1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 106
Текст из файла (страница 106)
«Углом» назовем фигуру из двух «лучей» с общим, началом, не содержащихся в одной «прямой», (рис. 32, а). Помимо указанных «прямых» есть еще «прямые»вЂ” это полупрямые, перпендикулярные граничной прямой. Они являются пределами рассмотренных полуокружностей (рнс. 32,б). Когда центр полуокружности удаляется по граничной прямой, а полуокружность проходит через данную точку, то она «распрямляется» и в пределе переходит в полупрямую. Поэтому мы !ч ! ГеОметРия лОБАчеВскОГО; ее мОдели а45 дальше будем мыслить указанные полупрямые среди «прямых» модели в качестве полуокружностей, как «полуокружности бесконечного радиуса».
Это позволит обойтись без скучных оговорок, касающихся этих полупрямых, причем, однако, следует помнить условность этого и быть готовым проверять утверждения для таких «полуокружностей». («Отрезок» на такой «прямой» вЂ” это обычный отрезок, а «лучи» вЂ” один обычный луч, другой — отрезок с исключенным концом на граничной прямой.) Рассмотрим теперь в этой модели те аксиомы, в которые не входит понятие о равенстве отрезков и углов. Рис. 34 Рис.
ЗЗ Аксиома параллельных для прямых относится к таким аксиомам. В данной модели она явно не выполняется: через точку А, не лежащую на «прямой» а, проходит бесконечно много «прямых», не имеющих с а общих точек (рис. 32, а). Все прочие аксиомы, говорящие о связи точек и отрезков или точек и прямых, о взаимном расположении точек и прямых„здесь выполняются. Так, на рис. ЗЗ указано построение отрезка с данными концами. Далее, возьмем полуокружность, представляющую «прямую» в модели. Проведем прямую (, касающуюся этой полуокружностн и параллельную граничной прямой. Спроектируем полуокружность из ее центра на прямую ( (рис. 34), Получим взаимно однозначное, сохраняющее порядок точек, соответствие между точками прямой и полуокружности, т.
е. «прямой» модели. Все свойства, выраженные в аксиомах, будут одни и те же. Они также очевидно выполнены на полупрямых, представляющих «прямые» модели. 646 часть «основания гвометгии Аксиома деления плоскости также выполняется. «Прямая» — полуокружность — делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Это н будут «полуплоскости» в нашей модели. Из одной в другую нельзя перейти по какой-либо дуге, не пересекая разделяющую их «прямую» — полуокружность, Остается определить равенство «отрезков» и «углов» так, чтобы выполнялись соответствующие аксиомы.
Это мы сделаем, определив «наложение». Сначала определим «отражение в прямой», За «отражение в прямой» примем инверсию в той окружности, полуокружность которой представляет данная «прямая». Если же «прямая» — это полупрямая, перпендикулярная граничной прямой, то «отражением» в ней будет обычное отражение. «Наложением» в модели называем любую композицию «отражений». «Равными» считаем фигуры, в частности, «отрезки» и «углы», совмещаемые «наложением». Это определение сразу приводит к выводу: углы, «равные» в модели, равны без кавычек — в обычном смысле. В самом деле, углы при инверсиях сохраняются, т. е.
преобразуются в равные, но они «равны» в модели по определению. Обратно: углы, «равные» в модели, — это те, которые преобразуются друг в друга «наложениями», т, е. инверсиями, и, стало быть, они равны в обычном смысле. При инверсии в окружности с центром на граничной прямой эта прямая и полуплоскость Р отображаются на себя. Поэтому содержащаяся в Р полу- окружность с центром на граничной прямой отображается на такую же полуокружность. В модели это означает, что при «отражениях» «прямые» переходят в «прямые». Очевидно, что также «лучи» переходят в «лучи» и «отрезки» вЂ” в «отрезки».
