1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Оно отображает тогда на себя и всю содержащую его *прямую — полуокружность а. Если же *наложение переставляет *полуплоскости, ограниченные *прямой а, то добавив отражение в ней, можно добиться того, что и полуплоскости эти будут отображаться каждая на себя. В таком случае, ввиду сохранения углов, все 'лучи, исходящие из точки А, будут отображаться на себя. Значит, при такой композиции инверсий (и отражений в вертикальных лучах) все концы лучей на граничной прямой остаются на месте.
Вместе с ними отображаются на себя все полуокружности с концами на граничной прямой, т. е. *прямые модели. Но каждую точку можно получить в пересечении этих *прямых. Поэтому все точки отображаются на себя— «остаются на месте» вЂ” так что рассматриваемое *наложение оказывается тождественным вопреки предположению. Этим единственность откладывания на данном луче отрезка, равного данному, доказана.
На этом доказательство того, что в рассмотренной модели выполняется геометрия Лобачевского, заканчивается. Требование аксиомы меньшего отрезка, что в отрезок нельзя уместить ему равный, заведомо выполняется при том, что уже доказано. Впрочем, доказательство того, что оно выполнено, читатель может провести сам. Описанную модель плоскости Лобачевского можно еще назвать конформной, поскольку в ней наложения представляются инверсиями — преобразованиями, сохраняющими углы.
Модель геометрии Лобачевского в пространстве. Эта модель определяется аналогично модели на плоскости. За пространство принимается открытое полупространство Р. «Плоскостями» в нем служат содержащиеся в Р полусферы с центрами на граничной плоскости, а также перпендикулярные ей открытые полуплоскости (рис. 36).
За «прямые» принимаются ЧАСТЬ К ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ полуокружности, перпендикулярные граничной плоскости (т. е. касательные к ним в концах перпендикуляры этой плоскости; центры их лежат на граничной плоскости), а также перпендикулярные ей лучи. Роль «наложений» играют композиции инверсий в сферах с центрами на граничной плоскости и отражений в перпендикулярных ей плоскостях. Рис. 36 Проектнвная модель геометрии Лобачевского. Геометрия Лобачевского на плоскости представляется еще следующей моделью на обычной евклидовой плоскости. Плоскость Лобачевского представляется внутренностью круга (рис. 37), прямые — хордами (с исключенными концами, поскольку рассматривается только внутренность круга).
Преобразования — отображения круга на себя, переводящие хорды в хорды,— принимщотся за наложения; так что равными считаются фигуры внутри круга, которые отображаются ряс 37 одна на дРУгУю пРи таких пРеобРазо- ваниях круга. Преимушество этой модели в том, что прямые изображаются очень наглядно: хордами — прямолинейными отрезками. Но зато в отличие от предыдущей модели углы в смысле геометрии Лобачевского связаны с обычными евклидовыми углами очень сложно. Геометрия Лобачевского в пространстве представляется аналогичной моделью.
Пространством служит внутренность шара, прямыми — хорды с исключен- пь с геометеия ловхчевского; ее модели яви ными концами, наложениями — отображения шара на себя, переводящие хорды в хорды. Плоскости представляются внутренностями кругов, являющихся плоскимн сечениями шара (это уже очевидно следует из того, что прямые изображаются хордами). Указанную модель для плоскости и для пространства мы назвали проективной, так как отображения, которые представляют здесь наложения, — это проективные преобразования соответственно круга и шара.
Эта модель называется также моделью Кэ- ! ли — Клейна. Ее построил английский математик Кали, но он не понял, что введенная нм геометрия в круге и есть геометрия Лобачевского; это сообразил позже, в 1870 г., немецкий математик Клейн. ! Модель геометрии Лобачевского на поверхности. Оказывается, что геометрия Лобачевского реализуется на поверхностях постоянной отрицатель- Рис. ЗВ ной кривизной; внутренняя геометрия такой поверхности и есть геометрия Лобачевского. Только не на всей плоскости, а на той ее части, которая может быть представлена данной поверхностью. Вместе с тем доказано, что не существует (в трехмерном евклидовом пространстве) никакой поверхности, которая своей внутренней геометрией представляла бы всю плоскость Лобачевского.
Во внутренней геометрии поверхности роль прямолинейных отрезков играют кратчайшие линии (отрезки геодезических); роль наложений — такие отображения фигур, содержащихся в поверхности, которые сохраняют расстояния, измеряемые по этим кратчайшим линиям. Самая известная из поверхностей постоянной отрицательной кривизны — псевдосфера — изображена на рис. 38.
Реализацию геометрии Лобачевского на поверхностях постоянной отрицательной кривизны установил итальянский математик Бельтрами (в 1861 г.). чАсть и ОснОВАния ГеОметРии Впрочем, еще за 30 лет до него это установил, собственно, Миндннг — профессор университета в Дерпте (ныне Тарту),— но ие понял этого. $2.
