аксиоматическом определении понятия разъясняются совместно, через их связь, как это видно на примере определения отрезка. Отвлеченно рассматриваемая аксноматика сама по себе ни к чему сколько-нибудь определенному не относится, так что не ясно, какой смысл она имеет; не представляет лн она просто набор слове Для аксиоматики евклидовой геометрии это не так, потому что в ней, как бы отвлеченно мы ее ни рассматривали, заключен первоначальный реальный смысл, Но вот когда Лобачевский создавал свою геометрию, смысл се был неясен. На вопрос о ее предмете можно было ответить только, что это то, о чем мы рассуждаем. Лобачевский называл свою геометрию «воображаемой». Предмет, к которому она могла относиться, был открыт позже. Вообще, для того чтобы отвлеченная аксиоматика получила более определенный смысл, нужно найти предмет, к которому она могла бы относиться, модель, где бы аксиоматика выполнялась, относясь к определенным объектам и отношениям.
Модель или, как еще говорят, интерпретация аксиоматики представляет собой, коротко говоря, совокупность некоторык объектов с отношениями, для которых выполняются аксиомы. Говоря подробнее, основные объекты и отношения аксиоматики сопоставляются объектам модели и определенным имеющимся между ними отношениям. Если при этом для объектов и отношений модели выполняется то, что говорится в аксиомах (если эти объекты и отношения назвать словами, принятыми в аксиомах), то мы и получаем тем самым интерпретацию аксиоматики. Или, как еще говорят, аксиомы реализуются на данной модели. Прн этом имеют в виду математическую модель.
Ссылка на то, что евклидова геометрия имеет реальный смысл, обнаруживающийся на опыте, для чистой математики не газо ЧАСТЬ К ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ годится, потому что опыт не может быть математически точным. Для планиметрии у нас уже есть готовая модель— ее дает координатная аксиоматика. В самом деле, в ней точкам сопоставляются пары чисел, и все дальнейшие основные понятия получают представление в этих числах, и все аксиомы выполняются, как показано в $ 2. При этом не нужно относить координаты к каким-то точкам, можно просто считать, что точка в модели и есть пара чисел.
Тогда всякая неопределенность в понятии точки исчезает, и мы получаем числовую модель планиметрии. Непротиворечивость, независимость, полнота. Для отвлеченной аксиоматики самой по себе неизвестно, не могут ли выводы из нее привести к противоречию, когда в одном выводе что.то утверждается, а в другом оно же отрицается. Такая аксиоматика заведомо не может быть реализована и не имеет смысла. Если же такие противоречия не могут получиться, аксиоматика называется непротиворечивой.
Вообще, рассматривают три существенных свойства аксиом: непротиворечивость, независимость, полноту. Е Система аксиом называется, как уже сказано, непротиворечивой, если из нее не следует какое-либо утверждение вместе с его же отрицанием. В следующих двух определениях имеется в виду непротиворечивая система аксиом. 2.
Аксиомы называются независимыми, если ни одна нз них не следует из других. 3. Система аксиом называется полной, если она не может быть пополнена, т. е. если к аксиомам нельзя добавить никакой аксиомы, которая нз них не следовала бы и вместе с тем им не противоречила. При этом, конечно, имеется в виду, что добавляемая аксиома касается тех же основных понятий.
В этих определениях речь идет о том, чтб следует из аксиом. Здесь это можно понимать так: утверждение В следует из системы аксиом А, если как только выполняется А, так выполняется  — во всякой модели аксиом А выполняется утверждение В. Если же есть модель аксиом А, где В не выполняется, то, зна- НЕ 3 АКСИОМАТИКА В ОТВЛЕЧЕННОМ ПОНИМАНИИ ВЗ! чит, В не следует нз Л. Поэтому имеют место три утверждения. Е Система аксиом непротиворечива,если она реализуется в какой-нибудь модели (в модели не может быть противоречия, чтобы В выполнялось и одновременно не выполнялось). 2. В системе аксиом данная аксиома независима от других, если есть модель, где выполняются все аксиомы, кроме этой.
Тем самым она, очевидно, не следует из других. 3. Система аксиом полная, если во всех ее моделях выполняется одно и то же, т. е. всякое утверждение, выражаемое в понятиях аксиоматики, верное в одной модели, выполняется также во всякой другой. Это равносильно полноте в предыдущем определении, что к аксиомам ничего нельзя прибавить. Действительно, если добавляемое утверждение В верно во всякой модели, значит там, где выполняются аксиомы, выполняется также В, т. е, В следует из аксиом. Если же добавляемое утверждение В не выполняется ни в одной модели, то, значит, в них верно его отрицание, так что добавление его ведет к противоречиюю. Такие модели, в которых выполняется одно и то же (выражаемое в понятиях аксиоматики), называют изоморфными.
