1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 101
Текст из файла (страница 101)
При этом оказывается выполненным и обратное: каждой тройке чисел хо, уо, го соответствует определенная (единственная) точка М с такими координатамии: хм = хо, ум = уо, гм = го. Пусть даны три вещественных числа хо, уо, г,; найдем точку с такими координатами. Если одно из чисел хо, уо, г, равно нулю, скажем, г, =О, то берем точку М на плоскости го=0, т. е. на плоскости, содержащей оси х, у с координатами хм=хо,ум=уо. Если все числа х„угь г, отличны от нуля, то берем на плоскости, содержащей оси х, у, точку А! с каординатами х = хо, у = уо (по доказанному о координатах на плоскости такая точка есть, и притом ') Этот нзнестный факт мы здесь не доказываем.
доказательство в понятиях злементарной геометрии без векторов можно найти в !окольных учебниках, например, в книге: А л е ко а н д р о в А. Л., В е р н е р А. Л., Р ы ж и к В. И. Геометрия 9 — 1О. — Мл Просвенхеине, 1984. часть а. основания геометрии 61а единственная). Через эту точку и ось г проводим плоскость а. На оси г берем точку М, с координатой г =г,. В плоскости а проводим отрезок )уМ ) ОФ, равный ОМ, и расположенный с той же стороны, что и ОМ,. Тогда ММа 1 ОМ„так что М, есть проекция точки М на ось г и, стало быть, ее координата г„= г, (рис. 31).
Проекции точки М на оси х, у совпадают с проекциями точки У вследствие известной теоремы «о трех перпендикулярах». В болес разумной форме она а как раз и утверждает, что если Аà — проекция точм ки М на плоскость а и а — прямая в плоскости а, то проекции точек М и АГ на прямую а совпадают ).
1 В общем, введение координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между точкамн пространства и тройками чисел. И так же как в случае плоскости, мы получаем возможность выражать утверждения стереометрии на языке координат — на языке алгебры и анализа. В частности, длина отрезка выражается через координаты его концов известной формулой. Векторы. На плоскости, как и в пространстве, можно определить векторы и операции с ними, как это сделано в аналитической геометрии, но строго опираясь на каждом шагу на аксиомы и их ближайшие следствия. Пользуясь векторами, можно затем ввести координаты.
Проследить такое аксиоматическое обоснование векторного исчисления представит очень полезную задачу. ') доказательство. Точка У вЂ” проекция М на сь и пусть Ран а, Треугольник МИР прямоугольный; угол йГ прямой. Поэтому ~МР1а = 1МАГ1а+ 1ФР1а. Отсюда следует, что 1МР) достигнет минимума вместе с ~ртР1. А минимальное расстояние — по перпендикуляру. Следовательно, одновременно МР 1 а и аЛ йГР. П! Е АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ 619 9 2. Аналитические основания геометрии В предыдущем параграфе было показано, что введение прямоугольных координат обеспечено аксиомами.
В частности, для плоскости это означает. что нз принятых нами аксиом планиметрни вытекает: существует такое взаимно однозначное соответствие между точками н парами чисел, прн котором численная длина отрезка выражается известной формулой (1), %1. Оказывается, это можно положить в основание планиметрни вместо наших аксиом н дать таким образом чисто аналитическое ее обоснование в отличие от геометрического. Другими словамн, можно не вводить координаты и не начинать аналитическую геометрию, исходя из элементарной планиметрин, а наоборот: приняв за основу начала аналитической геометрии, выводить из них планиметрию — ее геометрические аксиомы и теоремы.
То же можно сделать для стереометрии, но мы ограничимся планиметрией, ради простоты, Итак, следуя сказанному, мы принимаем следующие исходные положения: 1. Точки плоскости поставлены во взаимно однозначное соответствие с парами чисел (х,у) (со всевозможными парами) . 2. Каждой паре точек А, В сопоставляется число— ччисленное расстояние между нимитк (АВ~= ~/(хл — хв) +(ул ув) (1) 3. Геометрический смысл имеют те и только те соотношения, которые определяются через эти расстояния, и притом так, что они — эти соотношения— сохраняются при умножении всех расстояний на любой, но один и тот же положительный множитель. Смысл этого последнего условия ясен: численное расстояние появляется, когда выбран масштаб, а при изменении масштаба все расстояния умножаются на одно и то же число.
Геометрические факты не зависят от произвольно выбранного масштаба, поэтому они сохраняются при умножении всех расстояний на одно и то же положительное число. Кроме того, тут же заключено условие, что сами по себе значения чАсть а ОснОВАния ГеОметРии координат — числа х, у — не должны входить в гео- метрические утверждения, потому что, координаты имеют геометрический смысл не сами по себе, но только в отношении к данным осям координат, А по отношению к осям они определяются также через расстояния. Например, уравнение эллипса выражает не свойства эллипса самого по себе, а его свойства в отношении к осям тех координат, в которых запи- сано это уравнение. (Различие взглядов — геометри- ческого и аналитического (алгебраического) мы уже обсуждали з ч.
