1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Различие по основным объектам встречается как между замкнутыми, так и незамкнутыми системами аксиом. Например, у нас в ГА основными объектами являются отрезки, тогда как обычно основными объектами служат прямые. Соответственно изменяются н основные отношения, а вместе с этим и сами аксиомы. Рассмотрим примеры, Обратимся к аксиоматике стереометрии; она представлена у нас в пяти вариантах: три незамкнутые в й 8 гл. 1 ч. 2 и две замкнутые в $6 гл. 1 ч. 6. Последний из этих двух вариантов отличается от всех остальных тем, что в нем плоскость исключена из основных объектов.
(Пространственные аксиомы в первых вариантах 5 8 гл. 1 ч. 2 и $6 гл. 1 ч. 6 одни и тс же; разница — в линейных аксиомах; в общем случае онн включают понятие численной длины.) пь «. РАзные системы АксиОм Аксиоматика Гнльберта. Из замкнутых геометрических систем аксиом наиболее известна система аксиом Гильберта '). В ней основными объектами являются точки„прямые, плоскости, а основными отношениями служат; !) точка принадлежит прямой, точка принадлежит плоскости; 2) точка лежит между двумя другими (это равносильно тому, что точка С лежит на отрезке с коицамн А, В); 3) отношение равенства или, как оно называется у Гильберта, конгруэнтности; это, собственно, два отношения: равенство отрезков и равенство углов.
При этом под отрезком понимается пара точек А, В вместе со всеми точками, лежащими между ними. Под углом понимается пара лучей с общим началом, не содержащихся в одной прямой, а луч АВ определяется как совокупность таких точек М прямой АВ, что А не лежит между М и В. Аксиомы в системе Гильберта делятся на 5 групп: 1) аксиомы принадлежности, 2) аксиомы порядка, касающиеся отношения «между», 3) аксиомы конгруэнтности, 4) аксиома параллельности, 5) аксиомы непрерывности (их две — вместе они равносильны аксиоме непрерывности в нашей аксиоматике).
Можно в нашей аксиоматике исключить отрезки из основных объектов, а вместе с ними — и отношение точек к отрезкам. Вместо этого введем как основное отношение точек: одна точка лежит между двуми другими. Далее можно условиться: если точка С лежит между точкамн А и В, то будем говорить, что точка С «лежит на отрезке АВ». Иначе говоря, мы определяем отрезок АВ как геометрическое место точек, лежащих между А и В, плюс сами эти точки; при этом они называются концами отрезка АВ. (Данное определение отрезка согласуется с аксиомой геометрического места из аксиоматики 4зигуры.) Например, аксиома деления отрезка выразится с понятием «между» следующим образом.
') Давид Гильберт (1882 — )943) — немецкий математик. В его работе «Основания геометрии», появившейся в первом ва. рианте в !899 году, была дава система аксиом геометрии; одна из первых систем и самая совершенная среди тех, где аксиоматические основания геометрии были представлены так, как ик с тех пор понимают. Гильберт был крупнейшим математиком своего времени м оказал чрезвычайное влияние иа развитие математики в ряде направлений. ЧАСТЬ б ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ Если точка С между А и В, то: !) всякая другая точка М, лежащая между А н В, лсжит либо между А и С, либо между В и С; 2) всякая точка М, лежащая между А и С, лежит также между А и В (и то же для точек М между В и С вЂ” стоит лишь поменять обозначение А на В).
Читатель может рассмотреть наши аксиомы с точки зрения замены формулировок с отрезками на формулировки с отношением «между». Формулировки эти будут громоздкими. Недаром Гильберт, приняв, как основное, отношение «между», вводит тем не менее, н понятие отрезка и, как основное отношснне,— равенство отрезков. Равенство отрезков и углов устанавливается в практике не само собой, как в аксиомах, а либо наложением, либо измерением (впрочем, измерение тоже состоит в наложении — масштаба на измеряемый предмет). Поэтому естественно принять наложение за основное понятие геометрии. Другие аксноматики евклидовой геометрии.
