1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 110

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 110)

е. по отношению к таким преобразованиям, которые оставляют неизменной формулу закона распространения света (7). Этот же закон выражается формулой (8), а если выбрать единицы измерения так, чтобы скорость света была с = 1, то формула (8) приобретает вид: (йх)з+ уху)з+ (Лг)' — (81)з = О. (9) Теперь подведем итог. "' 1. Мир есть множество событий, и каждое собы1ие задается четырьмя координатами х, у, г, 1, причем существуют такие координаты — «лоренцевы», в которых закон распространения света выражается формулой (9).

2. Выполняется принцип относительности, как он только гго был сформулирован. ') Понятно, как для каждого закона физики, сказакиое нерио лишь прпближепио; однако с большой степенью точности. чАсть а. ОснОВАния ГеОметРии Сравнив это с определением псевдоевклидовой геометрии, связанной с формулой (4), можно видеть полное совпадение. В геометрии — в структуре мира основные обьекты — это события, подобно точкам. Законы этой структуры, подобно аксиомам геометрии, следующие.

!. Каждому событию можно сопоставить четыре координаты х, у, е, 1, так что лгежду событиями и наборами координат установ гиваетсявзаимнооднозначное соответствие. 2. Объективный физический смысл имеют только те соотношения, которые сохраняются при любых преобразованиях, не нарушающих равенства (9) '), Понятно, в законы физики входят разные физические величины помимо координат х, у, е, 1, и они должны тоже соответствующим образом преобразовываться. Но ограничимся тем, что может быть выражено в одних координатах (как например, какой- нибудь закон движения материальной точки, когда ее координаты х, у, е оказываются функциями 1).

В координатах выражаются пространственно-временные соотношения. И вывод, который мы получили, состоит в том, что общая структура таких соотношений — пространственно-временная структура мира— есть структура, или, другими словами, геометрия четырехмерного псевдоевклидова пространсгиа. й б.

Римановв геометрия и другие Рнманова геометрия, илн, что то же, геометрия римановых пространств, представляет собой обобщение внутренней геометрии поверхностей на произвольное число измерений и так же относится к и-мерной евклидовой геометрии, как внутренняя геометрия поверхностей — к геометрии на плоскости. Она названа по имени ее создателя Римана '). ') Эти преобразоааггггя можно пааоать «обгннмн преобразованиями Лоренпа», и отличие от специального их вида, к которому обычно применяют назиапие «прсобразоааггия Лорыша». ») Бернхарг Римагг (1826 — 1866) — нсмспкпй математик.

олин из пслнчайпгпх математиков 19.го века; ему приггадлежггт ряд фундаментальных идей и результатон и разных областях математики. В 1864 году он прочел а Гетгигггенском униаерсн- !Ц В. РИМАНОВЛ ГЕОМЕТРИЯ И ДРУГИЕ 867 Внутренняя геометрия поверхности определяется длинами кривых на ней, поэтому, с точкизрения своей внутренней геометрии, поверхность — это двумерное многообразие, в котором определены длины кривых, причем длина гладкой кривой выражается интегралом ~ 0з от «линейного элемента» с(з. Это соответствует тому, что длины измеряются как бы «бесконечно малыми шагами» г(з,— сумма их вдоль кривой и дает ее длину (так пояснял сам Риман).

На гладкой поверхности во введенных на ней координатах квадрат линейного элемента г1зз выражается как квадратичная форма от дифференциалов координат — первая квадратичная форма поверхности. Чтобы определить, что такое риманово пространство, достаточно перенести сказанное на п измерений. Риманово пространство — это многообразие, в котором определены длины кривых, причем длина кривой выражается интегралом ~ с(з от «линейного элемента» г(з. Это соответствует тому, что длины измеряются как бы «бесконечно малыми шагами» с(з; сумма их вдоль кривой и дает ее длину з = ~ г(з. В координатах х!, ..., к„, введенных в многообразии или в его области, квадрат линейного элемента б!зт выражается как квадратичная форма от дифференциалов координат: г(зз = ~ сг!» В(х! г)хь, !.

а-! где коэффициенты дгь являются непрерывными функциями точки — ее координат кг, ..., х„; при этом д!ь =дьь Форма (1) положительная, т. е. принимает только положительные значения, кроме того случая, когда с(х! — — ... — — Егх„=О. Задание с(зз формулой (1) значит следуюшее. Если в многообразии или в некоторой его области, тете лекцию «О гипотезах, лелсащих в основании геометрии». В ней он ввел общее понятие о пространстве в математике. включая функциональные пространства, указал основы обшей теории пространств с намерением длин, включающей риманову геометрию, н указал на ее возможную связь с физикой. Лекция вта была опубликована только после его смерти, в 1868 г. 668 ЧАСТЬ Е ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ где расположена кривая, введены координаты х1, ...