Обратимся к откладываниюотрезков и углов в модели. Понятия, относящиеся к модели, будем предварять знаком «. Пусть даны точка А, «луч а с началом А, »отрезок АВ на этом "луче и»угол аЬ с вершиной А, образованный»лучом а вместе с «лучом Ь. Пусть даны также точка А', исходящий из нее»луч а', и отмечена «полуплоскость Я, ограниченная «прямой, содержащей "луч а' (рнс. Зб,а). Нам нужно произвести «на- !Н. !. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО; ЕЕ МОДЕЛИ В47 ложение, переводящее точку А в А', 'луч а — в а' и «луч Ь вЂ” в «луч, лежащий в 'полуплоскости 9 так, что *угол, *равный аЬ, отложится от а' в эту «полу- плоскость. Проведем прямую АА', и пусть она пересекает граничную прямую р в точке О (рис. Зб,б). Произведем инверсию с центром О, которая переведет А в А'. *Луч а перейдет в «луч а«с началом А', он образует с *лучом а' «угол а'а« ').
А а Рис. 35 Проведем прямую с! (без кавычек),делящую 'угол а'а«пополам, и построим окружность с центром на граничной прямой, касающуюся прямой !Р (кстати, укажите такое построение). Инверсия в этой окружности переведет *луч а" в а' (почемуР). В смысле модели это значит, что «отражение в соответствующей "прямой переводит «луч ам в а'. Таким образом, два «огра>кения переводят точку А в А' и «луч и— в а'. Вместе с *лучом вся содержащая его *прямая а — полуокружность — переходит в *прямую а' — полуокружность, — содержащую *луч а'.
«Полуплоскости, ограниченные «прямой а, отображаются на «полуплоскости, ограниченные «прямой а'. «Луч Ь, служащий стороной данного «угла аЬ, переходит в 'луч Ь" с началом А'. Но он может оказаться не в той *полуплоскости, которая была заранее отмечена. ') Если прямая АА' параллельна граничной прямой р, то точка А переводится в А' отражением и прямой, перпендикулярной р, т.е. «отражением в прямой, представляющей полупря- мую, перпендикулярную р.
чьсть в основхния гсомглюш Тогда нужно произвести еще '"'отражение в *прямой, содержащей *луч а', т. е. инверсию в окружности, содержащей эту *прямую. При этом на самой *прямой а' ничего не происходит: все ее точки остаются неподвижными. И только ллуч Ь" перейдет в *луч Ь, лежащий в указанной *полуплоскостн. Если на 'луче а была отмечена какая-нибудь точка В, и тем самым отмечен *отрезок АВ, то эта точка перейдет в определенную точку В' на 'луче а' и 'отрезок А — в 'отрезок А'В' на этом *луче. Так мы получаем результат: на каждом *луче а' можно от его начала отложить "отрезок, 'равный данному, т.
е. для любого данного *отрезка АВ на данном *луче с началом А' есть такая точка В', что "отрезок АВ можно перевести в 'отрезок А'В' путем *наложения. Совершенно так жс то, что 'луч Ь перейдет в *луч Ь', лежащий в нужной полуплоскости, что и *угол а'Ь' равен данному аЬ, позволяет утверждать: От каждого *луча от его начала по данную сторону от *прямой, его содержащей, можно отложить *угол, равный данному. Остается доказать, что *угол откладывается единственным образом, так жс, как и 'отрезок (или, по нашей аксиоме меньшего отрезка, отрезок, содержа. щийся в данном и не совпадающий с ним, не может быть равен ему). Утверждение о единственности откладывания угла сводится, очевидно, к следующему: Если *лучи Ь, с, исходящие из начала 'луча а, образуют с ним равные углы и лежат с одной стороны от него (в одной полуплоскости), то онн совпадают.
Но *углы, равные в модели, равны в обычном чевклидовомъ смысле, а для обычных углов сказанное, очевидно, верно. *Лучи Ь, с содержатся в окружностях с центрами на данной прямой р. Раз они образуют с *лучом а данный угол, то, значит, дана касательная к указанным окружностям в точке А. Но окружность с центром на данной прямой, касающаяся другой прямой в данной се точке, только одна. Значит, 'лучи Ь, с совпадают.
Итак, 'угол откладывается единственным образом. "Отрезок, *равный данному, также откладывается на данном 'луче единственным образом. Действи- Ш. Е ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО; ЕЕ МОДЕЛИ 949 тельно, пусть "отрезок АВ, *равный данному, отложен на данном *луче а с началом А. Если бы можно было отложить другой *отрезок, АС, равный тому же, то это значило бы, что есть "наложение (отличное от тождественного), отображающее 'луч сам на себя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