Факты геометрии Лобачевского Аксиоматика геометрии Лобачевского полная— все ее модели изоморфны. Поэтому факты — теоремы этой геометрии можно наблюдать на любой модели. Здесь мы укажем ряд фактов геометрии Лобачевского, которыми она отличается от геометрии Евклида, прежде всего на плоскости. Мы иллюстрируем их на конформной или проективиой модели. !. По аксиоме Лобачевского на плоскости через точку А, не лежащую иа прямой а, проходит по крайней мере две прямые, не пересекающие а.
Рнс. 39 Если А — перпендикуляр из А на прямую а, то прямая Ь, проходящая через А перпендикулярно АВ (рис. 39,а), заведомо не пересекает а (что доказы- е. вается так же, как в евклидовой плаииметрии). Поэтому в силу аксиомы Лобачевского есть прямая, проходящая через А к образующая с АВ с одной стороны острый угол, ио ие пересекающая прямой а.
Пусть а — точная нижняя граница таких углов. Прямая с, проходящая под таким углом к АВ, все еще не пересекает а. (Так как иначе через А проходила !Ч. Е ФАКТЫ ГЕОМЕТРИИ ЛОГАЧЕВСКОГО взз бы прямая, пересскаютцая а в более далекой точке и, стало быть, образующая с ЛВ больший угол,) В то же время любая прямая, проходящая через А и образующая с ЛВ угол, меньший, чем а, уже пересекает а. Такая прямая с в геометрии Лобачевского называстся параллельной прямой и.
Острый угол а, который она образует с перпендикуляром АВ, называется углом параллельности. По симметрии есть вторая прямая с', параллельная а, образующая с ЛВ угол а с другой стороны. Эти прямые неограниченно, асимптотически приближаются к прямой а с одной и другой стороны, т. е. к одному ее лучу и к другому. В конформной модели эти прямые изображаются окружностями, касающимися окружности, изображающей прямую а, в точках на граничной прямой (рис. 39, 6).
В проективной модели параллельные прямые изображаются хордами с общим концом а (рнс. 39,в). Угол параллсльно- Ряс. АО сти сс зависит от расстояния й =1ЛВ(. С ростом и он убывает и стремится к нулю, как пидна на конформной модели (рис.
40). Имеет место формула Лобачевского 1д — =е-"А, где 2 Й зависит от единицы измерения длины. 2. В геометрии Лобачевского не выполняется наша аксиома параллельных отрезков: если равные отрезки АС и ВО проведены перпендикулярно отрезку АВ в одну сторону от него, то СОФАВ. Более того, заведомо СР ) АВ, и с увеличением длин отрезков ,ЛС, ВР расстояние СО неограниченно растет.
Это ,значит, что прямые АС и ВО с общим перпендикуляром ЛВ неограниченно расходятся в обе стйроны. Выполняется даже следующее. Пусть прямая а перпендикулярна отрезку АВ в его середине. Тогда прямые, ей перпендикулярные и пересекающие ее достаточно далеко от АВ, не пересекают прямыя АС, ВΠ— лежат в полосе между ними. Это видно на проективной модели (рис. 41). Из симметрии относительно диаметра круга ясно, что ЧАСТЬ 6, ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ хорда, перпендикулярная диаметру, изображает прямую, перпендикулярную прямой, изображаемой диаметром.
Поэтому на рисунке хорды Ь, с — это прямые, перпендикулярные а. Посмотрите, как это выражается в конформной модели. э 3. Во всяком сколь угодно малом угле (как части плоскости) содержатся прямые, не пересекающие его сторон. В частности, среди таких прямых есть и прямые, перпендикулярные биссектрисе. Это также видно на моделях (рис.42). 4. Если две прямые не пеРис.
41 ресекаются,то они либо имеют, и притом единственный, общий перпендикуляр и бесконечно расходятся друг от друга в обе стороны, либо они параллельны и расходятся в одну сторону, а в другую — асимптотически сближаются. 5. Из сказанного в 4 следует, что никакие две прямые не располагаются на постоянном расстоянии друг Рис. 42 от друга. Линия, проходящая на постоянном расстоянии от прямой — выпуклая кривая; она называется эквидистантои. При сдвиге вдоль прямой точки плоскости, не лежащей на втой прямой, перемещаются по эквидистантам.
6. Сумма углов треусольника не равна еп она всегда меньше на величину, пропорциональную площади треугольника: а+ р+ у = и — йио', где й зависит от единицы измерения длины. Пк З. МНОГОМЕРНОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ВВВ 7. Не существует треугольников сколь угодно большой площади. (Это уже следует из предыдущего: так как а+ б + у ~ О, то й'з < и, з < —,, ) 8. Нет подобных треугольников; если у двух треугольников углы равны, то треугольники равны. Поэтому существует «абсолютная» единица длины, определяемая самой геометрией, например, сторона равностороннего треугольника с суммой углов —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
