1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Пусть хл —— а, ха — — Ь и а ( Ь. Пусть точки отрезка — промежутка [а, Ь) — разделены между миожествамн Р, Р' так, что для лен Р н х'ен Р' всегда х( х' н Р, Р' содержат числа, отличные от а н Ь. Пусть с — точная верхняя граница множества Р. Тогда, само собой, при всяком хе- =Р будет х( с. И прн всяком х'ев Р' будет х') с. (Если бы в Р было какое-то х,' < с, то нашлось бы х, е= Р такое, что х, > х' вопреки определению множеств Р н Р'.) Итак, при всяких х ен Р, х' я Р' будет х < с < х' нлн [ах] с с [ас] с [ах'[.
Для отрезков с концами в точках с такими координатами это значит, что АХ с: АСс: АХ'— в согласии с аксиомой непрерывности. Итак, линейные аксиомы выполняются на прямой у = О. А так как в нее можно перевести всякую прямую, сохраняя расстояние, то н на всякой прямой этн аксиомы выполняются. И так как любой луч можно перевсстн в луч на прямой у=О н обратно, то на всяком луче откладывается отрезок„равный данному. Таким образом, все линейные аксиомы выполняются всюду. П Теперь проверим, что выполняются также все плоскостные аксиомы. 1.
Аксиома деления плоскости. Прямая у = О разбивает всс ис лежащие на ней точки на два класса: у одних у ) О, у других у ( О. Отрезок, соединяющий точки разных классов, содержит точку с у=О. На отрезке же, соединяющем точки одного класса, у сохраняет знак. Таким образом, утверждение аксиомы деления плоскости выполняется для прямой у = О. Любую прямую можно перевести в прямую у=бпреобразованием всей плоскости, сохраняющим расстояние.
Поэтому н для всякой прямой утверждение аксиомы выполняется. 0 2. Аксиомы угла. Углом будем называть пару лучей с общим началом, не содержащихся в одной чАсть в ОснОВАния ГеОметгиь! прямой (это настоящий угол). Лучи — стороны угла, общее их начало — его вершина; понятие поперечины понимаем как и раньше. Возьмем какой-нибудь угол аЬ с вершиной (0,0) и со стороной а, содержащейся в прямой у =О, Пре- образованием плоскости, сохраняющим расстояние, переводим луч а в какой-либо данный луч а!. Тогда луч Ь перейдет и некоторый луч Ь!. Вследствие со- хранения расстояний все соответственные поперечины углов аЬ и а!Ь! равны.
Значит, х аЬ = х.а!Ь!. Возможно, угол а!Ь! отложен от луча а, не по ту сторону, какую мы могли заранее задать, Но тогда сначала заменим угол аЬ на аЬИ у которого луч Ья получается из Ь переменой знака у (т. е. преобразо- ванием ()П)), Очевидно, х.аЬŠ— — х.аЬ. Теперь пре- образование, переводящее луч а в а,, переведет луч Ьз в такой, который лежит от а! по другую сторону, чем Ь!. Таким образом, угол, равный данному со сторо- ной на прямой у =О, можно отложить от данного луча по любую сторону от него.
Если теперь дан любой угол аЬ и любой луч аь то переводим угол аЬ в такой, у которого сторона лежит иа прямой у =О. А потом этот угол перево- дим в угол со стороной а!. Таким образом, для всякого угла аЬ есть при лю- бом данном луче а! два угла со стороной аь равных х.'аЬ; один по одну сторону от ан другой — по другую. Но этим еще аксиомы угла не доказаны: нужно еще доказать: 1) единственность Отложенного угла, 2) равенство у двух углов всех соответственных по- перечин, когда есть хотя бы одна пара равных.
Для того чтобы установить это, докажем: При любых двух данных различных точках А, В существует не более двух точек С, для которых рас- стояния 1АС(, )ВС( имеют заданные значения; если есть две такие точки, то они лежат яо разные сто- роны от отрезка АВ. Пусть сначала точки А и  — это (0,0) и (Ь, 0), Ь МО. Пусть г!, ге — данные расстояния от А и В, так что если х, у — координаты точки С, тз хх+ уе ! тх =(х — Ь)Я+ ух = хе+ уз — 2Ьх+ Ьз. ИЬ Е АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ ЕЕВ Отсюда Г'= г', — 2Ьх+ Ьт, Из этого равенства находим х, и тогда из первого равенства получаем не более двух возможных значений у, Два значения у различаются только знаком, т. е. соответствующие точки Сн Сэ лежат по разные стороны от прямой у=О (одно значение будет, когда у = О, — точка С лежит на прямой у=О).
Этот вывод мы получили, когда точки А, В лежат на прямой у = О. Если теперь точки А, В любые, то мы можем перевести прямую АВ в прямую у =0 преобразованием всей плоскости, сохраняющей все расстояния, Точки А, В перейдут в некоторые Яь, Вь с ) АЕВо~=!АВ~, н для них найдется не более двух точек С, с данными расстояниями )ААСь) = Гь )ВоСА!= Гь Ввиду сохранения расстояний есть не более двух точек С на данных расстояниях от А и В; и если их две, то они лежат по разные стороны от прямой АВ. П Пусть теперь дан угол аЬ и от луча а~ по данную от него сторону отложен угол а~ЬН Допустим, есть еще другой угол а,Ьь равный аЬ, по ту же сторону от луча ан Тогда у углов а~Ь~ и а~ЬТ есть соответственные поперечины, которые равны, но концы на лучах Ь, и Ье у них разные. Если Π— начало луча ан то это будут какие-то поперечины АВИ ЯВА с ~ОВ~~ = =~ОВ,) и )АВ~(=1ЯВе).
