1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Вещественныс числа служат основным предметом всей математики, через них определяются функции и комплексные числа и функциональные пространства и т. д, Поэтому, давая числовую модель аксиом геометрии, мы тем самым логически включаем геометрию в целостную систему математики. И непротиворечивость оснований геометрии опирается таким образом на широчайшее основанпе в математике. Что же до окончательного доказательства непротиворе- 634 ИАсть 6 ОсиОВАкия ГеОметРии чивости, то оно не может быть дано: доказывая, мы чем-то пользуемся, и об этом тоже можно спросить; а не скрыто ли здесь возможное противоречие? Об атимся к вопросу о полноте нашей системы аксном. Тут мы можем утверждать: Наша аксиоматика планиметрии полная, Д о к а з а т е л ь с т в о.
Исходя из аксиом, мы ввели на плоскости прямоугольные координаты и вывели формулу для расстояния между точками. Стало быть, это можно сделать во всякой модели, где выполняются аксиомы. Значит, всякая модель изоморфна числовой модели, в которой точки — это папы чисел и расстояние задается той же формулой. Таким образом, наша аксиоматика планиметрии полная. То же верно для аксиоматики стереометрии, поскольку и в пространстве тоже вводятся координаты и все геометрические соотношения могут быть в них выражены.
О независимости наших аксиом планиметрии можно сказать, что есть независимые аксиомы, но есть и зависимые. Аксиома параллельных отрезков независима; это будет доказано потом. Аксиома непрерывности независима (это доказывается числовой моделью, в которой, однако, фигурируют не все вещественные числа х, у, а только такие, которые получаются из ! применением действий типа а ~ Ь, аЬ, —, ~/аз+ Ь~) . В аксиоме откладывания угла требуется, что откладывается только один угол, равный данному. Это можно исключить: эта часть аксиомы зависима. Мы ввели ее для простоты, поскольку ее доказательство достаточно сложно.
Выяснение независимости всех аксиом представляет трудность. Экзотическая модель планиметрии. Представим себе плоскость с прямоугольными координатами х,у. Но будем считать отрезком, соединяющим точки А (ха, уз), В(хь у~), кривую, образуемую точками М(х, у) с координатами х —.з~~(! !) хз+ !хз 6 (!) У =(! — Г)Уо+ !Уь 0(~!- !. Н!. 3. АКСИОМАТИКА В ОТВЛЕЧЕННОМ ПОНИМАНИИ 63$ Припишем «отрезку» АВ «длину» ! АВ ! = ~/(хо! — хо)3+ (у, — уо)' (2) н будем считать равными отрезки равной «длины».
Все аксиомы будут выполняться. Если х, чь х!, то, исключая из (!) параметр (, получим уравнение вида у=Ах»+ (з) А при хо =х! будет х= хо, и при уо =у! будет у= =уо, т. е. «отрезки» вЂ” зто дуги кубических парабол (3) и отрезки прямых х = сопз(, у = сопз!. Общий прием получения таких моделей состоит в следующем. Полагаем х = !(х), у = д(у), где функции !', у обратимы. Отрезок х =(! — !)хо+ !х3, у = = (! — !) Уо+ (у! заменяется кривой: х = ! ((! — !) ! (х,) + 4) (х,)), у=у '((! — !)у(х,)+ !у(х,)). Расстояние будет ! АВ (= т/(1 (х!) — 1(хо))'+ (а (х!) — й (хо)) х =~/х, Отрезок х=(! — !) хо+!х!. у = у. у=(! — !) у»+!у перейдет в х=1/(! !)х!!+ !хо! у (! !)уз+~у!.
Можно также взять х= «!/х, у =1~у с любымн не- четными а и по и т. п. Вообще, произведем любое взаимно однозначное отображение плоскости на себя. Отрезки перейдут в какие-то фигуры, и соответственно все, что касалось отрезков, будет касаться этих фигур. Так что получается модель планиметрин с этими фигурами в качестве «Отрезков», В приведенном примере мы произвели преобразование, сопоставляя точкам (х, у) точки с координатамн ЧАСТЬ К ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ Такие модели служат иллюстрацией к абстрактному взгляду на аксиоматику, «Отрезок» может быть любой кривой — лишь бы формально выполнялись требования аксиом.
й 4. Разные системы аксиом Замкнутые и незамкнутые аксиоматики. Системы аксиом, которые кладутся в основание геометрии, как и других теорий, могут различаться в целом ряде отношений. В предыдущем параграфе была представлена система аксиом планиметрии — всего из трех аксиом, — совершенно отличная от той, какую мы приняли с самого начала в гл. Е Главное различие этих двух систем аксиом — геометрической (ГА) и координатной (КЛ) — заключается, конечно, не в том, что в одной аксиом довольно много, а в другой— мало, Главное различие в том, что считается заранее известным в одном и в другом случае.