Это понятие изоморфизма определяется в общем виде следующим образом. Представим себе две системы объектов с отношениями между ними, Пусть между объектами этих систем, а также между отношениями установлено такое взаимно однозначное соответствие, что соответственные объекты находятся в соответственных отноше. ниах. То есть если объекты а, Ь, ... одной системы 5 находятся в отношении Я, то соответствующие им объекты а', Ь'... системы 5' находятся в соответствующем отношении й', и обратно: если какие-то объекты системы 5' находятся в отношении Я', то соответствующие им объекты системы 5 находятся в соответствующем отношении, Такое соответствие называется изоморфизмом. А системы, для которых может быть установлено такое соответствие, называются изоморфными.
ЧАСТЬ К ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ Сказанное выше о полноте системы аксиом выражают так: система аксиом полная, если все ее модели (интерпретации) изоморфны. Из определения изоморфизма ясно, что если в одной системе 5 выполняется некоторое утверждение, то соответствующее утверждение выполняется также в изоморфной системе 5. Просто потому, что всякое утверждение касается объектов и их отношений.
Если назвать соответственные объекты и отношения одними и теми же словами, то все, что относится к одной системе, будет буквально относиться и к другой. Они представляются тогда совершенно одинаковыми. Так и модели полной системы аксиом одинаковы. Но, конечно, только в отношении свойств, относящихся к аксиоматике, так как в моделях могут быть и другие свойства (как, например, в указанной выше модели, когда точка есть пара чисел, точки различаются — скажем, (0,0) и (1,!),— но это в нашей аксиоматике ничему не соответствует). В этом же смысле можно сказать, что полная аксиоматика определяет один определенный предмет или, как уточняют, один с точностью до изоморфизма.
Мы представляем себе плоскость как вполне определенный «предмет», так что в планиметрии какое- либо утверждение либо верно, либо неверно — геометрический факт имеет место или его нет. Поэтому аксиоматика планиметрии должна быть полной, Наша аксиоматика полная, как мы сейчас докажем. Вообще три указанные свойства аксиоматики играют существенно разную роль. Непротиворечивость обязательна, поскольку противоречивая система просто не имеет смысла. Независимость аксиом необязательна, но если ее нет, т. е.
есть аксиома, которая следует из других, то такая аксиома лишняя и ее можно исключить. Желательно не иметь таких лишиил аксиом, хотя их можно вводить для того, чтобы упростить доказательства теорем. Так мы могли бы, например, включить некоторые теоремы $ 3 гл. ! в аксиомы. Полнота, как было объяснено, необходима для аксиом планиметрии.
Но вообще в математике большое значение имеют как раз неполные аксиоматики. Такая аксиоматика определяет не один предмет теории, а целый класс их как группы и кольца в ал- Н!. 3. АКСИОМАТИКА В ОТВЛЕЧЕННОМ ПОНИМАНИИ Ввв гебре (поскольку есть, например, неизоморфные группы) или разные типы пространств в обобщенной геометрии. Выводы о нашей системе аксиом геометрии. Как уже было отмечено, у нас есть числовая модель планиметрии. Точками в этой модели служат пары чисел (х,у), а прочие основные понятия определяются через эти числа — как это сделано в $2. Наличие такой модели дает основание утверждать, что Наша система аксиом планиметрии непротиворечива, или, более точно, Наша аксиоматика планиметрии непротиворечиво, нисколько непротиворечиво теория вещественных чисел.
Действительно, если бы из наших аксиом можно было бы вывести противоречие, то оно обнаруживалось бы в модели, и тем самым — в теории вещественных чисел, на основе которой модель построена. Тот же вывод о непротиворечивости верен и для аксиом стереометрни, поскольку для нее тоже есть числовая модель. Мы только не провели доказательства того„ что в модели, указанной в конце $ 2, действительно выполняются все аксиомы стереометрии. Уточняя, мы сказали, что наша система аксиом настолько непротиворечива, насколько непротиворечива теория вещественных чисел.
Именно это и следует из нашей числовой модели, А возможно ли противоречие в этой модели — это уже другой вопрос— вопрос о непротиворечивости теории вещественных чисел. Есть основание считать ее свободной от возможного противоречия. Но независимо от возможных сомнений в непротиворечивости вещественных чисел сделанный вывод о системе аксиом геометрии имеет важный смысл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