Одновременно с появлением системы аксиом Гильберта была дана итальянским математиком М. Пиери система аксиом только с двумя основными понятиями: «точка» и «движение» вЂ” то же, что наложение. Первая аксиома о движении утверждала, что движение сопоставляет точкам точки. Понятия прямой и другие определялись через движение. Однако ограничение только понятиями точки и движения привело к чрезвычайной сложности аксиом„и система Пиери не получила распространения.
Потом немецкий математик Ф. Шур дал систему аксиом с теми же основными понятиями, что у Гильберта, кроме конгруэнтности: вместо этого вводится понятие движения и конгруэнтность определяется как совмещаемость движением (наложением). Тогда же в )904 г. независимо от Гильберта В. Ф. Каган' ) дал систему аксиом, в которой расстояние между точкамн (или, что равносильно,— длина отрезка) определялось как вещественное число. Тем самым эта система была незамкнута.
Равенство ') Вениамин Федорович Каган (!869 — )953) был прафессоз ром МГУ (с !923 г.), создал школу в дифференциальной геометрии. иь 4. РАзные системы Аксиом отрезков определялось равенством нх длин. Такая замена геометрического равенства отрезков равенством их длин проводилась в учебниках, принятых у нас в школе на протяжении последних 20 лет'). Надо, однако, ясно понимать, что отнесение отрезку определенного числа в качестве его длины не соответствует ни практике, ни геометрии, потому что отрезок имеет определенную численную длину не сам по себе, а только нри выборе единицы измерения, и прн ее замене численная длина изменяется.
И вовсе нелепо, когда в аксиомах вводится градусная мера углов, !80' у развернутого угла, как будто если измерять угол другой единицей, то будет уже другая геометрия а). В 1918 г. немецкий математик Г. Вейль дал систему аксиом, основанную на векторной алгебре. Вытеснение геометрии алгеброй распространилось и дошло до школьных учебниковз). Другие особенности аксиоматик. Помимо двух отмеченных фундаментальных различий в системах аксиом — по тому, что предполагается известным, и по основным понятиям, системы аксиом могут различаться и в других отношениях. 1. Самое простое — зто различие «ло формев, тогда системы аксиом отличаются только формулировками и компоновкой аксиом: какие аксиомы соединяются в одну или разделяются, а также как они распределяются по группам.
Так что тут на самом деле не разные, а одна система аксиом, только выраженная несколько разными способами. Например, нашу аксиому 1~ существования концов отрезка, $ 1 гл. 1, можно разделить на три и ') Колмогоров А. Н., Семенов, Черкасов Р. С. Геометрия б — 8. 8-е издание. 1980 — 82 гг. (Первоначально длина в кей определялась как величина ) Погорелов А. В. Геометрия 8 — 1О.— Мс Просвещение, 1981.
') Так же не отвечает ни практике, ни геометрии определ ° иие равенства отрезков по равенству численных длин, сантиметровые отрезки на измерительной линейке равны по геометрическому сравнению, а не потому, что им отнесено число !. ') См.. например, принятый в недавнее время учебник стереометрнн: Клопский В. М., Скопец 3.
А, Ягодовс к и й М. И. Геометрии 9. — Мс Просвещение, !975, где в качестве дополнения излагается аксиаматика Вейля. 21 А. Д. Алевсеехрав, И. Ю. Неиеетеев ЧАСТЬ 6. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ даже на четыре аксиомы (сделайте это). Можно было бы делить аксиомы на группы несколько иначе, например, относя аксиому деления плоскости к аксиомам связи, поскольку в ней понятие равенства отрезков не участвует.
Разумно сравнивать системы аксиом по числу входящих в нпх аксиом только в том случае, если разделить аксиомы, допускающие разделение; например, утверждение «у отрезка есть два и только два конца» делится на два: у каждого отрезка есть два конца", у каждого отрезка есть не более двух концов. 2, Более существенным является различие по аксиомам, т. е. такое, когда системы аксиом отличаются хотя бы некоторыми входящими в ннх аксиомами по содержанию, а не просто по форме выражения.
