1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(Иначе говоря, если два тетраэдра А'В'С'0' и А'В'С'0а ~ з основные теотемы о илложениях зо1 с равными ребрами имеют общую грань, то они симметричны относительно плоскости (А'В'С'). Это утверждение читатель докажет сам.) Во втором слу. чае точка Оз переводится в О' отражением. Итак, мы перевели точки А, В, С, Р в точки А', В', С', 0' переносом, двумя поворотами и, может быть, еще отражением. Так как все эти отображения представляют наложение пространства на себя и композиция наложения есть опять наложение, то, значит, доказано, что точки А, В, С, Р переводятся в А', В', С', О' палов синем всего пространства. Остается доказать, что такое наложение единственное.
й зто вытекает из следующего простого утверждения. Лемма. Положение точки в пространстве однозначно определяется ее расстояниями от четырех точек, не лежащих в одной плоскости. Значит, если точки А, В, С, 0 перешли в определенные точки А', В', С', О', то и все точки пространства заняли определенное полохсение — наложение определено однозначно. Доказательство л е м м ы просто. Точки, расположенные на данных расстояниях от каждой из точек А, В, С, Р, лежат на сферах с центрами в этих точках. Две сферы с центрами А, В пересекаются по окружности.
Третья сфера с центром С пересекает эту окружность в двух точках, симметричных относительно плоскости (АВС). Расстояние до четвертой чкн выбирает из этих двух симметричных точек .-иу П Таким образом, теорема б полностью доказана. П По теореме 3 о композициях, композиция переноса и двух поворотов есть винтовое движение, а с добавлением отражения — зеркальный поворот либо сколь.
вящее отражение. Таким образом, мы получаем теорему 1 о конкретном виде всякого наложения. П Наложения в плоскости. Здесь мы докажем теорему о наложениях в плоскости, аналогичную теореме 6. Из нее теорема 2 о виде наложений в плоскости вытекает непосредственно благодаря теореме 4 о композициях. Саму же эту теорему мы докажем дальше в следующем параграфе. Теорема Ч. Наложение плоской фигуры однозначно определяется налозсением трех точек, нв лежащих на одной прямой. Подробнее: ЗОР ЧАСТЬ Х ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ Пусть на плоскости сс даны три точки Л, В, С, не лежащие на одной прямой, и еще такие точки А', В', С', что А'В' = АВ, В'С' = ВС, С'А' = СА, так что отображение точек А на А', В на В', С на С' представляет собою наложение.
Тогда существует, и притом единственное, наложение всей плоскости а на себя, при котором происходит указанное наложение точек А, В, С. Это наложение можно получить как композициго переноса, поворота и егце, может быть, отражения относительно прямой. До к аз а тел ь ство. Пусть на плоскости даны точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, и такие точки А', В', С', что А'В' = АВ, В'С' = ВС, С'А'= = СА. Будем переводить точки А, В, С в А', В', С' наложениями всей плоскости. !) Произведем перенос, которым переведем точку А в А'.
Точки В, С перейдут при этом в какие-то точки Вь Сь причем равенство отрезков сохранится, так что А'В~ = АВ, В~С~ = ВС, А'С, = АСО 2) Поворотом вокруг точки А' переведем точку В~ в В'. Точка С~ перейдет в некоторую точку Сь причем равенство отрезков сохранится, так что будет А'Сх= = Л'С, = А'С', В'Сх = В'С, = В'С'. Ввиду этих равенств треугольники А'В'С' и А'В'Сх равны. Поэтому для точки Сх возможны только два положения: либо она совпадает с С', либо симметрична С' относительно прямой А'В'.
В последнем случае нужно еще произвести отражение относительно этой прямой. Итак, доказано, что точки А, В, С переводятся в А', В', С' композицией переноса, поворота и, возможно, отражения. Единственность наложения плоскости, переводящего точки А, В, С в А', В', С', следует из того, что положение точки на плоскости определяется расстояниями от трех точек, не лежащих на одной прямой. Доказательство этого очевидно.
(Ср. с предыдущей леммой.) Теорема 7 доказана. П По теореме 4 о композиции наложений, на плоскости композиция переноса и поворота есть поворот пли перенос, а с добавлением отражения композиция дает скользящее отражение. Таким образом, мы еще раз получаем теорему 2 о наложениях плоскости. П ! 4 ТЕОРЕМА О КОЛЛПОЗИЦИИ зоз Вариант доказательства теоремы 1. Пусть, как и раньше, точки А, В, С, О не лежат в одной плоскости н точки А', В', С', Р' таковы, что А'В' = АВ, В'С' = = ВС и т. и. Покажем, как путем отражений перевестп А, В, С, О в А', В', С', 0'. Произведем отражение гА, переводящее А в А' (относительно какой плоскостий). Точки В, С, 0 перейдут в некоторые Вь Сь 0Р (Если точки А и А' совпадают, то можно произвести отражение относительно любой проходящей через них плоскости.
