1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 108
Текст из файла (страница 108)
2 ' 9. Длина окружности 1 не пропорциональна радиусу г, а растет быстрее: 1 = — (еы — с-А') = й 1 = 2п. — „Вййт, где и — постоянная, указанная выше (йт — безразмерная величина), и зп обозначает гиперболический синус. !О. Предел бесконечно растущих окружностей, касающихся данной прямой в данной точке,— не эта прямая, а особая кривая, называемая орициклом (или предел ь ной окружностью) . 11. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит либо окружность, либо орицикл, либо эквидистанта. Геометрия Лобачевского связана с евклидовой тем, что во всякой достаточно малой области на плоскости Лобачевского приближенно выполняется геометрия Евклида, тем точнее, чем меньше область.
Если за такую область взять круг радиуса т„ то относительное отклонение от линейных соотношений евклидовой геометрии будет порядка (ят)2, как в формулах для суммы углов треугольника и длины окружности (убедитесь из разложения в ряд). $ 3. Многомерное евклидово пространство Многомерное евклидово пространство уже было рассмотрено в гл. Ч ч. 3. Оно определяется гевметрическими аксиомами, аналогичными аксиомам стереометрии; эти аксиомы изложены также в $ б гл. 1. Но совершенно так же, как была сформулирована в 5 2 гл.
П1 «координатная аксноматикаа планиметрии и стереометрии, можно сформулировать координатную аксиоматику и-мериого евклидова пространства. Она состоит, можно сказать, в том, что сказанное чАсть а ОснОВАния ГеОметРии в теоремах 1, 2 $1 гл. Ъ' ч. 3 принимается в качестве аксиом. Итак, формулируем. Координатная аксноматнка п-мерного евклидова пространства.
О с н о в н ы е е е о б ъ е к т ы — точки. Аксиомы. 1. Каждой точке М соответствует определенная (единственная) последовательность п чисел (хьхм ... ..., х„) — «координаты точки М», так что каждая последовательность (хь хь ..., х ) соответствует какой-либо точке. Тем самым между точками и последовательностями (по и чисел) есть взаимно однозначное соответствие. 2. Каждой паре точек М (х„..., х„), М' (хн..., х'„) поставлено в соответствие число (ММ'1= — численное расстояние между точками.
3. Геометрическими считаются такие и только такие соотношения, которые определяются расстоянием между точками и сохраняются при умножении расстояний на один и тот же, но любой положительный м ножи тел ь. С помощью расстояния определяются отрезки, так же как это сделано в случае планиметрии, т. е. при и= 2 (в $2, гл. 1). Равенство отрезков определяется равенством расстояний между концами. Вместе с отрезками определяются прямые (так же как это сделано в й 7 гл.
1 о фигурах). Наконец, определяются плоскости, например, так, Плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые а, Ь, есть объединение всех прямых, пересекающих обе прямые а и Ь, но в разных точках, с добавлением точки пересечения. Таким образом, все основные понятия ГА †геометрической аксиоматики, изложенной в $ 1, гл. у, ч. 3,— оказываются определенными с помощью расстояния. После этого доказывается, что при указанном их определении выполняется все сказанное в аксиомах ГА (доказательство мы не даем, оно будет намечена в конце этого параграфа). С другой стороны, аксиомы КА — координатной аксиоматики— следуют нз ГА, как теоремы 1, 2 $1 гл.
Ч ч. 3. Таким пе 3, мнОГОмеРнОе еВклидОВО пРОстРАнстВО ВВТ образом, обе системы аксиом — геометрические и координатные — равносильны. В КА основными — заранее не определнмыми— объектами являются только точки. Если же точку отождествить с набором ее координат, то ничего не определяемого не останется и мы получим числовую модель аксиоматики и-мерного евклидова пространства.
Наличие такой модели доказывает непротиворечивость этой аксиоматики и в этом смысле — существование п-мерного евклидова пространства в качестие непротиворечиво мыслимого объекта (в меру того, насколько непротиворечива теория вещественных чисел, из которых модель строится). Введение координат в и-мерном евклидовом пространстве доказывает, так же как в случае планиметрии, что асе возможные модели этого пространства (с данным и) изоморфны координатной модели.
Тем самым аксиоматика л-мерного евклидова пространства полная. Замечание. Исторически понятие о многомерном пространстве возникло из той идеи, что можно мыслить пространство, в котором точка определяется не тремя, а ббльшим числом координат. Соответственно координатное определение п-мерного пространства было первым, и вопрос о его непротиворечивости не стоял. Групповое определение евклидовой геометрии. Из того, что соотношения евклидовой геометрии выражаются через расстояния, взятые с точностью до общего множителя, следует, что все эти соотношения сохраняются при любых отображениях, при которых расстояния только умножаются на одно и то же число, С другой стороны, если некоторое соотношение сохраняется при любых таких отображениях, сохраняющих расстояния с точностью до множителя, то оно от них только и зависит.
