1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 109

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 109)

Теперь уже нетрудно проверить, что в пространстве, определенном координатными аксиомами, выполняются геометрические аксиомы. й 4. Групповой принцип оснований геометрии Наряду с евклидовой геометрией, которая состав лает наш главный предмет, во 1! н П1 частях и настоящей главе мы встретились, хотя и кратко, со сферической геометрией, с аффинной геометрией, с проективиой и круговой геометриями и с геометрией Лобачевского. В общем — шесть разных «геометрий», причем все они обобщаются на произвольное число измерений. Однако при всем разнообразии их объединяет общий принцип, который может быть положен в нх осйование. !Ч.«ГРУППОВОЙ ПРИНЦИП ОСНОВАНИЙ ГЕОМЕТРИИ Е51 Каждая из этих геометрий имеет своим предметом свойства фигур, сохраняющиеся при тех или иных преобразованиях.

Эти преобразования пространства образуют соответствующую группу, так что общее основание указанных систем геометрии можно выразить так: в каждой из них изучаются свойства фигур, инвариантные относительно преобразований соответствующей группы. В евклидовой геометрии изучаются свойства фигур, сохраняющиеся при подобных преобразованиях, в сферической — при поворотах сферы. Предмет аффинной геометрии составляют свойства, сохраняющиеся при аффннных преобразованиях, так же как в проективной геометрии изучаются свойства, сохраняющиеся при проективных преобразованиях; в круговой геометрии — свойства, сохраняющиеся при преобразованиях, порождаемых инверсиями, включая отражения в плоскостях (как инверсии в «сферах бесконечного радиуса»). Наконец, к геометрии Лобачевского относятся те свойства фигур, которые сохраняются при наложениях В смысле этой геометрии; онн были представлены в модели с помощью инверсий (Ц 1, 2).

Во второй части предыдущего параграфа было дано формальное определение евклидовой геометрии произвольного числа измерений с точки зрения указанного группового принципа. Аналогично можно определить Вффинную геометрию и измерений двумя условиями — аксиомами. Основные ее объекты — то ч к и. Аксиомы следующие. 1. Точки находятся во взаимно однозначном соответствии с наборами чиселхь ..., х„— их координат. 2.

Аффинной геометрии принадлежат те и только те соотношения, которые сохраняются при любых преобразованиях, представляющихся в координатах как линейные, т. е. если точка (хь ..., х„) переходит в точку (уь ..., у„), то у,=ацх,+ ... +а,„х„+Ь,„ у„= а„,х, + ... + а„„х„+ Ь„. Поскольку преобразование по понятию обратимо, то вти формулы должны быть обратимы — так что опре- ЧАСТЬ 6 ОСИОВАИИЯ ГЕОМЕТРИИ делитель из коэффициентов не равен нулю. Эти преобразования образуют «аффинную группу», и предмет аффинной геометрии составляют ее инварианты. Аналогично можно определить проективную геометрию и измерений, пользуясь однородными координатами.

Точка определяется и+ 1 однородными координатами хь ..., х»+ь Преобразование изображается однородными линейными формулами с определителем, отличным от нуля, как записано для п = 2 в 2 4 гл. 111. Этн преобразования образуют «проективную группу» а измерений. и предмет проективной геометрии составляют ее инварианты. Представлять подобным образом в координатах круговую геометрию и геометрию Лобачевского мы здесь не будем. Отметим, что для того, чтобы инверсии «действовали» в пространстве (как и в плоскости) взаимно однозначно, его нужно дополнить бесконечно удаленной точкой. Поэтому преобразования, порождаемые инверсиями, заведомо нельзя представить в обычных координатах (как и проективные преобразования изображаются не в обычных, а в однородных координатах). 5 5.

Геометрия теории относительности Наряду с евклидовой геометрией рассматривают «псевдоевклидову геометрию». В координатах, когда точка определяется набором координат, с точки зрения группового принципа, изложенного в предыдущем параграфе, это выглядит так. Предмет евклидовой геометрии составляют инварианты преобразований, сохраняющих, с точностью до множителя, сумму квадратов разностей координат двух точек, т. е.

обозначая разность буквой А— дельта: (Ах,)'+ (Ах»)'+ . + (Ьх„)'. (!) Предмет же псевдоевклидовой геометрии и измерений составляют инварианты преобразований, которые сохраняют, с точностью до множителя, величину 1l =(Ах,)»+ ... + (Ьх„,)г — (Ах„)з, (2) 1Ч. Е. ГЕОМЕТРИЯ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 663 или вообще такую величину»л, в выражение которой вхог1ит некоторое число гп квадратов со знаком минус. Соответственно псевдоевклидова геометрия может быть в разных вариантах по числу отрицательных квадратов в выражении, которое сохраняется с точностью до множителя '). При числе измерений п ) 2, т. е.