Так же действуем и далее.) Произведем отражение гю переводящее В, в В. Оно происходит относительно плоскости, проходящей перпендикулярно В'В, через точку А' и биссектрису угла между А'В' и А'Ви поскольку А'В' = А'В,. Точка А' останется на месте, В, перейдет в В', а Сь О~ перейдут в некоторые Сь Р,. Произведем отражение гс, переводящее Ст в С'. Оно происходит относительно плоскости, ппоходяшей через отрезок А'В', так что точки А' и В остаются на месте (убедитесь(). Итак, в результате трех отражений гл, гв, гс точки А, В. С отобразились на А', В', С'. При этом для точки 0 есть две возможности: 1) точка 0 отобразилась на ту сторону от плоскости (А'В'С'), где лежит 0', и тогда она совпала с Р'.
2) Точка 0 отобразилась в точку Оь лежащую с другой стороны от д (А ВС). В первом случае мы получили нужное наложение. Как композициЯ тРех отРаженнй гх, гм гс, оно Является зеркальным поворотом илн скользящим отражением. Во втором случае, чтобы перевести точки А, В, С, 0 окончательно в А', В', С', 0', нужно произвести еще отражение г„в плоскости (А'В'С').
В этом случае наложение представляется композицией четырех Отражений и, следовательно, представляет собой винтовое движение (в частности, перенос или поворот). П $ 4. Теоремы о композиции Композиции наложений на плоскости. Здесь мы докажем теорему 4 из $ 3 сначала в несколько непол ном виде. ф)4 ЧАСТЬ 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДРУГИЕ ГГОМЕТРИП Теорема !. Композиция переноса и поворота есть перенос или поворот, а с добавлением отражения— скользящее отражение (в теореме 4 э 3 говорится о любых композициях переноса н поворотов; для ннх доказательство будет дано дополнительно). Вмссте с этим будет установлена часть теоремы 5 ф 3 о композициях отражений, относящаяся к плоскости. Начнем с представления переноса н поворота композициями отражений.
Доказательство соответствующих утверждений не составляет особого труда и предлагается читателю в качестве интересных упражнений. Лемма 1. Композиция двух отражений относительно параллельных прямых представляет собою перенос в перпендикулярном им направлении Если отражение происходит сначала относительно прямой а, НО- том — - относительно Ь и расстояние между а и Ь равно д, то перенос происходит в направлении от а к Ь псрпендикулярно этим прямым на расстояние 2д ') (рис.
25). Отсюда следует: а) Прямые, отражения относительно которых дают перенос, можно параллельно переносить (сохраняя расстояние между ними), а перенос будет получаться один и тот же. б) Всякий перенос представйм как композиция отражений относительно двух прямых, перпендикулярных направлению переноса. Лемма 2. Композиция отражений относительно двух пересекающихся прямых представляет собою поворот вокруг точки их пересечения.
Причем если отражение происходит сначала относительно прямой а, а потом — относительно прямой Ь и угол между ними равен а, то поворот происходит в направлении от а к Ь на угол 2а (рис. 25)'). Отсюда следует: а) Всякий поворот представим как композиция отражений относительно двух пересекающихся прямых. б) Прямые, отражения относительно которых дают данный поворот, можно поворачивать вокруг ') Прежде всего заметим, что точки прямой е при первом ° тражеиии остаготся иа месте, а при втором как раз перемеша1отся иа Ы ') Прежде всего заметим, что прямая и как раз поворачивается иа 2и. ь с тГОРемы о композиции 305 точки пх пересечения, сохраняя угол между ними.
Поворот будет получаться один и тот же. Поэтому одну из них всегда можно выбрать произвольно (лишь бы оиа проходила через центр поворота). Дока з а тел ь ство теор ем ы 1. Докажем первую часть теоремы 1: Композиция поворота (не тождественного) и переноса дает поворот. Рис 26 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала происходит поворот вокруг точки О, а потом перенос.
Представим (согласно лемме 1) перенос отражениями сначала относительно прямой а, проходящей через О, а потом относительно другой прямой Ь. Поворот представим (согласно лемме 2) отражениями так, что второе отражение происходит относительно прямой а. первое — относительно некоторой прямой с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