1, в главах, посвященных аналитиче- ской геометрии. Теперь его Важно вспомнить, чтобы вводя аналитические — координатные — основания геометрии, не потерять в них ее специфику.) Приняв три сформулированные положения, можно дать соответствующее определение планиметрии: Планиметрия — это теория, основанная на трек высказанньт положениях, приняты в качестве ак- сиом. Эти аксиомы несколько необычны по содержа- нию и формулировкам, но раз мы их принимаем как основание теории, то Они — се аксиомы. Можно ска- зать, они дают координатное, аналитическое основа- ние планиметрии.
Впрочем, нужно еще доказать, что эти координатные аксиомы — сокращенно КА — дей- ствительно дают основание планиметрии — той же, какая основана на геометрических аксиомах — сокра- щенно ГА, Должна быть доказана следующая Теорема 1. Обе системы аксиом КА и ГА равно- сильны, т. ел 1) при геометрической аксиоматике вы- полняются три координатные аксиомы и 2) обратно: при координатных аксиомах выполняются геометри- ческие аксиомы, если соответствующим образом оп- ределены их основные понятия, Доказательство.
Установим первое. Мы до- казали в предыдущем параграфе, что при геометри- чесмой аксиоматике две первые координатные аксио- мы выполняются. Нужно доказать, что третья тоже выполняется, т. е. нужно доказать такое утвер- ждение: Все основные понятия геометрической аксиоматики определяются через расстояния (1), взятые с точ- ностью до множителя.
!. Точки приняты беэ определения в ГА как и в 'КА, а потому не нуждаются в определении. пи а аналитические основания геоматеии вя1 2. Точка М лежит на отрезке АВ. Это равносильно тому, что 1АМ1+ ) ВМ(=1АВ1 (2) и М отлична от Л и В. 3. Отрезок А — множество точек М с условием (2) плюс сами точки А и В. 4. Точки А, В являются концами отрезка АВ, как он только что определен, 5. Отрезки АВ, СП равны, если 1ЛВ) =(СП( (это равенство, как и (2), сохраняется при умножении расстояний на один и тот же множитель).
Итак, все основные понятия ГА определяются через численные расстояния, взятые с точностью до множителя. В результате ясе тря аксиомы КА выполняются в ГА — в геометрической планиметрии. Нужно доказать обратное, а именно: При указанной только что интерпретации основных понятий ГА все ее аксиомы выполняются в КА— в координатной планиметрии. Дока за тель с та о. Сделаем прежде всего очевидное, но важное замечание: соотношения, определяемые расстояниями, сохраняются при преобразованиях, сохраняющих расстояние. Такими преобразованиями являются: (1) х'= х+ х,, у'=у+ у, — «перенос»; (И) х =ах+ Ьу„ у = — — Ьх+ау а»+ Ь'= 1, — «поворот»; (Ш) х' = х, у' = — у — «отражение в прямой».
Непосредственно проверяется, что при таких преобразованиях расстояние сохраняется. Для (1), (П1) это очевидно. Проверим для (11): (х', — х',)'+ (у', — у,')' = = — )а (х, — х,) + Ь (у, — уз) )'+ ( — Ь (х, — х») + а (у, — у») ) ~= =аз(х, — х)'+ Ь'(у, — у)'+ Ьз(х,— хз)'+ал(У1 — Уз)'= = (х1 — х») + (У~ У ) . Теперь назовем лучом ОА, идущим из начальной точки 0(хь, уь) через точку А (хл, ул), множество ЧАСТЬ К ОСИОВАИИЯ ГЕОМЕТРИИ точек М с координатами х = х, + Г (хл — хо), ! Ео (О, оо). у=уо+ ((ул — уо) В частности, луч, идущий из точки (О, 0) через точку А, задается формулами х= (хл, у= !УА. Прямой, проходящеи через точки А, В, назовем множество точек с координатами, выражаемыми такими же формулами, но при 1, пробегающем всю числовую прямую от — оо до + оо.
Всякий луч можно преобразованиями (!), (И) перевести в луч, идущий из точки (0,0) по точкам (х, 0). Действительно, во-первых, очевидно, что всякий луч можно преобразованием (!) перевести в луч, исходящий из точки (О, 0). (Если начало данного луча — это точка (х„,ул), то производим преобразование х'= х — хл, у'= у — ул ) Теперь мы имеем луч с началом в точке (0,0). Пусть он проходит через точку (хл,ул), так что он образован точками (!хл, Гул). Произведем преобразование (11), положив а=- —, Ь= —, гл= /х'„+ух.
кл УА А А А' Это допустимо, так как здесь а'+ Ьк = !. Любая точка луча ((хл,!УА) отобразится в точку с координатами к УА х = — !хл+ — !УА !Гл, Гл 'л (3) ул КА у' = — — (хл + — (ул = О. кл ГА Итак, точки луча отображаются в точки (!ГА, 0), т. е. луч отображается 'на луч, идущий из (О, 0» через (Г„,О). Одновременно прямая АВ отображается на прямую у = О. Достаточно брать любые ! в (3), чтобы убедиться в этом.
Теперь обратимся непосредственно к доказательству теоремы 1. Докажем, что в КА выполняются есе линейные аксиомы из ГА. ~~~ з аналитические основания геометеии ВЗЗ На прямой у = О между точками и числами х имеется взаимно однозначное соответствие. Прн этом отрезок АВ соответствует числовому промежутку с концами хл, ха. Поэтому можно непосредственно проверить, что все линейные аксиомы здесь выполняются (читателю полезно провести эту проверку). В частности, аксиома непрерывности означает здесь следующее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