Но, по-доказанному, с одной стороны от АВ~ может быть только одна точка с данными расстояниями от О и А. Следовательно, предположенное невозможно. И,стало быть, угол а1Ь|, равный аЬ, только один. Теперь докажем: Если у двух углов есть пара равных соответственных поперечин, то все их соответственные поперечины равны, т. е. углы равны. Допустим, у углов аЬ и а~Ь| есть пара равных соответственных поперечин АВ, А ~ВИ так что ~ ОА ) = =~О~А,), )ОВ(=~О~В~), )АВ(=)А,В~~. По-доказанному от луча а, можно отложить угол а~Ьь равный углу аЬ, с той же стороны, где лежит угол а~ЬЕ И так как г а~Ь| = ЛаЬ, то ~а~ЬА= ~а~ЬИ По равенству этих углов у угла а,ЬА есть поперечина А,Вь соответствующая и равная поперечине А~В~ угла аА. При этом отрезок О~А, общий у этих углов, так что имеем !О,Я, !=!О,А, ~, ! О,В,)=!О,В,), ~ АВ,1=) АВ,!.
ЧАСТЬ 6, ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ Но так как точки Вь Вз лежат с одной стороны от отрезка О~ЛИ то они совпадают. Тем самым у лучей Ьь Ь, есть общие точки Вь Вт и лучи совпадают. Это значит, что угол с одной поперечиной, равной соответственной поперечине угла ОЬ, равен углу аЬ,— у них все соответственные поперечины рави.ы, что и требовалось доказать.
П Итак, выполнение аксиом угла проверено. П 3. Аксиома параллельности. Возьмем точки А (а, 0), В(Ь,О) и С(а, с), О(Ь,с); а, Ь, с О. Отрезки АС, В11 равны, т. е. 1АС(=1ВВ)= с, расположены с одной стороны от АВ и )С0)=(ЛВ(. Отрезки ЛС, ВВ образуют с АВ прямые уплы, т. е. углы, равные своим смежным.
Это проверяется совсем просто, так как по- доказанному упяы равны, если у них есть пара равных соответственных поперечин. Таким образом, аксиома параллельных отрезков выполняется, когда отрезок АВ лежит на прямой у=О. Но преобразованием, сохраняющим расстояние, можно любой отрезок перевести в отрезок на прямой у=0. Следовательно, аксиома параллельных выполняется при любых отрезках АВ. П На этом проверка аксиом завершается и таким образом доказано, что в аналитической геометрии, основанной на КА — на координатной аксиоматике— выполняется ГА — геометрическая аксиоматика.
А так как обратное уже было установлено, то, стало быть, доказана равносильность обеих аксиоматик, а с ней и теорема 1. П Аналитическая аксноматика стереометрин. В основу стереометрии можно положить следующие координатные аксиомы: 1. Точки пространства поставлены во взаимно однозначное соответствие с тройками чисел х, у, г— со всевозможными упорядоченными тройками. Эти числа называем координатами точки, 2. Каждой паре точек А, В сопоставлено число— ччисленное расстояниеь ~ АВ) =1/(кл — кв) +(ул ув) +(гд гв) 3. Геометрический смысл имеют те и только те соотношения, которые определяются через эти расстояния, и притом так, что они — зти соотношения— НЕ 3 АКСИОМАТИКА В ОТВЛЕЧЕННОМ ПОНИМАНИИ ВЗ7 сохраняются при умножении всех расстояний на одно и то же, но любое положительное число. Отрезки, отношения точек к отрезкам определяются так же, как и выше — в случае планиметрии; равенство отрезков определяется по равенству расстояний между концами.
Прямую АВ можно определить как множество точек с координатами х =хл + 1(хе— — х„) и аналогично для у и х; г ы ( — ьь, + ОО). Плоскость можно задавать тремя точками А, В, С, не лежащими на одной прямой, как множество точек с координатами х = хл + Г (хв — хл) + з (хс — хл), и аналогично для у и г; г н з принимают все значения «от — со до + оо», Координатные аксиомы равносильны геометрическим.
Доказывать это мы не будем. Принципиально важный фант, что геометрию можно определять аналитически, пользуясь координатами, выяснен на примере планиметрии. $3. Аксноматика в отвлеченном понимании; ее модель, непротиворечивость, независимость, полнота Аксиоматику геометрии с основными объектами— отрезками или прямыми — можно понимать двояко: наглядно содержательно и отвлеченно. В первом случае основные понятия — объекты и отношения — представляются в их исходном наглядном, хотя и идеализированном, смысле, а аксиомы представляют собой описание свойств этих объектов и отношений. Так, например, отрезок мыслится в его обычном виде идеально тонкой черты на бумаге или натянутой нити. В противоположность этому при отвлеченном понимании аксиоматики ее понятия толкуются как относящиеся к объектам и отношениям «произвольной природы», лишь бы для них выполнялось сказанное в аксиомах. При таком понимании' отрезок — зто просто какой-то мыслимый объект, для которого вместе с другими объектами, называемыми отрезками и точками, с отношениями между ними, названными в аксиомах, выполняется все то, что сказано в аксиомах.
чАсть а. ОснОВАния гвометгии 628 Аналогичное можно сказать о точках и об основных отношениях. Эту отвлеченную точку зрения впервые особенно ясно выразил Гильберт, начав свои «Основания геометрии» следующими примечательными словами: «Мы мыслим три различных системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем А, В, С, ...; вещи второй систсмы мы называем прямыми и обозначаем а, Ь, с, ...; вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем а, р, у, ... Мы мыслим точки, прямые и плоскости в определенных соотношениях и обозначаем эти соотношения различными словами, как-то: «лежать», «между», «конгруэнтный»... Точное и для математических целей полное описание этих соотношений достигается аксиомами геометрии» ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