Так, например, получается, когда наша аксиома параллельных отрезков заменяется на аксиому параллельных прямых. 3. Варианты различия «по аксиомам» представляет случай, когда системы аксиом отличаются «силой» условий, в крайнем случае, когда в одной системе есть аксиома, выводимая нз других, так что заключенное в ней условие — лишнее, и такую аксиому можно исключить. Интересный пример дает аксиома параллельных. Вместо нее можно требовать только, что существуют такая прямая а и не лежащая на ней точка А, что через эту точку проходит не более одной прямой, параллельной и. Отсюда, конечно, с помощью других аксиом, уже следует, что то же верно для любой прямой и любой не лежащей на ней точки. Совершенно так же можно ослабить нашу аксиому параллельных отрезков, требуя только, что существуют такие точки А, В, С, Р, что отрезки АС, ВО перпендикулярны АВ и СО = А Н. Аксиому деления плоскости можно заменить аксиомой Паша, как это и сделано выше.
Системы аксиом Д. Гильберта, Ф. Шура, Г. Вейля и модифицированная система аксиом А. В. Погорелова изложены в книге: Алекса н дров А. Д. Основания геометрии. М.: Наука, 1987. Там же дан обстоятельный очерк развития оснований геометрии. пс с геометрия ловдчквского; ее модели блз Глава 1Ч РАЗНЫЕ ГЕОМЕТРИИ % 1.
Геометрия Лобачевского; ее модели Геометрия Лобачевского строится на тех же аксиомах, что геометрия Евклида, с единственной заменой аксиомы параллельных на противоположную: Аксиома Лобачевского. Оа плоскости для каждой прямой а через каждую не лежащую на а точку проходит по крайней мере две прямых, не пересекающих данную прямую а '). Поэтому в геометрии Лобачевского выполняются все теоремы евклидовой геометрии — планиметрии и стереометрии,— основанные на аксиомах за вычетом аксиомы параллельных. Но теоремы, связанные с этой аксиомой, заменяются существенно другими, которые, на первый взгляд, по большей части выглядят очень странно.
Здесь мы укажем модель геометрии Лобачевского на плоскости и этим решим три задачи; !) докажем непротиворечивость геометрии Лобачевского на плоскости; 2) докажем независимость аксиомы параллельных от других аксиом планиметрии; 3) покажем наглядный смысл фактов геометрии Лобачевского, как они представляются в модели, которая строится на обычной евклидовой плоскости„т. е., иначе говоря, в рамках планиметрии, Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского.
(Французский ученый Анри Пуанкаре (1854 — 1912» — крупнейший математик. Описываемая далее модель была предложена им в 1882 г.) Роль плоскости Лобачевского играет открытая полуплоскость; роль прямых выполняют содержащиеся в ней полуокружности с центрами на ограничивающей ее прямой и лучи, перпендикулярные этой прямой. Роль наложений выполняют композиции инверсий относительно этих ') Строго говоря, в изложенном виде аксиома Лобачевского не является логическим отрицанием аксиомы параллельных прямых. Такое отрицание может быть сформулировано следующим образом: Через некоторую точку проходят две прямые, не пересекаю.
щне некоторой третьей прямой. С учетом остальных аксиом обе формулировки оказываются равноснльнымн, как это станет ясно дальше. 2)ь члсть и. Основания геомвт»ии 644 полуокружностей и отражений в лучах. Все аксиомы евклидовой геометрии здесь выполняются, кроме аксиомы параллельных (рис. 32,а), тем самым в этой модели выполняется геометрия Лобачевского. Опишем эту модель более подробно н докажем сказанное. Берем на обычной евклидовой плоскости какую. нибудь пряму!о р и ограниченную ею открытую полуплоскость Р. Прямую Р назовем граничной прямой.
Полуплоскость Р будет играть роль плоскости Лобачевского; мы будем называть ее «плоскостью» в кавычках. Точками в модели будут точки Рис. з2 этой «плоскости», т. е. полуплоскости Р. За «прямые» в модели принимаем, во-первых, содержащиеся в Р полуокружности, центры которых лежат на граничной прямой (рис 32, а). «Отрезок» АВ в модели — это дуга такой полуокружности с концами А, В. Подчеркнем, что конец «отрезка» не может быть концом полуокружности, представляющей прямую; ее концы исключены вместе с граничной прямой; «плоскость» — это открытая полуплоскость, Точка «прямой» служит общим началом двух «лучей» вЂ” двух дуг полуокружности ( с исключенными концами).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