В КЛ используются вещественные числа, а в ГЛ вЂ” ничто не предполагается известным заранее. Аксиомы ГА можно объяснить наглядно человеку, который не знает математики. Но аксиомы КА будут понятны только тому, кто знает теорию вещественных чисел, и уж во всяком случае он должен понимать формулу для расстояния.
Конечно, во всякой аксиоматике что-то подразумевается известным; минимально — это правила грамматики, логика, а также натуральные числа: один, два н т. п. Во всяком случае, без грамматики и логики ничего нельзя сформулировать. Как нельзя, например, высказать аксиому о проведении отрезка без слова «существует» или без равносильного выражения. Если в аксиоматике используется только такой необходимый минимум, то мы называем ее замкнутой или исчерпывающей, Если же это не так, если в аксиоматике подразумевается известным или само собой понятным что-либо сверх этого, скажем, понятие из другой теории, то такая аксиоматика будет незамкнутой.
Наша система аксиом ГЛ замкнута, система КА — не замкнута. Раньше, в гл. ! ч. 2 мы ввели систему аксиом с теми же основными понятиями, что ГА, и с во мно- н!. 4. РАзные системы Аксиом 637 гом сходными аксиомами, но включающую аксиомы длины и меры угла. В этих аксиомах используются вещественные числа и, стало быть, такая система аксиом тоже незамкнута. Ее можно обозначить как НГА — «не вполне геометрическая аксиоматика», поскольку она геометрическая, но отступает от чистой геометрии, включая понятия численной длины и меры угла.
Для того чтобы сделать незамкнутую аксноматику замкнутой, исчерпывающей, ее нужно дополнить аксиомами, говорящими об используемых в ней понятиях; в принципе это всегда можно сделать, Так, для того чтобы «замкнуть» систему КА, нужно добавить к ней аксиомы вещественных чисел. Этих аксиом, минимум, 18 (восемнадцать!), так что если прибавить их к КА, то получится довольно внушительный список.
Немудрено, что аксиом в КА мало: в ней много подразумевается известным! Простейший случай не исчерпывающей аксиоматики — тот, когда в ней просто пропущены некоторые аксиомы или, более того, — не выражены в аксиомах какие-либо основные понятия, которыми, однако, пользуются в доказательствах. Так обстоит дело в «Началах» Евклида ') и во многих прежних и современных курсах геометрии, где наряду с аксиомами опираются на очевидность.
Но это «не тот случай»; мы обращаем внимание на аксиоматики, использующие негеомстрические понятия. Системы аксиом, использующие вещественные числа и некоторыс другие понятия, могут быть очень удобными, как наша НГА; они распространяются и вводятся в школьные учебники. Но надо ясно понимать, что они не являются замкнутыми и, стало быть, сами по себе нг дают исчпрпогпающих оснований геометрии. ') Евклид жнл в Александрии в 111 в. до и. з.
— в т. н. эпоху зллннпзма, наступившую послс походов Александра Маке- лонского. В его труде «1!ачала» были систематизированы и изложены в логической послсдователыюстн основы геометрии, а тзсснсс элементы теории чисел и геометрически изложенной алгебры. Изложению предшествуют определенна основных понятий н формулировки основных положений геометрии — постулатов и «аксиом» !теперь зто различие не делается). В атом отношении «Нзчала» подожгли начало аксиоматике. взв чАсть а ОсиОВАиия ГеОметРии В аксиоматике сплошь и рядом фигурирует понятие множества.
Но оно настолько укоренилось в основах математики, что его появление в аксиоматике можно не считать нарушением ее замкнутости: можно сказать, включающая его аксиоматика замкнута в рамках общей теоретико-множественной точки зрения. Конечно, у теории множеств есть свои аксиомы, и если иметь это в виду, то аксиоматику, использующую понятие множества, нельзя считать замкнутой.
Однако аксиоматизированное понятие множества в полном объеме редко бывает нужно, а в элементарной геометрии оно вообще не нужно, Мы вовсе без него обошлись, введя аксиомы фигуры. Итак, мы фиксируем фундаментальное различие двух типов систем аксиом — замкнутых и незамкнутых. Различие аксиоматик по выбору основных понятий. За этим следует другое существенное различие — по основным понятиям: какие объекты и отношения принимаются в аксиоматике за основные. Тут между системами ГА и КА опять же есть громадная разница. В КА только один вид основных объектов — точки и никаких основных отношений; все определяется с помощью координат. В ГА, напротив, (в планнметрии) принимаются два вида основных объектов: точки и отрезки, два вида отношений точек и отрезков; точка— конец отрезка или лежит на отрезке, и отношение равенства отрезков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