Таким образом, можно сказать, что евклидовой геометрии принадлежат все те и только те соотношения, какие сохраняются при указанных преобразованиях, — при которых все расстояния только умножаются на общий множитель, илн, что равносильно, сохраняются отношения расстояний. Такие преобразования пространства образуют группу (уже в связи с наложениями было отмечено, что обратимые часть д основания геометеии отображения любого множества на себя, что-либо в нем сохраняющие, образуют группу).
В планиметрии и стереометрии это преобразования подобия. Такое название переносится в и-мерную геометрию. Поэтому можно сказать: евклидова геометрия любого числа измерений имеет своим предметом свойства фигур, сохраняющиеся при подобных преобразованиях или, как говорят, инвариантные относительно группы подобных преобразований. По первой координатной аксиоме каждой точке отнесен набор чисел — ее координат хь хь ..., х„, и точки различаются координатами. Преобразование сопоставляет точкам (хь ..., х„) точки (уь ..., у„). Оно, стало быть, изображается преобразованием координат: у, =~, (хь ..., х„), ..., у„=1„(хь ..., х„). (2) Условие состоит в том, что это преобразование может придавать расстоянию только множитель.
Вместо расстояния можно, конечно, взять подкоренное выражение (х — х')'+ ... + (х — х')' и тогда условие приводится к тому, что должно быть (у, — у,) + ° ° ° + (у„у„) = = Х [(х, — х',)г+ ... + (х„— х„')г1, (4) где Х зависит не от координат, а только от самого преобразования. Теперь мы можем сформулировать: Групповые аксиомы евклидова пространства. 1. Точки находятся во взаимно однозначном соответствии с наборами чисел хы ..., х„— их координат. 2, Геометрическим считается всякое выраженное в координатах соотношение, сохраняющееся при всех тех преобразованиях (2), при которых выполняется равенство (4). Другими словами, геометрические — это те соотношения, которые инвариантны относительно группы подобий — преобразований (2) с условием (4).
Какие это преобразования — рассказывается в курсе алгебры, Так же как на плоскости и в трехмерном пространстве, это в ортогональныс преобразова- НС К МНОГОМЕРНОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Ввв ния с добавлением умножения на любое число, отличное от нуля. То есть преобразования вида д, = Л(анх, + ... + а,„х„)+ Ьь у„=Л(а„,х, + ... + а„„х„)+ Ь„ с условиями: сумма квадратов коэффициентов а,А в каждой строке равна единице, а суммы произведений одноименных коэффициентов из разных строк равны нулю: а»А, + ... +ОАА„=1 (Ь=1, ..., П), (6) пни„+ ... +аыа,„=О (!ФЬЮ;1,Ь=1,...,и). Аксиому 2 можно формулировать так: 2. Евклидовой геометрии принадлежат те и только те соотношения, которые инвариантны относительно группы подобий, т. е.
преобразований вида (5) с условиями (6). План построения геометрии на координатных аксиомах. Рассмотрим и-мерное евклидово пространство с координатными аксиомами. Каждая точка определяется своими координатами (хь ..., х,). Подобно тому, как это можно сделать в стереометрни, определим конкретные векторы как упорядоченные пары точек: А — начало,  — конец вектора АВ, Координаты вектора определяются как разности координат конца и начала: ха — х" ,и т. д. Векторы равны, если равны их координаты: равные векторы— пары точек — являются представителями одного «абстрактного» вектора, который полностью характеризуется координатами: а = (аь ..., а„).
(Не путать векторы с точками!) Сложение векторов, умножение на число и скалярное произведение определяем формуламн а+ Ь=(а, + Ьн ..., а„+ Ь„), Ла=(ЛОО ..., Ла„), аЬ=О,Ь,+ ... +а»Ь„. Из последнего равенства следует, если положить аа = ат и т. п., аЬ = — ((а + Ь)' — а' — Ь') . 2 ЧАСТЬ Е, ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ Тем самым скалярное произведение выражено через расстояние. Если хн ..., х„ — координаты точки М, то с ней связываем ее крадиус-аектор» с ее координатами г = = (хь ..., х„). Прямая, пролодящая через точку с раднус-вектором х,, есть множество точек с радиус-векторами х = хе + а1, — оо < 1 < + оо, а — направляющий вектор.
Плоскость можно задать ее точкой хе и двумя неколлинеарными друг другу векторами а, Ь; точки плоскости имеют радиус-векторы х = х, + а1 + Ьэ, — оо < 1, з < со. (7) По векторам а, Ь можно определить взаимно перпен- дикулярные единичные векторы Ь вЂ” е~ )е,Ь) е— е е,= —, )Ь вЂ” е, (е~Ь) 1 Выражая в (7) а и Ь через е~ и ем получим к = ко + е,1, + ее),. Этим на плоскости введены прямоугольные координаты 1ь 1е (с основными вектоРами ен ее и с началом в точке х,). С помощью этих координат убеждаемся, что на плоскости выполняется планиметрия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