..., хгь то кривая может. быть задана параметрическими уравнениями х1=)1(1),, х =( ((); ( ЕЕ (гв, (1!. Предполагается, что эти функции имеют непрерывные производные. Тогда, приняв для этих производ~у ных обозначение — =х,, можно из (!) получить 111 выражение для элемента длины 1(я данной кривой: ь 1Ь = 'ч~/ ~ дгах1х» я((, 1. А-1 и длина кривой представится интегралом: / я я= ~ 1Ь= ~ ~/ ~ пяах1хя г((.

1, 1,а-1 Так как коэффициенты йы суть непрерывные функции координат хь ..., х„а на кривой х1 — — (1(() и т. д., то Аг1я оказываются непрерывными функциями я, так же как «1, ..., х . Поэтому интеграл имеет обычный смысл и существует '), Так же как на поверхности, расстояния в рима- новом пространстве между двумя точками М, У можно определить как точную нижнюю границу длин кривых МЛ(, соединяющих эти точки. Это будет длина кратчайшей из кривых Мй(, если кратчайшая существует. Во всяком случае у каждой точки есть такая окрестность, что любые две ее точки можно соединить кратчайшей. Кратчайшие играют в римановой геометрии роль отрезков. Кривая, которая ока- ') Риман ввел понятие о более общих пространствах, в которы« также определены длины кривьп, выражающиеся интегралом )ая от линейного элемента с(я.

На пя представляется не обязательно корнем из положительной квадратичной формы от дифференциалов координат г(«ь ..., б«ж а любой их паложительной функцией, зависящей также от точки — от самих координат, ая = ((«к б«~) = ((«ь ..., «„ Ы«ь д«,), причем эта фУнкцни адноРоднаи относительно 1(«ь ..., и«„ т. е.

/(«и ы«1) = )Ц((«1, .а«,), что и позволяет представить длину интегралом. не 6. Римлновл геометРия и дРуГие где Дхь ..., Дх„— разности координат точек М, Ф, е а е таково, что „ — О, когда точки М, )у' приближаются к О. Начало координат можно взять в точке О и обеспечить, что кратчайшие — геодезические линии, проходящие через нее, — будут представляться как прямые уравнениями вида х, =а,а, ..., х„=а„з. (3) Длина отрезка такой линии будет точно представляться евклидовой нли пифагоровой формулой: ) МДГ ~ = ~/Дх2+ ... + Дхе, (4) В частности, ~ ОМ)2=хе, + . + х'„.

Это позволяет определить угол — величину угла между двумя линиями, исходящими из точки О, так зывается кратчайшей на каждом достаточно малом участке, называется геодезической, так же как на поверхностях. Но большие дуги геодезических могут и не быть кратчайшими, как, например, дуги больших кругов на сфере, ббльшие полуокружности.

В малой окрестности любой точки геометрия риманова пространства мало отличается от евклидовой: тем меньше, чем меньше окрестность. Это основано на том, что преобразованием координат можно привести квадратичную форму ~ д,л2(х,2(х, в данной точке к видУ 2 2(хь т е. к квадРатУ линейного элемента евклидова пространства в прямоугольных координатах. Вблизи данной точки линейный элемент дз будет поэтому мало отличаться от евклидова дхь Поэтому и геометрия в окрестности будет близка к евклидовой. Точнее это можно выразить следующим образом. В и-мерном римановом пространстве в окрестности любой данной точки О можно ввести такие координаты х,, ..., х„, что расстояние )МФ1 между любыми двумя точками М, ДГ этой окрестности можно представить формулой ! Мж ~=~/(Дх1)2+, .

+(Дх„)2+а, 670 ЧАСТЬ б ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ же как в евклидовом пространстве. А так как за О можно принять любую точку, то угол определяется между любыми двумя линиями, исходяцГими из одной точки. Точно так же можно ввести другие понятия дифференциальной геометрии, поскольку они относятся к свойствам кривых и поверхностей «в точке», т. е.

определяются их свойствами в сколь угодно малой ее окрестности (и поскольку отклонения от евклидовой геометрии не играют роли). Но риманоаа геометрия вообще отличается от евклидовой и в малых областях, хотя и на величины более высокого порядка малости. По аналогии с поверхностямн, у которых гауссова кривизна относится к их внутренней геометрии, говорят о «римановой кривизне», характеризующей отклонение геометрии данного риманова пространства вблизи данной его точки от евклидовой геометрии. Взятое в точном смысле, понятие кривизны риманова пространства сложно.

Оно, так же как на поверхностях, связано с отличием от и суммы углов треугольника, сторонами которого служат кратчайшие линии. О других «геометриях». При групповом принципе определения той илн иной геометрии она вводится на пространстве в целом, и так определяется, прн данном числе измерений, ряд пространств: евклидовы, аффинные и др. Но в римановых пространствах геометрия определяется в бесконечно малых областях, можно сказать, дифференциально, н распространяется интегрированием.

Характеристики

Список файлов книги