исключая случай плоскости, зто оказывается равносильно сохранению равенства Р = О. В частности, при одном отрицательном квадрате, как в формуле (2), зто означает сохранение равенства (Лх,)г+ ... + (Ьхз,)г — (Лх„)э=О. Ограничимся этим случаем с одним отрицательным квадратом при числе измерений и = 4 (почему так— будет ясно дальше». Соответствующую псевдоевклидову геометрию можно определить так.

Основные ее объекты — точки. Аксиомы или определяющие условия: 1. Каждая точка задается упорядоченным набором четырех чисел — координат х, у, г, ! так, что между точкалш и всевозможными такими наборами есть взаимно однозначное соответствие. 2. Геометрический смысл имеют те и только те соотношения, которые сохраняются при любых преобразованиях, не нарушающих равенства (Ях)г» (Лу)г 1 (Л )г (аг)г (4) для любых двух точек, для которых оно выполняется. Геометрия теории относительности.

Обратимся от отвлеченно мысленных отношений геометрии и реальной действительности, иак мы можем ее себе представить в согласии с физикой. Мир представляет собою множество событий, а событие характеризуется местом и временем, где и когда оно происходит. Место определяется тремя '] Преобразование, сохраняющее какую. либо величину Р, сохраняет, очевидно, — Р. Поэтому преобразование, сохраняю. щее с точносгыо до множителя величину р с т отрицательными квадратамн, сохраняет и величину — г' с и — гл отрицательными квадратами.

Поэтому псевдоевклидова геометрия, соответствущая обоим случаям, — одна и та же. Соответственно, числа возможных псевдоевклидовых геометрий л измерений равно л/2 при четном в и (и — !»/2 — при нечетном и. чАсть а ОснОВАния ГСОметони обо координатами х, у, г, время события определяется по промежутку времени д прошедшему от некоторого начального момента. Таким образом, каждому событию соответствует свой набор четырех чисел х, у, г, ( — четыре координаты, три пространственные х, у, г и одна временная ~. Мир имеет четыре измерения. Координаты х, у, г мы представляем как прямоугольные, так что расстояние г между двумя местами — точками (хь ун г~), (хо, У2, го) — выражается формулой г = ~((х, — х,)2+ (у, — до)2+ (г, — г,)'.

(5) От одних событий к другим, от одного места к другому распространяется свет, и вообще какое бы то ни было электромагнитное излучение — оно же поток фотонов. Для краткости будем говорить, как зто принято, о свете. Если скорость света обозначить с, то расстояние г, пройденное светом от момента ~о до момента 1, будет Г = с (! — 10).

(6) Поэтому закон распространения света от события (хо,уо,го,12) — от вспышки в месте (хо,уо,г,) в момент нременн ~а, представляется, в силу формулы (5), так: 'Ъ~(х Ао) + (У Уа) + (г го) = с (г го) (7) Возводя в квадрат и обозначая разности буквой А, получим закон распространения света в виде (бх)2+ (Лу)2+ (Лг)2 — со (М)2 = О, (8) Во всех этих выводах имеются в виду такие пространственно-временные координаты х, у, г, (, в которых распространение света представляется как происходящее с постоянной скоростью во всех направлениях. Разные системы координат могут быть связаны с разными телами, движущимися различным образом, и распространение света относительно них может выглядеть по-разному, подобно тому, как поразному выглядит движение одних тел относительно других, как мимо пассажиров «плывут» дома.

Но можно считать твердо установленным, что системы координат, в которых закон распространения ш. 3 геометрия теОРии относителыюстп ббб света представляется формулой (7) или (8), существуют'). Назовем их лоренцевыми по имени физика Г. Лоренца, нашедшего формулы преобразования таких координат. Эти координаты связаны с так называемыми инерциальными системами, по отношению к которым выполняется «закон инерции»: тело, не испытывающее воздействий, движется относительно этой системы прямолинейно и равномерно.

Для ннерциальных систем выполняется фундаментальный закон природы — принцип от носит ел ьности: по отношению к таким системам явления одной и той же природы протекают одинаково. (Как для пассажиров в равномерно летящем самолете все происходит в самолете так, как если бы он стоял на земле.) Но не вдаваясь в эти выводы физики, можно высказать принцип относительности просто в его математическом выражении: Законы физики выражаются одинаково во всех лоренцевых системах координат. Эти координаты характеризуются тем, что в них распространение света представляется формулой (8). Поэтому п р и н ц и п относительности можно выразить так: Выражения законов природы инаариантнгл при преобразованиях одной системы лоренцевых координат в другую, т.

Характеристики

Список файлов книги